MATHEMATICS

Diferenciální a integrální počet

February 04 2020 [Edit]

Malý tahák k diferenciálním a integrálním počtům

• Úvod
• Funkce
  • Definiční obor
  • Obor hodnot
  • Druhy zobrazení
  • Interval monotónosti
  • Sudost/Lichost
  • Průsečíky s osami
    • Průsečík s osou Y
    • Průsečík s osou X
  • Příklady základních funkcí
  • Limita
    • Limity v nekonečnu
  • Spojitost
  • Asymptoty
    • Bez směrnice
    • Se směrnicí
• Derivace
  • Formální definice
    • Vzorce pro derivování funkcí
  • Derivace elementárních funkcí
  • Stacionární body
  • Monotónost
  • Tečna ke grafu funkce
  • Inflexe
• L’ Hospitalovo pravidlo
• Vyšetření průběhu funkce
• Integrál
  • Primitivní funkce
  • Neurčitý integrál
  • Integrace per partes
  • Integrace substitucí
  • Newton Leibnizova věta
    • Obsah pod grafem
    • Objem rotačního tělesa

---

Úvod

Diferenciálními a integrálními počty se zabývá obor Matematická analýza.

Funkce

Definice funkce: Funkce je relace $R$ mezi dvěma množinami $X$ a $Y$ splňující, že pro každé $x \in X$ existuje nevýše jedno $y \in Y$ tak, že $(x,y) \in R$

značení funkce z množiny $X$ do množiny $Y$:

$$f: X \to Y$$

Definiční obor

Definiční obor funkce je množia všech přípustných hodnot, které můžeme ve funkci $f(x)$ dosadit za argument x tak, aby daná funkce měla smysl.

$$D_f = \{ x \in X |( \exists Y \in X)(f(x) = y)\}$$

Obor hodnot

Obor hodnot je množina všech hodnot, kterých může $f(x)$ nabýt.

$$H_f = \{ y \in Y |( \exists x \in X)(f(x) = y)\}$$

Druhy zobrazení

• Bijekce - ke každému $x$ připadá právě jedno $y$
  
• Injekce - Ke každému $y$ připadá nejvýše jedno $x$
  
• Surjekce - Ke každému $y$ existuje alespoň jedno $x$
  

Interval monotónosti

Funkce $f$ je na intervalu $(a;b)$:

• rostoucí $\iff \forall x_1, x_2 \in (a;b) , x_1 < x_2 : f(x_1) < f(x_2)$
• neklesající $\iff \forall x_1, x_2 \in (a;b) , x_1 < x_2 : f(x_1) \leq f(x_2)$
• klesající $\iff \forall x_1, x_2 \in (a;b) , x_1 < x_2 : f(x_1) > f(x_2)$
• nerostoucí $\iff \forall x_1, x_2 \in (a;b) , x_1 < x_2 : f(x_1) \geq f(x_2)$

Sudost/Lichost

• Funkce $f$ je lichá $\iff f(x) = -f(x)$
• Funkce $f$ je sudá $\iff f(x) = f(-x)$
• Funkce není sudá ani lichá pokud neplatí ani jedna z předchozích vlastností

Průsečíky s osami

Průsečík $P$ náleží průniku množiny bodů osy a oboru hodnot funkce: $P \in$ osa $\cap H_f$

Průsečík s osou Y

• Existuje nejvýše jeden průsečík s osou Y. (Vychází z definice funkce)
• pro průsečík $P_Y$ platí $P_Y = [0; f(0)]$

Průsečík s osou X

• pro průsečík $P_X$ platí $P_X = [x; 0] ; f(x) = 0$

Příklady základních funkcí

Funkce	Příklad grafu
Konstanttní funkce: $f: y = c$ $D_f = \R$ $H_f = \{c\}$ Křivka: Rovnoběžka s osou X
Lineární funkce: $f: y = ax + b$ $D_f = \R$ $H_f = \R$ Křivka: Přímka
Kvadratická funkce: $f: y = ax^2 + bx + c$ $D_f = \R$ Křivka: Parabola
Kubická funkce: $f: y = ax^3 + bx^2 +cx + d$ $D_f = \R$ $H_f = \R$ Křivka: Kubická parabola
Exponenciální funkce: $f: y = c^x$ $D_f = \R$ $H_f = \R^+$ Křivka: Exponenciála
Logaritmická funkce: $f: y = \log_a x$ $D_f = \R^+$ $H_f = \R$ Křivka: Logaritmická křivka
Absolutní hodnota:  $f: y = |x|$ $D_f = \R$ $H_f = \R^+ \cup \{0\}$ Křivka: Lomená přímka

Limita

$\lim_{x \to a} f(x) = L \iff \forall \epsilon \in \R^+ \exists \Delta \in \R^+ \forall x \in O_{\Delta}(a) \land x \neq a; f(x) \in O_{\epsilon}(L);$ $x \in (a - \Delta; a + \Delta); f(x) \in (L - \epsilon; L + \epsilon)$

$$\lim_{x \to \infty} f(x) = L \iff \forall \epsilon \in \R^+ \exists x_0 \in D_f \forall x > x_0 ; | f(x) -L | < \epsilon$$ $$\lim_{x \to -\infty} f(x) = L \iff \forall \epsilon \in \R^+ \exists x_0 \in D_f \forall x < x_0 ; | f(x) - L | < \epsilon$$

• Limita vlastní
  • Limita je vlastní $\iff \lim_{x \to a} f(x) \in \R$
• Limita nevlastní
  • Limita je nevlastní $\iff \lim_{x \to a} f(x) \in \{-\infty;\infty\}$
• Limita ve vlastním bodě
  • Funkce $f$ má v bodě x limitu ve vlastním bodě $\iff x \in D_f$

Limity v nekonečnu

$$\lim_{x \to \infty} x^n = \infty$$ $$\lim_{x \to \infty} \frac{a}{x^n} = 0$$ $$\lim_{x \to \infty} \sqrt[a]{x} = \infty$$ $$\lim_{x \to \infty} a^x = \infty \iff a > 1$$

Spojitost

Funkce $f(x)$ je spojitá v bodě $a \iff \lim_{x \to a}f(x) = f(a)$

Funkce $f(x)$ je v bodě a spojitá $\iff a \in D_f \land \forall \epsilon > 0 \, \exists \Delta > 0 ; \forall x \in O_{\epsilon}(a); f(x) \in O_{\epsilon}(f(a))$

Funkce $f(x)$ je spojitá z prava v bodě $a \iff a \in D_f \land \forall \epsilon \in \R^+ \exists \Delta \in \R^+ \forall x \in <a;a + \Delta); f(x) \in (f(a) - \epsilon; f(a) + \epsilon)$

Funkce $f(x)$ je spojitá z leva $a \iff a \in D_f \land \forall \epsilon \in \R^+ \exists \Delta \in \R^+ \forall x \in (a + \Delta;a> ; f(x) \in (f(a) - \epsilon; f(a) + \epsilon)$

Funkce $f(x)$ je spojitá na intervalu <c; d> $\iff f(x)$ je spojitá na $(c; d) \land f(x)$ je v $c$ spojitá z prava $\land f(x)$ je v $d$ spojitá z leva

Asymptoty

Asymptota je přímka, ke které funkce f konverguje.

Bez směrnice

• Je kolmá na osu X a rovnoběžná s osou Y
• je jí předpis je $X = k$

Se směrnicí

• Její předpis je $y = kx + q$ kdy $k = \lim_{x \to \infty} = \frac{f(x)}{x}$ a $q = \lim_{x \to \infty} = f(x) - kx$

---

Derivace

Derivace funkce se značí přidáním ' za označení funkce.

Formální definice

$$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a + h) - f(a)}{h} = \lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a}$$

Vzorce pro derivování funkcí

$$(k . f(x))' = k . f'(x)$$ $$(f(x) \pm g(x))' = f'(x) \pm g'(x)$$ $$(f(x).g(x))' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$$ $$\bigg( \frac{f(x)}{g(x)}\bigg) ' = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{g^2(x)}$$ $$[f(g(x))]' = f'(g(x)).g'(x)$$ $$f(x)^{g(x)} = e^{g(x) \ln {f(x)}}$$ $$([f(x)]^{g(x)})' = [f(x)]^{g(x)} \bigg( g'(x)\ln (f(x)) + g(x)\frac{f'(x)}{f'(x)} \bigg)$$

Derivace elementárních funkcí

$c' = 0$	$c \in \R$
$(x^m)' = mx^{m-1}$	$x \neq 0 \land m \in \Z$
$(a^x)' = a^x\ln a$	$x \in (0; \infty) \land a \in \R^+$
$(e^x)' = e^x$	$x \in \R$
$(\ln x)' = \frac{1}{x}$	$x \in \R^+$
$(\log_a x)' = \frac{1}{x\ln a}$	$x \in \R^+$
$(\sin x)' = \cos(x)$	$x \in \R$
$(\cos x)' = -\sin(x)$	$x \in \R$
$(\tg x)' = \frac{1}{\cos^2 x}$	$x \in \R - \{ \frac{\pi}{2} + k\pi \} \land k \in \Z$
$(\cot x)' = -\frac{1}{\sin^2 x}$	$x \in \R - \{ k\pi \} \land k \in \Z$

$(\sinh x)' = \cosh x$	$x \in \R$
$(\cosh x)' = \sinh x$	$x \in \R$
$(\tanh x)' = \frac{1}{\cosh^2 x}$	$x \in \R$
$(\coth x)' = - \frac{1}{\sinh^2 x}$	$x \in \R - \{0\}$
$(\arcsin x)' = \frac{1}{\sqrt {1 + x^2}}$	$x \in (-1;1)$
$(\arccos x)' = - \frac{1}{\sqrt {1 - x^2}}$	$x \in (-1;1)$
$(\arctan x)' = -\frac{1}{1 + x^2}$	$x \in \R - \{ \frac{\pi}{2} + k\pi \} \land k \in \Z$

Stacionární body

• Body ve kterých může funkce dosáhnout svého lokálního extrému.
• V těchto bodech platí $f'(x) = 0$
• Funkce $f$ má v bodě $M \in D_f$ lokální maximum $\iff \exists U; U = (M - \epsilon,M + \epsilon); \epsilon > 0 \land \forall x \in U \cap D_f$ platí $f(x) \leq f(M)$
• Funkce $f$ má v bodě $M \in D_f$ lokální minimum $\iff \exists U; U = (M - \epsilon,M + \epsilon); \epsilon > 0 \land \forall x \in U \cap D_f$ platí $f(x) \geq f(M)$

Legenda:

• $f: y = \bigg(\frac{x - 10}{3}\bigg)^3 - (x - 10) + 5$ $$
• $g: f'(x)$ $$

Monotónost

Funkce $f$, která je spojitá na intervalu $(A;B)$:

• rostoucí $\iff$ $\forall x \in (A;B); f'(x) > 0$
• klesající $\iff$ $\forall x \in (A;B); f'(x) < 0$
• konstatní $\iff$ $\forall x \in (A;B); f'(x) = 0$
• neklesající $\iff$ $\forall x \in (A;B); f'(x) \geq 0$
• neroustoucí $\iff$ $\forall x \in (A;B); f'(x) \leq 0$

Tečna ke grafu funkce

Tečna ke grafu funkce $f$ v bodě $T = [x_0, y_0]$; $y_0 = f(x_0)$:

$$y -y_0 = f'(x).(x - x_0)$$

Inflexe

• Pro bod podezřelý z inflexe platí: $f''(x) = 0$

Nechť $J$ je interval, $f$ je funkce a $J \subset D_f$. Řekneme, že $f$ je:

• Konvexní na $J \iff \forall x,y \in J \forall \lambda \in [0,1]: f(\lambda x + ( 1 - \lambda )y) \leq \lambda f(x) + (1 - \lambda)f(y)$

• Konkávní na $J \iff \forall x,y \in J \forall \lambda \in [0,1]: f(\lambda x + ( 1 - \lambda )y) \geq \lambda f(x) + (1 - \lambda)f(y)$

• funkce $f$ je v bodě $A$ konvexní $\iff f''(A_X) > 0$
• funkce $f$ je v bodě $A$ konkávní $\iff f''(A_X) < 0$

Legenda:

• $f: y = \bigg(\frac{x - 10}{3}\bigg)^3 - (x - 10) + 5$ $$
• $g: f''(x)$ $$
• V bodě $A$ je funkce konkávní
• V bodě $B$ je funkce konvexní

L’ Hospitalovo pravidlo

Nechť $a \in \R \cup \{-\infty\}, f,g$ jsou funkce $\lim_{x \to a^+} \frac{f'(x)}{g'(x)}$. Předpokládejme, že buď $\lim_{x \to a^+} f(x) = \lim_{x \to a^+} g(x) = 0$ , nebo $\lim_{x \to a^+} |g(x)| = \infty$. Potom $\lim_{x \to a^+} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a^+} \frac{f'(x)}{g'(x)}$.

---

Vyšetření průběhu funkce

1. Spojitost
2. Sudost/lichost
3. Průsečíky s osami
4. První derivace
   • Stacionární body
   • Monotónost funkce
   • Lokální extrémy
5. Druhá derivace
   • Inflexní body
   • Konkávnost/konvexnost
6. Asymptoty
   • Asymptoty se bez směrnice
   • Asymptoty se směrnicí
7. Periodicita
8. Funkční hodnoty ve význačných bodech
9. Náčrt grafu
10. Obor funkčních hodnot

Integrál

Primitivní funkce

Primitivní funkce se značí velkým písmenem. První derivace primitivní funkkce je funkce zadaná

$$F'(x) = f(x)$$

Neurčitý integrál

Pro neurčitý integrál platí:

$\int k dx = kx + C$
$\int x^a dx = \frac{x^{a + 1}}{a + 1} + C$	$a \neq -1$
$\int e^x dx = e^x + C$
$\int \frac{1}{x} dx = \ln ∣x∣ + C$
$\int a^x dx = \frac{a^x}{\ln a} + C$
$\int \sin x dx = -\cos x + C$
$\int \cos x dx = \sin x + C$

Integrace per partes

$$\int u.v' = u.v - \int u'.v$$

Integrace substitucí

$$\int f(\phi (t)) \cdot \phi^{\prime}(t) dt = F(\phi(t))$$ $$sub: x = \phi(t)$$ $$\int f(\phi(t))\cdot\phi^{\prime}(t) dt = \int f(x) \cdot x^{\prime} dx = F(x)$$

Newton Leibnizova věta

$$\int_a^b f(x) dx = [F(x)]_a^b = F(b) - F(a)$$

Obsah pod grafem

Obsah útvaru ohraničeného grafem, osou X a dvěmi rovnoběžkami procházející hranicemi intervalu na které je útvar určen se rovná

$$\int_a^b f(x) dx$$

Objem rotačního tělesa

Objem rotačního tělesa lze vyjárřit jako

$$V = \pi \int_a^b f^2(x) dx$$