PHYSICS

Gravitační pole

May 05 2020 [Edit]

• Newtonův gravitační zákon
  • Gravitační zrychlení
• Centrální/radiální gravitační pole
  • Tíhová síla při povrchu země
  • Pohyby těles v centrálním gravitačním poli Země
    • 1. kosmická rychlost
    • 2. kosmická rychlost
    • 3. kosmická rychlost
  • Pohyby těles v gravitačním poli Slunce
  • Keplerovy zákony
    • První Keplerův zákon
    • Druhý Keplerův zákon
    • Třetí Keplerův zákon
• Homogenní gravitační pole
  • Volný pád
  • Svislý vrh vzhůru
  • Vodorovný vrh
  • Šikmý vrh vzhůru

---

Gravitační pole mají všechny hmotné objekty. Gravitační silové působení mezi tělesy je vždy vzájemné.

Newtonův gravitační zákon

Velikost gravitační síly $F_g$ pro dvě stejnorodá tělesa tvaru koule je přímo úměrná součinu jejich hmotností $m_1$, $m_2$ a nepřímo úměrná druhé mocnině vzdálenosti jejich středů

$$F_g = G \frac{m_1 m_2}{r^2}$$

• $F_g$ - Gravitační síla
• $G$ - gravitační konstanta = $6,67.10^{-11} N.m^2.kg^{-2}$
• $m_1$ a $m_2$ - hmotnosti těles
• $r$ - vzdálenosti středů/těžišť těles

Každá dvě tělesa se navzájem přitahují stejně velkými gravitačními silami opačného směru

Gravitační zrychlení

Velikost gravitačního zrychlení, které uděluje tělesu gravitační síla Země, je nepřímo úměrná druhé mocnině jeho vzdálenosti od středu země

$$a_{gZ} =\frac{GM_Z}{R_Z^2}$$ $$F_g = ma_g$$

• $M_Z$ - hmotnost planety Země = $5,9.10^{24}$kg
• $R_Z$ - poloměr planety Země = 6378 km

Centrální/radiální gravitační pole

Ve všech místech gravitačního pole Země, směřuje gravitační síla $F_g$, a tím také gravitační zrychlení $a_g$ do středu Země

[obrázek]

Tíhová síla při povrchu země

Tíhová síla $F_G$ je vektorovým součtem gravitační síly $F_g$ a setrvačné odstředivé síly $F_o$

$$\vec F_G = \vec F_g + \vec F_o$$

Tíhová síla a tíha tělesa jsou fyzikálně různé veličiny stejné velikosti, které však mají obě svůj původ v tíhovém poli Země

$$F_G = mg$$

Pohyby těles v centrálním gravitačním poli Země

Gravitační síla pro objekty mimo povrch planety

$$F_g = G\frac{mM_Z}{(R_Z+h)^2}$$

Dostředivá síla $F_d$

$$F_d = \frac{mv^2_k}{R_Z + h}$$

• Při malé počáteční rychlosti $v_0$ se těleso pohybuje po trajektorii, která je částí elipsy.
• Při větší $v_0$ může dojít k situaci, kdy těleso již na zemský povrch nespadne a opíše celou elipsu.
• Při určité hodnotě $v_0$ nastává případ, kdy těleso opíše kružnici se středem ve středu Země – tuto rychlost nazýváme kruhová $v_k$

[obrázek]

1. kosmická rychlost

• $v_k$ – kruhová rychlost (1. kosmická rychlost)
• Platí, že $F_d = F_g$

$$v_k = \sqrt{\frac{GM_Z}{R_Z + h}}$$

$v_{kZ} \approx 7,9 km.s^{-1}$ $$

Oběžná doba $T$ družice při první kosmické rychlosti je

$$T = \frac{2\pi(R_z + h)}{v_k}$$

2. kosmická rychlost

• 1. kosmická (parabolická nebo úniková) rychlost
• značí se $V_pZ$

$$V_{pZ} = \sqrt{\frac{2GM_Z}{R_Z}} = V_{kZ}\sqrt2$$

• $V_{pZ} \approx 11,2 km.s^{-1}$ $$

3. kosmická rychlost

• Je to rychlost potřebná pro opuštění gravitačního pole Slunce tj. mimo Sluneční soustavu
• Tato rychlost má ve vzdálenosti Slunce – Země velikost $42,1 km.s^{-1}$
• Ryclost oběhu Země je $29,8 km.s^{-1}$

Pohyby těles v gravitačním poli Slunce

• Vzdálenosti ve sluneční soustavě jsou především uváděny v AU (astronomical unit), což je střední vzdálenost Země Slunce
• $1 AU \approx 149,6.10^9m$ $$
• Velikost (ze zemského povrchu) $16,7.10^9m$

Keplerovy zákony

První Keplerův zákon

Planety se pohybují kolem Slunce po elipsách málo odlišných od kružnic, v jejichž společném ohnisku je Slunce

Druhý Keplerův zákon

Obsahy ploch opsaných průvodičem planety za jednotku času jsou konstantní

• Nejkratší průvodič je v periheliu
• Nejdelší průvodič je v aféliu
• Pohyb planety po elipse je nerovnoměrný

Třetí Keplerův zákon

Země prochází periheliem v lednu a aféliem v červenci – proto je na severní polokouli zimní půlrok kratší (o 7 dní)

$$\frac{T_1^2}{T_2^2} = \frac{a_1^3}{a_2^3}$$

Homogenní gravitační pole

Gravitační pole, ve kterém uděluje gravitační síla ve všech místech stejné gravitační zrychlení $a_g$, se nazývá homogenní gravitační pole

[obrázek]

Volný pád

• Rovnoměrně zrychlený přímočarý pohyb
• $v = gt$ $$
• $s = \frac{1}{2}gt^2$ $$

[obrázek]

Svislý vrh vzhůru

• Koná těleso vržené počáteční rychlostí $v_0$ ve směru opačném než je směr tíhového zrychlení $a_g$
• V nejvyšším bodě je okamžitá rychlo $v$ nulová
• Je to pohyb rovnoměrně zpomalený
• $v = v_0 - gt$ $$
• Pro okamžitá výška $y$ platí $y = v_0t - \frac{1}{2}gt^2$
• Pro výšku vrhu $h$ platí $h = \frac{1}{2}gv_0^2$
• Pro dobu výstupu $t_h$ platí $t_h = \frac{v_0}{g}$

[obrázek]

Vodorovný vrh

• Koná těleso, jemuž udělíme počáteční rychlost $v_0$ ve vodorovném směru
• Vržené těleseo urazí horizontálně dráhu $x$, kdy $x = v_0t$
• Vržené těleseo urazí vertikálně dráhu $y$, kdy $y = h - \frac{1}{2}gt^2$
• Pro délku vrhu $d$ platí $d = v_0 \sqrt{\frac{2h}{g}}$
• Pro dobu vrhu $t_d$ platí $t_d = \sqrt{\frac{2h}{g}}$

[obrázek]

Šikmý vrh vzhůru

• Trajektorie je parabola
• Úhel $\alpha$ se nazývá elevační úhel – tento úhel svírá trajektorie předmětu se Zemí
• Vržené těleso urazí horizontálně dráhu $x$, kdy $x = v_0t\cos\alpha$
• Vržené těleso urazí vertikálně dráhu $y$, kdy $y = v_0t\sin\alpha - \frac{1}{2}gt^2$
• Pro dobu vrhu $t_d$ platí, $t_d = \frac{2v_0\sin\alpha}{g}$
• Pro délku vrhu $d$ platí $d = \frac{2v_0\sin\alpha}{g}$

[todo obrázek]