Kmitání


Mechanické kmitání

Mechanický oscilátor

Zařízení, které kmitá bez vnějšího působení

Když zavěsíme těleso na pružinu, tak se mechanický oscilátor zastaví v rovnovážné poloze. Zde na něj působí dvě síly, gravitační Fg\vec F_{g} a síla pružnosti Fp\vec F_{p}, která má opačný směr.

Kmitání způsobené silou pružnosti

Časový diagram

f=1Tf = \frac{1}{T}

Časový diagram

Harmonické kmitání

Harmonické kmitání

Pokud kruhový děj započneme v bodě kde y=0y = 0 pak:

y=ymsin(ωt)y = y_{m}\sin(\omega t)

Rychlost:

v=v0cos(ωt)=ωymcos(ωt)v = v_{0}\cos(\omega t) = \omega y_{m}\cos(\omega t) \downarrow vm=ωymv_{m} = \omega y_{m}

Zrychlení:

a=a0sin(ωt)=ω2ymsin(ωt)=ω2ya = -a_{0}\sin(\omega t) = \omega^{2}y_{m}\sin(\omega t) = -\omega^{2}y \downarrow am=ω2ya_{m} = \omega^{2}y

Fáze kmitavého pohybu

Kmitání, které jsme si doposud ukázaly, začínalo v počáteční poloze kdy y=0y = 0. Ale takto se vyskytuje velmi málo. Rovnice pro harmonické kmitání bude vypadat:

y=ymsin(ω[t+t0])=ymsin(ωt+φ0)y = y_{m}\sin \left( \omega \left[t+t_{0} \right]\right) = y_{m}\sin(\omega t+\varphi_{0})

Složené kmitání

Složené kmitání

Jestliže hmotný bod koná současně více harmonických kmitavých pohybů téhož směru s okamžitými výchylkami y1,y2...yky_{1}, y_{2} ... y_{k}, je okamžitá výchylka yy výsledného kmitání (okamžité výchylky mohou být i opačné ale pak se mění znaménko na záporné):

y1+y2+....+yk=yy_{1}+y_{2}+ .... +y_{k} = y

Dynamika kmitavého pohybu

F=mω2yF = - m\omega^{2}y

Parametry oscilátoru ovlivňuje hmotnost závaží a tuhost pružiny kk:

Pokud je hmotný bod (závaží) v rovnovážné poloze platí, že Fg=FpF_{g} = F_{p} pak tedy:

kΔl=mgk\Delta l = mg

A pokud těleso vychýlíme z rovnovážné polohy pak F=Fp+FgF = F_{p}+F_{g} z čehož po vyjádření:

ky=mω2y-ky = m\omega^{2}y ω=km\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}

Kyvadlo

Příčinou kmitavého pohybu kyvadla je pohybová složka FF a tíhové síly FgF_{g}, která vzniká při vychýlení kyvadla z rovnovážné polohy.

Kyvadlo

Platí:

sinα=FFg=ylF=Fgl.yT=2πmk\begin{aligned} \sin\alpha &= \frac{F}{F_{g}} = \frac{y’}{l} \\ F &= \frac{F_{g}}{l}.y \\ T &= 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}} \end{aligned}

Energie v mechanickém oscilátoru

Epr=12k(Δl)2Ept=mghE=mgh+12kΔl2+12k.y2+12m.v2\begin{aligned} E_{pr} &= \frac{1}{2}k(\Delta l)^2 \\ E_{pt} &= mgh \\ E &= mgh + \frac{1}{2}k\Delta l^2 + \frac{1}{2}k.y^2 + \frac{1}{2}m.v^2 \end{aligned}

Nucené kmitání

Vzniká působením periodické síly na oscilátory i na objekty, které vlastnosti oscilátoru nemají. Frekvence nuceného kmitání závisí na frekvenci působící síly a nezávisí na vlastnostech kmitajícího objektu.

Rezonance

Význam rezonance spočívá v tom, že umožňuje rezonanční zesílení kmitů. Malou, periodicky působící silou lze v oscilátoru vzbudit kmitání o značné amplitudě výchylky, pokud je perioda vnější působení shodná s periodou vlastního kmitání osciláru.

Elektromagnetické kmitání

Zdrojem elektromagnetického kmitání je oscilátor, v něm se periodicky mění elektrické pole na magnetické a z magnetického na elektrické

LC obvod

Nejjednodušší oscilátorem je spojení cívky a kondenzátoru, neboli LC obvod

Napětí na kondenzátoru:

Uc=Xc.IU_{c} = X_{c}.I

Napětí na cívce:

UL=XL.IU_{L} = X_{L}.I

Thomsonův vztah

Thomsonův vztah určuje periodu vlastního kmitání

T=2π2LCT = 2\pi\sqrt{2}{LC} f=12πLCf = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}

Napětí

U=Umcos(ω0t)U = U_{m}cos(\omega_{0}t)

Proud

Indukovaný proud je opožděn o čtvrtinu periody neboli o polovinu π\pi

I=Imcos(ω.tπ2)I = I_{m}cos(\omega.t-\frac{\pi}{2})

Tlumené kmitání

Předchozí vztahy platí především pro ideální případ, kdy je odpor zanedbatelný a kmitání harmonické

Nucené kmitání elektromagnetického oscilátoru

Netlumené kmitání vzniká tehdy, když jsou ztráty po utlumení nahrazeny v průběhu celé periody. Například připojením ke zdroji harmonického napětí. V oscilačním obvodu pak kmitá harmonicky s úhlovou frekvencí, která se může lišit od úhlové frekvence vlastního úhlového kmitání. Tak vznikne nucené kmitání.

Rezonance - Vytváří se, když se vlastní kmitání shodne s nuceným kmitáním