Diferenciální a integrální počet

Malý tahák k diferenciálním a integrálním počtům


Úvod

Diferenciálními a integrálními počty se zabývá obor Matematická analýza.

Funkce

Definice funkce: Funkce je relace RR mezi dvěma množinami XX a YY splňující, že pro každé xXx \in X existuje nevýše jedno yYy \in Y tak, že (x,y)R(x,y) \in R

značení funkce z množiny XX do množiny YY:

f:XYf: X \to Y

Definiční obor

Definiční obor funkce je množia všech přípustných hodnot, které můžeme ve funkci f(x)f(x) dosadit za argument x tak, aby daná funkce měla smysl.

Df={xX(YX)(f(x)=y)}D_f = \{ x \in X |( \exists Y \in X)(f(x) = y)\}

Obor hodnot

Obor hodnot je množina všech hodnot, kterých může f(x)f(x) nabýt.

Hf={yY(xX)(f(x)=y)}H_f = \{ y \in Y |( \exists x \in X)(f(x) = y)\}

Druhy zobrazení

Interval monotónosti

Funkce ff je na intervalu (a;b)(a;b):

Sudost/Lichost

Průsečíky s osami

Průsečík PP náleží průniku množiny bodů osy a oboru hodnot funkce: PP \in osa Hf\cap H_f

Průsečík s osou Y

Průsečík s osou X

Příklady základních funkcí

Funkce Příklad grafu
Konstanttní funkce:
f:y=cf: y = c
Df=RD_f = \R
Hf={c}H_f = \{c\}
Křivka: Rovnoběžka s osou X
const
Lineární funkce:
f:y=ax+bf: y = ax + b
Df=RD_f = \R
Hf=RH_f = \R
Křivka: Přímka
Linear
Kvadratická funkce:
f:y=ax2+bx+cf: y = ax^2 + bx + c
Df=RD_f = \R
Křivka: Parabola
quadratic
Kubická funkce:
f:y=ax3+bx2+cx+df: y = ax^3 + bx^2 +cx + d
Df=RD_f = \R
Hf=RH_f = \R
Křivka: Kubická parabola
cubic
Exponenciální funkce:
f:y=cxf: y = c^x
Df=RD_f = \R
Hf=R+H_f = \R^+
Křivka: Exponenciála
expo
Logaritmická funkce:
f:y=logaxf: y = \log_a x
Df=R+D_f = \R^+
Hf=RH_f = \R
Křivka: Logaritmická křivka
log
Absolutní hodnota: 
f:y=xf: y = |x|
Df=RD_f = \R
Hf=R+{0}H_f = \R^+ \cup \{0\}
Křivka: Lomená přímka
abs

Limita

limxaf(x)=L    ϵR+ΔR+xOΔ(a)xa;f(x)Oϵ(L);\lim_{x \to a} f(x) = L \iff \forall \epsilon \in \R^+ \exists \Delta \in \R^+ \forall x \in O_{\Delta}(a) \land x \neq a; f(x) \in O_{\epsilon}(L); x(aΔ;a+Δ);f(x)(Lϵ;L+ϵ)x \in (a - \Delta; a + \Delta); f(x) \in (L - \epsilon; L + \epsilon)

limxf(x)=L    ϵR+x0Dfx>x0;f(x)L<ϵ\lim_{x \to \infty} f(x) = L \iff \forall \epsilon \in \R^+ \exists x_0 \in D_f \forall x > x_0 ; | f(x) -L | < \epsilon limxf(x)=L    ϵR+x0Dfx<x0;f(x)L<ϵ\lim_{x \to -\infty} f(x) = L \iff \forall \epsilon \in \R^+ \exists x_0 \in D_f \forall x < x_0 ; | f(x) - L | < \epsilon

Limity v nekonečnu

limxxn=\lim_{x \to \infty} x^n = \infty limxaxn=0\lim_{x \to \infty} \frac{a}{x^n} = 0 limxxa=\lim_{x \to \infty} \sqrt[a]{x} = \infty limxax=    a>1\lim_{x \to \infty} a^x = \infty \iff a > 1

Spojitost

Funkce f(x)f(x) je spojitá v bodě a    limxaf(x)=f(a)a \iff \lim_{x \to a}f(x) = f(a)

Funkce f(x)f(x) je v bodě a spojitá     aDfϵ>0Δ>0;xOϵ(a);f(x)Oϵ(f(a))\iff a \in D_f \land \forall \epsilon > 0 \, \exists \Delta > 0 ; \forall x \in O_{\epsilon}(a); f(x) \in O_{\epsilon}(f(a))

Funkce f(x)f(x) je spojitá z prava v bodě a    aDfϵR+ΔR+x<a;a+Δ);f(x)(f(a)ϵ;f(a)+ϵ)a \iff a \in D_f \land \forall \epsilon \in \R^+ \exists \Delta \in \R^+ \forall x \in <a;a + \Delta); f(x) \in (f(a) - \epsilon; f(a) + \epsilon)

Funkce f(x)f(x) je spojitá z leva a    aDfϵR+ΔR+x(a+Δ;a>;f(x)(f(a)ϵ;f(a)+ϵ)a \iff a \in D_f \land \forall \epsilon \in \R^+ \exists \Delta \in \R^+ \forall x \in (a + \Delta;a> ; f(x) \in (f(a) - \epsilon; f(a) + \epsilon)

Funkce f(x)f(x) je spojitá na intervalu <c; d>     f(x)\iff f(x) je spojitá na (c;d)f(x)(c; d) \land f(x) je v cc spojitá z prava f(x)\land f(x) je v dd spojitá z leva

Asymptoty

Asymptota je přímka, ke které funkce f konverguje.

Bez směrnice

Se směrnicí


Derivace

Derivace funkce se značí přidáním ' za označení funkce.

Formální definice

f(a)=limh0f(a+h)f(a)h=limxaf(x)f(a)xaf'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a + h) - f(a)}{h} = \lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a}

Vzorce pro derivování funkcí

(k.f(x))=k.f(x)(k . f(x))' = k . f'(x) (f(x)±g(x))=f(x)±g(x)(f(x) \pm g(x))' = f'(x) \pm g'(x) (f(x).g(x))=f(x)g(x)+f(x)g(x)(f(x).g(x))' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x) (f(x)g(x))=f(x)g(x)f(x)g(x)g2(x)\bigg( \frac{f(x)}{g(x)}\bigg) ' = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{g^2(x)} [f(g(x))]=f(g(x)).g(x)[f(g(x))]' = f'(g(x)).g'(x) f(x)g(x)=eg(x)lnf(x)f(x)^{g(x)} = e^{g(x) \ln {f(x)}} ([f(x)]g(x))=[f(x)]g(x)(g(x)ln(f(x))+g(x)f(x)f(x))([f(x)]^{g(x)})' = [f(x)]^{g(x)} \bigg( g'(x)\ln (f(x)) + g(x)\frac{f'(x)}{f'(x)} \bigg)

Derivace elementárních funkcí

c=0c' = 0 cRc \in \R
(xm)=mxm1(x^m)' = mx^{m-1} x0mZx \neq 0 \land m \in \Z
(ax)=axlna(a^x)' = a^x\ln a x(0;)aR+x \in (0; \infty) \land a \in \R^+
(ex)=ex(e^x)' = e^x xRx \in \R
(lnx)=1x(\ln x)' = \frac{1}{x} xR+x \in \R^+
(logax)=1xlna(\log_a x)' = \frac{1}{x\ln a} xR+x \in \R^+
(sinx)=cos(x)(\sin x)' = \cos(x) xRx \in \R
(cosx)=sin(x)(\cos x)' = -\sin(x) xRx \in \R
(tgx)=1cos2x(\tg x)' = \frac{1}{\cos^2 x} xR{π2+kπ}kZx \in \R - \{ \frac{\pi}{2} + k\pi \} \land k \in \Z
(cotx)=1sin2x(\cot x)' = -\frac{1}{\sin^2 x} xR{kπ}kZx \in \R - \{ k\pi \} \land k \in \Z


(sinhx)=coshx(\sinh x)' = \cosh x xRx \in \R
(coshx)=sinhx(\cosh x)' = \sinh x xRx \in \R
(tanhx)=1cosh2x(\tanh x)' = \frac{1}{\cosh^2 x} xRx \in \R
(cothx)=1sinh2x(\coth x)' = - \frac{1}{\sinh^2 x} xR{0}x \in \R - \{0\}
(arcsinx)=11+x2(\arcsin x)' = \frac{1}{\sqrt {1 + x^2}} x(1;1)x \in (-1;1)
(arccosx)=11x2(\arccos x)' = - \frac{1}{\sqrt {1 - x^2}} x(1;1)x \in (-1;1)
(arctanx)=11+x2(\arctan x)' = -\frac{1}{1 + x^2} xR{π2+kπ}kZx \in \R - \{ \frac{\pi}{2} + k\pi \} \land k \in \Z

Stacionární body

Local extremes

Legenda:

Monotónost

Funkce ff, která je spojitá na intervalu (A;B)(A;B):

Tečna ke grafu funkce

Tečna ke grafu funkce ff v bodě T=[x0,y0]T = [x_0, y_0]; y0=f(x0)y_0 = f(x_0):

yy0=f(x).(xx0)y -y_0 = f'(x).(x - x_0)

Inflexe

Nechť JJ je interval, ff je funkce a JDfJ \subset D_f. Řekneme, že ff je:

Local extremes

Legenda:

L’ Hospitalovo pravidlo

Nechť aR{},f,ga \in \R \cup \{-\infty\}, f,g jsou funkce limxa+f(x)g(x)\lim_{x \to a^+} \frac{f'(x)}{g'(x)}. Předpokládejme, že buď limxa+f(x)=limxa+g(x)=0\lim_{x \to a^+} f(x) = \lim_{x \to a^+} g(x) = 0 , nebo limxa+g(x)=\lim_{x \to a^+} |g(x)| = \infty. Potom limxa+f(x)g(x)=limxa+f(x)g(x)\lim_{x \to a^+} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a^+} \frac{f'(x)}{g'(x)}.


Vyšetření průběhu funkce

  1. Spojitost
  2. Sudost/lichost
  3. Průsečíky s osami
  4. První derivace
    • Stacionární body
    • Monotónost funkce
    • Lokální extrémy
  5. Druhá derivace
    • Inflexní body
    • Konkávnost/konvexnost
  6. Asymptoty
    • Asymptoty se bez směrnice
    • Asymptoty se směrnicí
  7. Periodicita
  8. Funkční hodnoty ve význačných bodech
  9. Náčrt grafu
  10. Obor funkčních hodnot

Integrál

Primitivní funkce

Primitivní funkce se značí velkým písmenem. První derivace primitivní funkkce je funkce zadaná

F(x)=f(x)F'(x) = f(x)

Neurčitý integrál

Pro neurčitý integrál platí:

kdx=kx+C\int k dx = kx + C  
xadx=xa+1a+1+C\int x^a dx = \frac{x^{a + 1}}{a + 1} + C a1a \neq -1
exdx=ex+C\int e^x dx = e^x + C  
1xdx=lnx+C\int \frac{1}{x} dx = \ln ∣x∣ + C  
axdx=axlna+C\int a^x dx = \frac{a^x}{\ln a} + C  
sinxdx=cosx+C\int \sin x dx = -\cos x + C  
cosxdx=sinx+C\int \cos x dx = \sin x + C  

Integrace per partes

u.v=u.vu.v\int u.v' = u.v - \int u'.v

Integrace substitucí

f(ϕ(t))ϕ(t)dt=F(ϕ(t))\int f(\phi (t)) \cdot \phi^{\prime}(t) dt = F(\phi(t)) sub:x=ϕ(t)sub: x = \phi(t) f(ϕ(t))ϕ(t)dt=f(x)xdx=F(x)\int f(\phi(t))\cdot\phi^{\prime}(t) dt = \int f(x) \cdot x^{\prime} dx = F(x)

Newton Leibnizova věta

abf(x)dx=[F(x)]ab=F(b)F(a)\int_a^b f(x) dx = [F(x)]_a^b = F(b) - F(a)

Obsah pod grafem

Obsah útvaru ohraničeného grafem, osou X a dvěmi rovnoběžkami procházející hranicemi intervalu na které je útvar určen se rovná

abf(x)dx\int_a^b f(x) dx

Objem rotačního tělesa

Objem rotačního tělesa lze vyjárřit jako

V=πabf2(x)dxV = \pi \int_a^b f^2(x) dx