2026-07-22T18:21:33+02:00 https://blackblog.cz/ Jan Černý cerny@matfyz.cz https://blackblog.cz/ Jekyll v4.4.1 https://blackblog.cz/assets/meta/logo.png https://blackblog.cz/favicon.ico Content is intelectual property of Jan Černý unless stated otherwise https://blackblog.cz/uvod-do-umele-inteligence/ 2023-06-25T00:00:00+02:00 2023-06-25T00:00:00+02:00 Jan Černý <ul id="markdown-toc"> <li><a href="#agenti" id="markdown-toc-agenti">Agenti</a></li> <li><a href="#prostředí" id="markdown-toc-prostředí">Prostředí</a></li> <li><a href="#reflexivní-agent" id="markdown-toc-reflexivní-agent">Reflexivní agent</a></li> <li><a href="#reprezentace-stavů" id="markdown-toc-reprezentace-stavů">Reprezentace stavů</a></li> <li><a href="#problem-solving-agent" id="markdown-toc-problem-solving-agent">Problem solving agent</a></li> <li><a href="#formulace-problému" id="markdown-toc-formulace-problému">Formulace problému</a></li> <li><a href="#vyhledávací-strom" id="markdown-toc-vyhledávací-strom">Vyhledávací strom</a> <ul> <li><a href="#vyhledávací-algoritmus---tree-search" id="markdown-toc-vyhledávací-algoritmus---tree-search">Vyhledávací algoritmus - Tree search</a></li> <li><a href="#graph-search" id="markdown-toc-graph-search">Graph search</a></li> <li><a href="#uniformed-search" id="markdown-toc-uniformed-search">Uniformed search</a></li> </ul> </li> <li><a href="#informované-heuristické-vyhledávací-algoritmy" id="markdown-toc-informované-heuristické-vyhledávací-algoritmy">Informované (heuristické) vyhledávací algoritmy</a> <ul> <li><a href="#heuristika" id="markdown-toc-heuristika">Heuristika</a></li> </ul> </li> <li><a href="#csp---constrain-satisfaction-programming" id="markdown-toc-csp---constrain-satisfaction-programming">CSP - constrain satisfaction programming</a> <ul> <li><a href="#forward-checking" id="markdown-toc-forward-checking">Forward checking</a></li> <li><a href="#csp-problem" id="markdown-toc-csp-problem">CSP problem</a></li> </ul> </li> <li><a href="#vlp-sat" id="markdown-toc-vlp-sat">VLP (SAT)</a> <ul> <li><a href="#knowledge-base-agent" id="markdown-toc-knowledge-base-agent">Knowledge-base agent</a></li> <li><a href="#řešení-formulí" id="markdown-toc-řešení-formulí">Řešení formulí</a></li> </ul> </li> <li><a href="#plánování" id="markdown-toc-plánování">Plánování</a> <ul> <li><a href="#situation-calculus" id="markdown-toc-situation-calculus">Situation calculus</a></li> <li><a href="#klasické-plánování" id="markdown-toc-klasické-plánování">Klasické plánování</a></li> </ul> </li> </ul> <h2 id="agenti">Agenti</h2> <ul> <li>AI je o konstrukci racionálních agentů</li> <li>Agent má: <ul> <li><strong>Sesonry</strong> - skrze ně pozoruje prostředí (oko, ucho)</li> <li><strong>Actuatory</strong> - reaguje na prostředí (hlasivky, ruce)</li> </ul> </li> <li>měl by vybrat akci, která maximalizuje (spíš se očekává, že maximalizuje) jeho výkon:</li> </ul> \[\text{action} = \argmax_{a} \mathrm{E}(\mathrm{utility}(p,a))\] <ul> <li>\(\argmax_{a}\) - racionalita</li> <li>\(\mathrm{E}\) - expected utility</li> <li>\(p\) - percept</li> <li>\(a\) - possible actions</li> </ul> <h2 id="prostředí">Prostředí</h2> <ul> <li><strong>plně/částečně pozorovatelné</strong> - senzory poskytují úplnou/částečnou informaci o prostředí</li> <li><strong>deterministické/stochastické</strong> - další stav plně závisí na aktuálním stavu a akci agenta <ul> <li><strong>strategické</strong> - pouze (ostatní) agenti mohou upravovat prostředí</li> </ul> </li> <li><strong>epizodické/sekvenční</strong> - rozdělení na atomické epizody</li> <li><strong>statické/dynamické</strong> - prostředí se mění, když se agent rozhoduje <ul> <li><strong>semidynamické</strong> - prostředí se nemění, ale perfomance score ano</li> </ul> </li> <li><strong>diskrétní/spojité</strong></li> <li><strong>jednoagetní/víceagentní</strong></li> </ul> <h2 id="reflexivní-agent">Reflexivní agent</h2> <ul> <li><strong>Jednoduchý reflexivní agent</strong> <ul> <li>Pozorování \(\rightarrow\) akce</li> <li>nějaká tabulka nebo funkce</li> </ul> </li> <li><strong>Model based reflex agent</strong> <ul> <li>(vnitřní stav, provedené akce, Pozorování) \(\rightarrow\) Stav</li> <li>Stav \(\rightarrow\) Akce</li> </ul> </li> <li><strong>Goal-based agent</strong> <ul> <li>(Předchozí stav, předchozí akce, pozorování) \(\rightarrow\) Akce</li> <li>(Stav, cíl) \(\rightarrow\) Akce</li> <li>Agenti mají nějaký cíl, kterého se snaží dosáhnout</li> </ul> </li> </ul> <h2 id="reprezentace-stavů">Reprezentace stavů</h2> <ul> <li><strong>Atomická</strong> - stav je blackbox (používá se ve vyhledávání)</li> <li><strong>Factored</strong> - stav je vektor hodnot <ul> <li>využití ve výrokové logice, plánování</li> </ul> </li> <li><strong>Strukturovaná</strong> - stav je množina objektů (mají atributy, relace mezi sebou) <ul> <li>Využití v logice prvního řádu</li> </ul> </li> </ul> <h2 id="problem-solving-agent">Problem solving agent</h2> <ul> <li>typ goal-based agenta</li> <li>používá atomickou reprezentaci stavů</li> <li>cíl je reprezentován množinou cílových stavů</li> <li>akce popisují přechody mezi stavy</li> <li>chceme najít <em>Sekvenci akcí</em>, která vede do cíle <ul> <li>realizováno pomocí vyhledávání</li> <li>open-loop system</li> </ul> </li> <li>očekáváme, že prostředí je <ul> <li>plně pozorovatelné</li> <li>statické</li> <li>diskrétní</li> <li>deterministické</li> </ul> </li> </ul> <h2 id="formulace-problému">Formulace problému</h2> <ul> <li><strong>Abstrakce</strong> - odstranění detailů z reprezentace <ul> <li>co z reálného světa je důležité - stavy</li> <li>jaké akce dávají smysl</li> <li>různé úrovně abstrakce</li> <li>abstrakce musí být <em>validní</em> - nalezené abstraktní řešení musí být rozšiřitelné do detailnějšího světa</li> <li>abstrakce musí být užitečná</li> </ul> </li> <li><strong>Správně definovaný problém</strong> má <ul> <li>počáteční stav</li> <li>model přechodů</li> <li>goal test</li> </ul> </li> </ul> <h2 id="vyhledávací-strom">Vyhledávací strom</h2> <ul> <li>vyhledávací algoritmus</li> <li>prochází různé sekvence akcí</li> <li>strom: <ul> <li>počáteční stav je v kořeni</li> <li>větve definujeme akcemi</li> <li>uzly jsou stavy</li> </ul> </li> </ul> <h3 id="vyhledávací-algoritmus---tree-search">Vyhledávací algoritmus - Tree search</h3> <ol> <li>Vložíme kořen do frontieru</li> <li>Vybereme uzel podle z frontieru pomocí vyhledávací strategie</li> <li>Expandujeme uzel</li> <li>Opakujeme, dokud nenarazíme na cíl</li> </ol> <h3 id="graph-search">Graph search</h3> <ul> <li>Každý expandovaný uzel si pamatujeme (“explored set”)</li> <li>pokud dojdeme ke stavu, co už nastal, tak ho dál neexpandujeme</li> </ul> <h3 id="uniformed-search">Uniformed search</h3> <ul> <li><strong>BFS</strong> - vlastnosti <ul> <li>úplný (pro konečně větvící grafy)</li> <li>optimální (najde nejkratší cestu)</li> <li>složitost: \(d\) je hloubka cíle, \(b\) je faktor větvení \(\rightarrow\) \(\O(b^{d+1})\) - čas i paměť</li> </ul> </li> <li><strong>DFS</strong> - vlastnosti <ul> <li>úplný (pro graph search, ne pro tree search)</li> <li>sub-optimální - (najde cestu, ale nemusí být optimální)</li> <li>složitost: \(m\) je max hloubka <ul> <li>paměť: \(\O(bm)\)</li> <li>čas: \(\O(b^m)\)</li> </ul> </li> </ul> </li> <li><strong>Backtracking</strong> <ul> <li>podobné jako DFS, ale nepamatujeme si nic kromě aktuální větve</li> <li>paměť: \(\O(n)\)</li> </ul> </li> </ul> <h2 id="informované-heuristické-vyhledávací-algoritmy">Informované (heuristické) vyhledávací algoritmy</h2> <ul> <li><strong>best-first search</strong> <ul> <li>evakuační funkce \(f(n)\)</li> <li>vybereme uzel s min. \(f(n)\)</li> <li>heuristická funkce \(h(n)\) bývá součástí \(f(n)\)</li> </ul> </li> <li><strong>Greedy Best-first search</strong> <ul> <li>\(f(n) = h(n)\), expanduje vrchol nejblíž k cíli</li> <li>není optimální</li> <li>není úplný při tree search</li> </ul> </li> <li><strong>A\(^*\)</strong> <ul> <li>\(f(n) = g(n) + h(n)\)\(\)</li> <li>\(g(n)\) - vzdálenost od startu (uražená vzdálenost)</li> <li>optimální a úplný</li> </ul> </li> </ul> <h3 id="heuristika">Heuristika</h3> <ul> <li><strong>přípustná</strong> - \(h(n) \leq\) cena nejkratší cesty z \(n\) od cíle</li> <li><strong>monotónní</strong> - nechť \(n'\) je následník \(n\) přes akci \(a\) a nechť \(c(n,a,n')\) je cena přechodu <ul> <li>monotonie: \(h(n) \leq h(n') + c(n,a,n')\)</li> </ul> </li> <li>monotónnost \(\implies\) přípustnost</li> </ul> <h2 id="csp---constrain-satisfaction-programming">CSP - constrain satisfaction programming</h2> <p>příklad:<br /> Šachovnice \(N\times N\), chceme rozmístit \(N\) královen, tak aby se neohrožovaly.</p> <ul> <li><strong>Stavy</strong> = pozice královen</li> <li><strong>Počáteční stav</strong> = prázdná šachovnice</li> <li><strong>Cílový stav</strong> = zatím neznámý, ale chceme \(N\) královen bez konfliktů</li> <li><strong>Akce</strong> = položení královny na šachovnici</li> <li>lepši model: Každá královna má svůj řádek</li> <li>alternativní model: královny už jsou položené a my s nimi pohybujeme</li> </ul> <h3 id="forward-checking">Forward checking</h3> <ul> <li>metoda v CSP, kde kontrolujeme splnění podmínek předem</li> <li>příklad: umístíme dámu a vyškrtáme všechna ohrožená políčka/ Pak nemůžeme porušit podmínky, protože ohrožená políčka se nedají obsadit.</li> </ul> <h3 id="csp-problem">CSP problem</h3> <ul> <li><strong>Proměnné</strong> (variables) - konečná množina</li> <li><strong>Obory hodnot</strong> (domains) - možné hodnoty</li> <li><strong>Podmínky</strong> (constrains) - konečná množina - relace nad podmnožinou proměných</li> <li>metody řešení <ul> <li><strong>Backtracking search</strong> <ul> <li>přiřadíme hodnoty nějaké proměnné</li> <li>ověříme podmínky na už zvolených proměnných</li> <li>pokud jsou podmínky splněny, přiřadíme další proměnné ke kontrole</li> <li>pokud nejde přiřadit další hodnotu, vrátíme se k předchozí proměnné a dáme jí jinou hodnotu</li> <li>opakujeme dokud nejsou zvolené všechny proměnné</li> </ul> </li> <li><strong>Arc consistency</strong> <ul> <li>zaručuje konzistenci podmnožin proměnných nebo podmínek</li> <li>dají se použít na zjednodušení problému (bude se řešit jednodušeji)</li> </ul> </li> <li><strong>K-consistency</strong> <ul> <li>pro \((k-1)\) proměnných vyjadřujeme konzistentní hodnotu v jedné nebo více daných proměnných</li> <li><em>Arc consistency</em> (AC) = 2-consistency</li> <li><em>Path consistency</em> (PC) = 3-consistency</li> </ul> </li> </ul> </li> </ul> <div class="theorem-block"><p class="theorem-label"><b>Věta</b></p> <p>Pokud je problém \(i\)-konsistentní \(\forall i = 1\ldots n\), kdy \(n\) je \(\#\) proměnných, potom ho můžeme řešit bez backtrackingu.</p> </div> <ul> <li><strong>Global constraints</strong> - zapouzdřují sub-problémy se specifickou strukturou, která může být využita v ad-hoc filtrovací procedůře <ul> <li>příklad: \(\mathrm{all\_diffrent}(x_{1},\ldots , x_{n})\)</li> </ul> </li> <li><strong>Variable ordering</strong> <ul> <li>v jakém pořadí přirovnat hodnoty a jakých proměnných.</li> </ul> </li> <li><strong>Fall-first principle</strong> - nejdřív přiřazovat do proménné, kde asi dojde k neúspěchu <ul> <li><em>DOM heuristic</em> - nejdřív proměnná s nejmenším oborem hodnot</li> <li><em>DEG heuristic</em> - nejdřív proměnná, která se nachází v co nejvíce podmínkách</li> </ul> </li> <li><strong>Value ordering</strong> - v jakém pořadí procházíme větve stromu</li> <li><strong>Succeed-first principle</strong> - hodnota patřící do řešení se vyzkouší jako nejdřív <ul> <li>jak poznat, co bude řešení ? <ul> <li>například: hodnota, která nejméně omezuje další proměnné</li> <li>problem dependent heuristics</li> </ul> </li> </ul> </li> </ul> <h2 id="vlp-sat">VLP (SAT)</h2> <ul> <li><strong>CNF</strong> - konjunktivní normálová forma</li> <li><strong>Satisfaction by enumeration</strong> <ul> <li><strong>DPLL</strong> (Davis, Putnam, Logemann, Loveland) <ul> <li>Algoritmus co ověří splnitelnosti CNF formule</li> <li>úplný a korektní</li> </ul> </li> </ul> </li> <li><strong>SAT solvery</strong> <ul> <li><em>Component analysis</em> - jestli jdou klauzule rozdělit na podmnožiny, které nesdílí proměnnou, dají se potom řešit nezávisle</li> <li><em>DEGREE heuristic</em> - použít nejčastější proměnnou</li> <li><em>ACTIVITY heuristic</em> - použít proměnou, která je nejvíce v konfliktu</li> <li><em>Random restarts</em> - pokud nedojde k progresu \(\rightarrow\) restart s jinými náhodnými možnostmi</li> <li><em>Clever indexing</em></li> <li><em>Clause learning</em> - analýza konfliktu a jeho zakódování do nové klauzule</li> </ul> </li> </ul> <h3 id="knowledge-base-agent">Knowledge-base agent</h3> <ul> <li>používá <strong>knowledge-base</strong> (\(KB\))</li> <li>(množina) vět, vyjádřených v daném jazyce</li> <li>update pomocí operace <code class="language-plaintext highlighter-rouge">TELL</code></li> <li>Dotazy (queries) pomocí operace <code class="language-plaintext highlighter-rouge">ASK</code></li> </ul> <div class="definition-block"><p class="definition-label"><b>Definice</b></p> <p>Model \(M\) je model sentence \(\alpha\), pokud \(\alpha\) je <code class="language-plaintext highlighter-rouge">true</code> v \(M\)</p> <p>\(M\) - ohodnocení proměnných</p> </div> <ul> <li><strong>Entailment</strong>: \(KB \models \alpha\) <ul> <li>\(\alpha\) je logický důsledek \(KB\)</li> <li>\(KB\) způsobuje, že \(\alpha \Leftrightarrow M(KB) \subseteq M(\alpha)\)</li> </ul> </li> <li>Splnitelnost formule - je <code class="language-plaintext highlighter-rouge">true</code> v nějakém modelu</li> <li>Nesplnitelná formule - není <code class="language-plaintext highlighter-rouge">true</code> v žádném modelu <ul> <li>\(KS \models \alpha (KB \land \neg \alpha)\) je nesplnitelná</li> </ul> </li> </ul> <h3 id="řešení-formulí">Řešení formulí</h3> <ul> <li><strong>Rezoluce</strong> - používá rezoluční pravidlo - ze dvou klauzulí obsahující \(p\) a \(\neg p\) vytvoříme novou klauzuli <ul> <li>algoritmus končí, když: <ul> <li>nemůže být vytvořena nová klauzule (pak \(\neg KB \models \alpha\))</li> <li>byla vytvořena prázdná klauzule (pak \(KB \models \alpha\))</li> </ul> </li> <li>úplný a korektní algoritmus</li> </ul> </li> <li><strong>Hornova klauzule</strong> - disjunkce literálů kde je max jeden kladný <ul> <li>metody řešení s Hornovými klauzulemi <ul> <li><em>Forward chaining</em> - data driven method <ul> <li>ze známých faktů odstraníme všechny možností pomocí Horn klauzulí, až nejsou nová fakta nebo dotaz dokážeme</li> </ul> </li> <li><em>Backward chaining</em> - goal driven method <ul> <li>dotaz je rozdělen na podmnožiny, až nejsou získána fakta z \(KB\)</li> </ul> </li> </ul> </li> </ul> </li> <li><strong>Observation model</strong> - spojuje pozorování s informacemi</li> <li><strong>Transition model</strong> - popisuje evoluci světa po aplikování akcí <ul> <li>například pomocí: <ul> <li><em>EFFECT AXIOMS</em></li> <li><em>PRECONDITIONS AXIOMS</em> - kdy je akce aplikovatelná</li> <li><em>ACTION EXCLUSION AXIOMS</em> - pro eliminaci paralelních akcí</li> </ul> </li> </ul> </li> </ul> <h2 id="plánování">Plánování</h2> <ul> <li><strong>Find plans by search</strong> - potřebuje atomickou reprezentaci stavů a tudíž domain-specific heuristiky</li> <li><strong>Planning by propositional inference</strong> <ul> <li>používá domain-specific heuristiky založené na logickém struktuře problému</li> <li>špatné při hodně stavech a akcích</li> </ul> </li> </ul> <h3 id="situation-calculus">Situation calculus</h3> <ul> <li>používá speciální termíny na popis situací <ul> <li>\(S_{0}\) - jméno počátečního stavu</li> <li>\(\mathrm{Result(s,a)}\) - jméno situace pro aplikaci akce \(a\) na situaci \(s\)</li> <li>stavy se popisují pomocí relací mezi objekty <ul> <li>příklad: \(\mathrm{at}(robot, location)\)</li> </ul> </li> <li>předpoklady akcí (<em>preconditions</em>) se popisují pomocí <em>possibility axiomu</em> <ul> <li>příklad: \(\mathrm{at}(a, l, s) \land \mathrm{connected}(l,l') \implies \mathrm{Poss}(\mathrm{go}(a,l,l'),s)\)</li> </ul> </li> </ul> </li> <li>vlastnosti dalšího stavu pomocí <em>Successor state axiomů</em></li> <li>plánování - dotaz, jestli existuje situace, kde je cílová podmínka <code class="language-plaintext highlighter-rouge">true</code></li> </ul> <h3 id="klasické-plánování">Klasické plánování</h3> <ul> <li>Používá <em>Factored reprezentation of states</em> - stav je reprezentován vektorem</li> <li>používá <em>Action schemata</em> (operátory) na popis schopností agentů</li> <li>plánování realizováno prohledáváním ve stavovém prostoru s domain-independent heuristikou</li> <li><strong>stav</strong> - množina instanciovaných atomů</li> <li><strong>closed world assumption</strong> - nezahrnutý atom se na daném stavu neřeší</li> <li><strong>cíl</strong> (goal) g - množina instanciovaných literálů</li> <li><strong>action schema</strong> (operator) - popisuje akci bez specifikování objektů, na které se akce vztahuje</li> <li><strong>operator \(o\)</strong> - je trojice \((\mathrm{name}(o), \mathrm{precond}(o), \mathrm{effects}(o))\) <ul> <li>\(\mathrm{name}\) - jméno operátoru</li> <li>\(\mathrm{precond}\) - literály, které musí být ve stavu aby byl operátor aplikovatelný</li> <li>\(\mathrm{effects}\) - literály, které budou <code class="language-plaintext highlighter-rouge">true</code> po aplikování operator</li> </ul> </li> <li><strong>Akce</strong> je plně instancovaný operator</li> <li><strong>Notace</strong> <ul> <li>\(S_{\ldots}\) - množina literálů</li> <li>\(S^{+}\) - pozitivní atomy v \(S\)</li> <li>\(S^{-}\) - atomy jejichž negace je v \(S\)</li> </ul> </li> <li>akce \(a\) je <em>aplikovatelná</em> na stavu \(s \Leftrightarrow \mathrm{precond}^{+}(a) \subseteq S \land \mathrm{precond}^{-}(a) \cap S = \emptyset\)</li> <li>výsledek (result) aplikace akce \(a\) na stav \(S\) je \(\phi(s,a) = S - \mathrm{effects}^{-}(a) \cup \mathrm{effects}^{+}(a)\)</li> <li>akce je <em>relativní</em> pro cíl \(g \Leftrightarrow\) <ol> <li>\(g \cap \mathrm{effects}(a) \neq \emptyset\)\(\)</li> <li>efekty akce nejsou v konfliktu s \(g\) <ul> <li>\(g^{-} \cap \mathrm{effects}^{+}(a) = \emptyset\)\(\)</li> <li>\(g^{+} \cap \mathrm{effects}^{-}(a) = \emptyset\)\(\)</li> </ul> </li> </ol> </li> <li><strong>regression set</strong> - pro cíl \(g\) pro relevantní akci \(a\), platí \(\phi^{-1}(g,a) = (g - \mathrm{effects}(a)) \cup \mathrm{precond}(a)\)</li> <li><strong>domain model</strong> - popis operátorů \(O\)</li> <li><strong>Planning problem</strong> je trojice \((O, S_{0}, g)\) <ul> <li>\(O\) - je domain model</li> <li>\(S_{0}\) - počáteční stav</li> <li>\(g\) - cílová podmínka</li> </ul> </li> <li><strong>Plán</strong> je sekvence akcí \(\langle a_{1}, a_{2},\ldots, a_{k}\rangle\)</li> <li><strong>Solution plan</strong> - takový plán \(\Pi\), že \(\phi^{*}(S_{0},\Pi)\) splňuje cíl \(g\)</li> </ul> https://blackblog.cz/foundation-of-robotics/ 2023-03-26T00:00:00+01:00 2023-03-26T00:00:00+01:00 Jan Černý <p>If you find any error you can edit article using <strong>edit link</strong> \(\uparrow\).</p> <ul id="markdown-toc"> <li><a href="#references" id="markdown-toc-references">References</a></li> <li><a href="#history" id="markdown-toc-history">History</a> <ul> <li><a href="#prehistory" id="markdown-toc-prehistory">Prehistory</a></li> <li><a href="#robotic-structures" id="markdown-toc-robotic-structures">Robotic structures</a></li> <li><a href="#three-laws-of-robotics" id="markdown-toc-three-laws-of-robotics">Three laws of robotics</a></li> </ul> </li> <li><a href="#kinematics" id="markdown-toc-kinematics">Kinematics</a> <ul> <li><a href="#degrees-of-freedom-dof" id="markdown-toc-degrees-of-freedom-dof">Degrees of freedom (DOF)</a></li> <li><a href="#manipulators" id="markdown-toc-manipulators">Manipulators</a></li> <li><a href="#lower-pair-joints" id="markdown-toc-lower-pair-joints">Lower pair joints</a></li> <li><a href="#rotation" id="markdown-toc-rotation">Rotation</a> <ul> <li><a href="#rotation-x-axis-angle-phi" id="markdown-toc-rotation-x-axis-angle-phi">Rotation \(x\) axis, angle \(\phi\)</a></li> <li><a href="#rotation-y-axis-angle-psi" id="markdown-toc-rotation-y-axis-angle-psi">Rotation \(y\) axis, angle \(\psi\)</a></li> <li><a href="#rotation-z-axis-angle-xi" id="markdown-toc-rotation-z-axis-angle-xi">Rotation \(z\) axis, angle \(\xi\)</a></li> <li><a href="#rotation-along-xyz-by-angles-phi-psi-xi" id="markdown-toc-rotation-along-xyz-by-angles-phi-psi-xi">Rotation along \(x\),\(y\),\(z\) by angles \(\phi\), \(\psi\), \(\xi\)</a></li> </ul> </li> <li><a href="#homogenní-souřadnice" id="markdown-toc-homogenní-souřadnice">Homogenní souřadnice</a></li> <li><a href="#2d-rotation" id="markdown-toc-2d-rotation">2D Rotation</a></li> <li><a href="#2d-translation" id="markdown-toc-2d-translation">2D Translation</a></li> <li><a href="#rotation--translation" id="markdown-toc-rotation--translation">Rotation + translation</a></li> <li><a href="#forward-kinematics-3d" id="markdown-toc-forward-kinematics-3d">Forward kinematics (3D)</a></li> <li><a href="#system-composition" id="markdown-toc-system-composition">System composition</a></li> <li><a href="#denavit-hartengerg" id="markdown-toc-denavit-hartengerg">Denavit-Hartengerg</a> <ul> <li><a href="#denavit-hartenberg-overview" id="markdown-toc-denavit-hartenberg-overview">Denavit-Hartenberg overview</a></li> <li><a href="#dh-transformation" id="markdown-toc-dh-transformation">DH transformation</a></li> <li><a href="#ai_i-1-usage" id="markdown-toc-ai_i-1-usage">\(A^i_{i-1}\) usage</a></li> <li><a href="#dh-system-construction" id="markdown-toc-dh-system-construction">DH system construction</a></li> </ul> </li> </ul> </li> <li><a href="#motion-model" id="markdown-toc-motion-model">Motion model</a> <ul> <li><a href="#holonomic--non-holonomic-drive" id="markdown-toc-holonomic--non-holonomic-drive">Holonomic / non-holonomic drive</a></li> <li><a href="#ackermann-steering" id="markdown-toc-ackermann-steering">Ackermann steering</a></li> <li><a href="#differential-steering" id="markdown-toc-differential-steering">Differential steering</a></li> <li><a href="#omnidirectional-steering" id="markdown-toc-omnidirectional-steering">Omnidirectional steering</a> <ul> <li><a href="#1-holonomic" id="markdown-toc-1-holonomic">1. Holonomic</a></li> <li><a href="#2-killough--ilon-wheels" id="markdown-toc-2-killough--ilon-wheels">2. Killough / Ilon wheels</a></li> <li><a href="#3-omniwheel-drive" id="markdown-toc-3-omniwheel-drive">3. Omniwheel drive</a></li> <li><a href="#mecanum--swerve-drive" id="markdown-toc-mecanum--swerve-drive">Mecanum \&amp; swerve drive</a></li> </ul> </li> <li><a href="#robot-movement" id="markdown-toc-robot-movement">Robot movement</a></li> </ul> </li> <li><a href="#localization" id="markdown-toc-localization">Localization</a> <ul> <li><a href="#coordinate-transformation" id="markdown-toc-coordinate-transformation">Coordinate transformation</a></li> <li><a href="#absolute-localization" id="markdown-toc-absolute-localization">Absolute localization</a></li> <li><a href="#relative-localization" id="markdown-toc-relative-localization">Relative localization</a> <ul> <li><a href="#dead-reckoning" id="markdown-toc-dead-reckoning">Dead reckoning</a></li> <li><a href="#odometry" id="markdown-toc-odometry">Odometry</a></li> <li><a href="#robot-centric-sensors" id="markdown-toc-robot-centric-sensors">Robot centric sensors</a></li> <li><a href="#types-of-localization" id="markdown-toc-types-of-localization">Types of localization</a></li> <li><a href="#a-possible-solutions" id="markdown-toc-a-possible-solutions">A possible solutions</a> <ul> <li><a href="#representation" id="markdown-toc-representation">Representation</a></li> <li><a href="#probability-grid" id="markdown-toc-probability-grid">Probability Grid</a></li> <li><a href="#topological-graphs" id="markdown-toc-topological-graphs">Topological graphs</a></li> <li><a href="#monte-carlo-localization" id="markdown-toc-monte-carlo-localization">Monte Carlo localization</a></li> <li><a href="#continuous-representation-kalman-filter" id="markdown-toc-continuous-representation-kalman-filter">Continuous representation (Kalman filter)</a></li> <li><a href="#other-methods" id="markdown-toc-other-methods">Other methods</a></li> </ul> </li> <li><a href="#solution-3-no-localization" id="markdown-toc-solution-3-no-localization">Solution 3 no localization</a> <ul> <li><a href="#slam" id="markdown-toc-slam">SLAM</a></li> </ul> </li> </ul> </li> </ul> </li> <li><a href="#satellite-localization" id="markdown-toc-satellite-localization">Satellite localization</a> <ul> <li><a href="#history-1" id="markdown-toc-history-1">History</a></li> <li><a href="#gps-satellites" id="markdown-toc-gps-satellites">GPS satellites</a></li> <li><a href="#competitive-global-systems" id="markdown-toc-competitive-global-systems">Competitive global systems</a></li> <li><a href="#regional-systems" id="markdown-toc-regional-systems">Regional systems</a></li> <li><a href="#local-systems" id="markdown-toc-local-systems">Local systems</a></li> <li><a href="#galileo" id="markdown-toc-galileo">Galileo</a></li> <li><a href="#ublox" id="markdown-toc-ublox">Ublox</a></li> <li><a href="#indoor-gps" id="markdown-toc-indoor-gps">Indoor GPS</a></li> </ul> </li> <li><a href="#environment-representation" id="markdown-toc-environment-representation">Environment representation</a> <ul> <li><a href="#maps" id="markdown-toc-maps">Maps</a></li> <li><a href="#types-of-maps" id="markdown-toc-types-of-maps">Types of maps</a></li> </ul> </li> <li><a href="#planning" id="markdown-toc-planning">Planning</a> <ul> <li><a href="#prerequisites" id="markdown-toc-prerequisites">Prerequisites</a> <ul> <li><a href="#description-of-the-problem" id="markdown-toc-description-of-the-problem">Description of the problem</a></li> </ul> </li> <li><a href="#scheduling-algorithms" id="markdown-toc-scheduling-algorithms">Scheduling algorithms</a></li> <li><a href="#bug-algorithm" id="markdown-toc-bug-algorithm">Bug algorithm</a> <ul> <li><a href="#prerequisites-bug-alg" id="markdown-toc-prerequisites-bug-alg">Prerequisites bug alg</a></li> <li><a href="#bug-0" id="markdown-toc-bug-0">Bug 0</a></li> <li><a href="#bug-1" id="markdown-toc-bug-1">Bug 1</a></li> <li><a href="#bug-2" id="markdown-toc-bug-2">Bug 2</a></li> <li><a href="#comparison-of-bug-1-and-bug-2-todo" id="markdown-toc-comparison-of-bug-1-and-bug-2-todo">Comparison of Bug 1 and Bug 2 (TODO)</a></li> <li><a href="#tangent-bug" id="markdown-toc-tangent-bug">Tangent bug</a></li> </ul> </li> <li><a href="#dijkstra" id="markdown-toc-dijkstra">Dijkstra</a></li> <li><a href="#rapidly-exploring-random-trees" id="markdown-toc-rapidly-exploring-random-trees">Rapidly exploring random trees</a></li> <li><a href="#potential-field" id="markdown-toc-potential-field">Potential field</a></li> </ul> </li> <li><a href="#multirobot-systems" id="markdown-toc-multirobot-systems">Multirobot systems</a> <ul> <li><a href="#why-use-multirobot-systems" id="markdown-toc-why-use-multirobot-systems">Why use multirobot systems</a></li> <li><a href="#types-of-systems" id="markdown-toc-types-of-systems">Types of systems</a></li> </ul> </li> <li><a href="#satellite-localization-1" id="markdown-toc-satellite-localization-1">Satellite localization</a> <ul> <li><a href="#history-2" id="markdown-toc-history-2">History</a></li> <li><a href="#gps-satellites-1" id="markdown-toc-gps-satellites-1">GPS satellites</a></li> <li><a href="#competitive-global-systems-1" id="markdown-toc-competitive-global-systems-1">Competitive global systems</a></li> <li><a href="#regional-systems-1" id="markdown-toc-regional-systems-1">Regional systems</a></li> <li><a href="#local-systems-1" id="markdown-toc-local-systems-1">Local systems</a></li> <li><a href="#galileo-1" id="markdown-toc-galileo-1">Galileo</a></li> <li><a href="#ublox-1" id="markdown-toc-ublox-1">Ublox</a></li> <li><a href="#indoor-gps-1" id="markdown-toc-indoor-gps-1">Indoor GPS</a></li> </ul> </li> </ul> <hr /> <h2 id="references">References</h2> <ul> <li>Karel Čapek: R.U.R.</li> <li>Isaac Asimov: Runaround</li> <li>B. Siciliano, O. Khatib: Handbook of Robotics</li> <li>S.M. LaValle: Planning Algorithms</li> <li>R.J. Schilling: Fundamentals of robotics: Analysis &amp; Control</li> </ul> <hr /> <h2 id="history">History</h2> <p>Robots are old and in movies. There is also robotic fish.</p> <h3 id="prehistory">Prehistory</h3> <p>There is book <em>Leonardos robots</em>. Japan had mechanic dolls.</p> <h3 id="robotic-structures">Robotic structures</h3> <ul> <li>Manipulators <ul> <li>40’s of 20\(^{\text{th}}\) century - remote manipulation with radioactive material</li> <li>1961 - H.A. Ernst (MIT) - founder of company making manipulator robots</li> </ul> </li> <li>Mobile robots - remotely controlled <ul> <li>since ca. 70’s of 20\(^{\text{th}}\) century</li> </ul> </li> <li>Mobile robots - autonomous <ul> <li>since ca. 90’s of 20\(^{\text{th}}\) century</li> </ul> </li> </ul> <h3 id="three-laws-of-robotics">Three laws of robotics</h3> <blockquote> <p><strong>1. Law</strong><br /> A robot may not injure a human being or, through inaction, allow a human being to come to harm</p> </blockquote> <blockquote> <p><strong>2. Law</strong><br /> A robot must obey orders given to it by human beings, except where such orders would conflict with the first law.</p> </blockquote> <blockquote> <p><strong>3. Law</strong><br /> A root must protect its own existence as long as such protection does not conflict with the first or second laws.</p> </blockquote> <p>by Isaac Asimov, 1942, Runaround</p> <hr /> <h2 id="kinematics">Kinematics</h2> <ul> <li>Motion and transformation</li> <li>translation, rotation, spherical movement</li> <li>Movement of individual robot parts without relation to forces which move it.</li> <li>Representation of the location and orientation in space</li> <li><strong>Forward</strong> vs. <strong>Inverse kinematics</strong> <ul> <li>Calculate position of end effector vs. Calculate motion to reach desired position</li> </ul> </li> </ul> <h3 id="degrees-of-freedom-dof">Degrees of freedom (DOF)</h3> <ul> <li>Basic directions of translation and rotation</li> <li><strong>2D</strong> - 3 DOF [\(x,y,\alpha\)]</li> <li><strong>3D</strong> - 6 DOF [\(x,y,z,\alpha,\beta,\gamma\)] <ul> <li>Alternatively “\(x,y,z\) position + rotation i.r.t \(xy\) and \(zy\) planes and i.r.t. the tool rotation axis”</li> </ul> </li> <li>Human body has 244 DOF</li> </ul> <h3 id="manipulators">Manipulators</h3> <ul> <li>Manipulation of an object in space <ul> <li>at least 6 DOF for 3D</li> </ul> </li> <li>Arms, elbows, joints, hinges</li> <li>Joint variable \(q_i\) <ul> <li>denotes joint setup, orientation</li> </ul> </li> <li>Joints State \(q = [q_1, q_2,...,q_n]\) <ul> <li>DOF = \(n\)</li> </ul> </li> <li>Working space</li> <li>Local vs. Global coordinate system (LCS, GCS) <ul> <li>coordinates transformation</li> <li>lokální je užitečnější</li> </ul> </li> </ul> <h3 id="lower-pair-joints">Lower pair joints</h3> <ul> <li>Many variants possible, but usually: <ol> <li>revolute (DOF = 1)</li> <li>prismatic (DOF = 1)</li> <li>helical (DOF = 1)</li> <li>cylindrical (DOF = 2)</li> <li>spherical (DOF = 3)</li> <li>planar (DOF = 3)</li> </ol> </li> </ul> <p><img src="/assets/img/matfyz/foundation-of-robotics/kinematic-joint-types.png" alt="kinematics join types" /></p> <ul> <li>Primitive joint types: <ul> <li>prismatic</li> <li>revolute</li> </ul> </li> <li>Most robots are build using only these two</li> </ul> <h3 id="rotation">Rotation</h3> \[P' = R . P\] <h4 id="rotation-x-axis-angle-phi">Rotation \(x\) axis, angle \(\phi\)</h4> \[R_{x, \phi} = \begin{bmatrix} 1 &amp; 0 &amp; 0 \\ 0 &amp; \cos\phi &amp; -\sin\phi \\ 0 &amp; \sin\phi &amp; \cos\phi \end{bmatrix}\] <h4 id="rotation-y-axis-angle-psi">Rotation \(y\) axis, angle \(\psi\)</h4> \[R_{y, \psi} = \begin{bmatrix} \cos\psi &amp; 0 &amp; \sin\psi \\ 0 &amp; 1 &amp; 0 \\ -\sin\psi &amp; 0 &amp; \cos\psi \end{bmatrix}\] <h4 id="rotation-z-axis-angle-xi">Rotation \(z\) axis, angle \(\xi\)</h4> \[R_{z, \xi} = \begin{bmatrix} \cos\xi &amp; -\sin\xi &amp; 0 \\ \sin\xi &amp; \cos\xi &amp; 0 \\ 0 &amp; 0 &amp; 1 \\ \end{bmatrix}\] <h4 id="rotation-along-xyz-by-angles-phi-psi-xi">Rotation along \(x\),\(y\),\(z\) by angles \(\phi\), \(\psi\), \(\xi\)</h4> \[R_{\phi, \psi, \xi}=\left[\begin{array}{ccc} \cos (\psi) \cos (\xi) &amp; -\cos (\psi) \sin (\xi) &amp; \sin (\psi) \\ {} &amp; {} &amp; {} \\ \sin (\phi) \sin (\psi) \cos (\xi) &amp; -\sin (\phi) \sin (\psi) \sin (\xi) &amp; \\ +\cos (\phi) \sin (\xi) &amp; +\cos (\phi) \cos (\xi) &amp; -\sin (\phi) \cos (\psi) \\ &amp; &amp; \\ -\cos (\phi) \sin (\psi) \cos (\xi) &amp; \cos (\phi) \sin (\psi) \sin (\xi) &amp; \cos (\phi) \cos (\psi) \\ +\sin (\phi) \sin (\xi) &amp; +\sin (\phi) \cos (\xi) &amp; \end{array}\right]\] <h3 id="homogenní-souřadnice">Homogenní souřadnice</h3> <p>Bod \(p = (x,y,z,w)^{T}, x,y,z \in \R, w = 1\)</p> <h3 id="2d-rotation">2D Rotation</h3> \[\left(x^{\prime}, y^{\prime}, w^{\prime}\right)^{T}= \left[\begin{array}{ccc} \cos (\alpha) &amp; -\sin (\alpha) &amp; 0 \\ \sin (\alpha) &amp; \cos (\alpha) &amp; 0 \\ 0 &amp; 0 &amp; 1 \end{array}\right] \begin{bmatrix}x \\ y \\ w\end{bmatrix}\] <h3 id="2d-translation">2D Translation</h3> \[\left(x^{\prime}, y^{\prime}, w^{\prime}\right)^{T}= \left[\begin{array}{ccc} 1 &amp; 0 &amp; d_{x} \\ 0 &amp; 1 &amp; d_{y} \\ 0 &amp; 0 &amp; 1 \end{array}\right] \begin{bmatrix}x \\ y \\ w\end{bmatrix}\] <h3 id="rotation--translation">Rotation + translation</h3> <p>\(P^{\prime}=R \cdot P + T \rightarrow P^{\prime} = \Tau . P\)</p> \[\begin{bmatrix} P' \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} R &amp; T \\ 0\cdots0 &amp; 1 \end{bmatrix} \cdot P\] \[\begin{bmatrix} x' \\ y' \\ z' \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \begin{bmatrix} \square &amp; \square &amp; \square \\ \square &amp; \square &amp; \square \\ \square &amp; \square &amp; \square \\ \end{bmatrix} &amp;\kern-1em \begin{array}{c} t_{x} \\ t_{y} \\ t_{z} \end{array} \\ 0 \kern1.3em 0 \kern1.3em 0 &amp;\kern-1em 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \\ 1 \end{bmatrix}\] <hr /> <h3 id="forward-kinematics-3d">Forward kinematics (3D)</h3> <ul> <li>\(P = f(q)\)\(\)</li> <li>\(q = [q_{1},q_{2},\ldots,q_{6}]\)\(\)</li> <li>\(P = [x,y,z,\alpha,\beta,\gamma]\)\(\)</li> <li>General <ul> <li>each link represented by its geometric transformation</li> <li>transition between \(LCS\)s (local coordinates system)</li> </ul> </li> <li>may be hard to construct the full combined transformation matrix</li> </ul> <h3 id="system-composition">System composition</h3> <ul> <li>General a. each link represented by its geometric transformation b. translation between \(LCS\)s</li> <li>May be hard to construct the full combined transformation matrix</li> </ul> <p><img src="/assets/img/matfyz/foundation-of-robotics/dh-example.png" alt="DH example" /></p> <h3 id="denavit-hartengerg">Denavit-Hartengerg</h3> <p>Fictive movements which connect two systems:</p> <blockquote> <p><em>rotate, move, move, rotate</em>.</p> </blockquote> <p>That can be generalized to any sequence.</p> <ul> <li><strong>Typical system composition</strong> <ul> <li>Chains composed of rotational and translatioal joints only: <ul> <li>joint \(k\) connects links \(k_{i-1}\) and \(k_i\)</li> <li>link \(k\) connects joints \(k_i\) and \(k_{i+1}\)</li> </ul> </li> </ul> </li> </ul> <p><img src="/assets/img/matfyz/foundation-of-robotics/tsc1.png" alt="tsc" /></p> <h5 id="denavit-hartenberg-overview">Denavit-Hartenberg overview</h5> <div class="definition-block"><p class="definition-label"><b>Definice</b></p> <p>Relation between \(L C S_{i-1}\) and \(L C S_{i}\) is a composed transformation:</p> <table> <tbody> <tr> <td>1. Rotate \(x_{i-1}\) axis along \(z_{i-1}\) by angle \(\vartheta_{i}\)</td> <td>\(A_{z_{i-1},\vartheta_{i}}\)</td> </tr> <tr> <td>2. Translate \(x_{i-1}\) axis towards \(z_{i-1}\) by distance \(d_{i}\)</td> <td>\(A_{z_{i-1}, d_{i}}\)</td> </tr> <tr> <td>3. Translate \(L C S_{i-1}\) along \(x_{i}\) axis by distance \(a_{i}\)</td> <td>\(A_{x, a_{i}}\)</td> </tr> <tr> <td>4. Rotate \(z_{i-1}\) axis along \(x_{i}\) by angle \(\alpha_{i}\)</td> <td>\(A_{x, \alpha_{i}}\)</td> </tr> </tbody> </table> <p>DH parameters: \(\vartheta_{i}, d_{i}, a_{i}, \alpha_{i}\)</p> </div> <p><img src="/assets/img/matfyz/foundation-of-robotics/lcs-example.png" alt="lcs example" width="400px" /></p> <h4 id="dh-transformation">DH transformation</h4> <ol> <li> <p>Rotate \(x_{i-1}\) axis along \(z_{i-1}\) by angle \(\vartheta_{i}\)</p> \[A_{z_{i-1}, \vartheta_{i}}=\left[\begin{array}{cccc} \cos \left(\vartheta_{i}\right) &amp; -\sin \left(\vartheta_{i}\right) &amp; 0 &amp; 0 \\ \sin \left(\vartheta_{i}\right) &amp; \cos \left(\vartheta_{i}\right) &amp; 0 &amp; 0 \\ 0 &amp; 0 &amp; 1 &amp; 0 \\ 0 &amp; 0 &amp; 0 &amp; 1 \end{array}\right]\] </li> <li> <p>Translate \(x_{i-1}\) axis towards \(z_{i-1}\) by distance \(d_{i}\)</p> \[A_{z_{i-1}, d_{i}}=\left[\begin{array}{cccc} 1 &amp; 0 &amp; 0 &amp; 0 \\ 0 &amp; 1 &amp; 0 &amp; 0 \\ 0 &amp; 0 &amp; 1 &amp; d_{i} \\ 0 &amp; 0 &amp; 0 &amp; 1 \end{array}\right]\] </li> <li> <p>Translate \(L C S_{i-1}\) along \(x_{i}\) axis by distance \(a_{i}\)</p> \[A_{x_{i}, a_{i}}=\left[\begin{array}{cccc} 1 &amp; 0 &amp; 0 &amp; a_{i} \\ 0 &amp; 1 &amp; 0 &amp; 0 \\ 0 &amp; 0 &amp; 1 &amp; 0 \\ 0 &amp; 0 &amp; 0 &amp; 1 \end{array}\right]\] </li> <li> <p>Rotate \(z_{i-1}\) axis along \(x_{i}\) by angle \(\alpha_{i}\)</p> \[A_{z_{i-1}, d_{i}}=\left[\begin{array}{cccc} 1 &amp; 0 &amp; 0 &amp; 0 \\ 0 &amp; \cos \left(\alpha_{i}\right) &amp; -\sin \left(\alpha_{i}\right) &amp; 0 \\ 0 &amp; \sin \left(\alpha_{i}\right) &amp; \cos \left(\alpha_{i}\right) &amp; 0 \\ 0 &amp; 0 &amp; 0 &amp; 1 \end{array}\right]\] </li> </ol> <p>Finálně vše zkombinujeme</p> \[A_{i-1}^{i}=A_{z_{i-1}, \vartheta_{i}} \cdot A_{z_{i-1}, d_{i}} \cdot A_{x, a_{i}} \cdot A_{x, \alpha_{i}}\] \[A_{i-1}^{i}= \left[\begin{array}{cccc} \cos \left(\vartheta_{i}\right) &amp; -\sin \left(\vartheta_{i}\right) \cos \left(\alpha_{i}\right) &amp; \sin \left(\vartheta_{i}\right) \sin \left(\alpha_{i}\right) &amp; a_{i} \cos \left(\vartheta_{i}\right) \\ \sin \left(\vartheta_{i}\right) &amp; \cos \left(\vartheta_{i}\right) \cos \left(\alpha_{i}\right) &amp; -\cos \left(\vartheta_{i}\right) \sin \left(\alpha_{i}\right) &amp; a_{i} \sin \left(\vartheta_{i}\right) \\ 0 &amp; \sin \left(\alpha_{i}\right) &amp; \cos \left(\alpha_{i}\right) &amp; d_{i} \\ 0 &amp; 0 &amp; 0 &amp; 1 \end{array}\right]\] <ul> <li>DH parameters: \(\vartheta_{i}, d_{i}, a_{i}, \alpha_{i}\) <ul> <li>\(\vartheta_{i}\) angle between \(x\) axes about \(z_{i-1}\) (joint angle)</li> <li>\(d_{i}\) distance between \(x\) axes (link offset)</li> <li>\(a_{i}\) distance between \(z\) axes (link length)</li> <li>\(\alpha_{i}\) angle between \(z\) axes about \(x_{i}\) (link twist)</li> </ul> </li> </ul> <h4 id="ai_i-1-usage">\(A^i_{i-1}\) usage</h4> <ul> <li>universal transformation between two adjacent \(LCS\)</li> <li>Same format independent to joint type: <ul> <li>Rotation - \(\vartheta_{i}\) variable, others are constant</li> <li>Traslation - \(d_{i}\) variable, others are constant</li> </ul> </li> <li>Forward kinematics is easy: <ul> <li>while iterating, we use always one variable and 3 constants</li> </ul> </li> </ul> <h4 id="dh-system-construction">DH system construction</h4> <ul> <li>Joints numbered \(0\ldots n\) (\(0\) is the first, fixed, \(1\ldots n\) are the rest, moving)</li> <li>Links numbered \(1\ldots n\) (link \(i\) connects joints \(i-1\) and \(i\))</li> <li>Right-handed orthonormal coordinate system</li> <li>Let axis \(z_{i-1}\) be the axis of joint \(i\) movement, positive direction towards positive quadrant of the basic system</li> <li>Let axis \(x_{i}\) be perpendicular to \(z_{i-1}\) and \(z_{i}\) : <ul> <li>\(z_{i-1}\) and \(z_{i}\) identical - endpoint of joint \(i\), parallel to \(x_{i-1}\)</li> <li>skew \(-x_{i}\) share the normal \(z_{i-1}\) a \(z_{i}\), positive direction from \(z_{i-1}\) towards \(z_{i}\).</li> <li>intersecting \(-x_{i}\) perpendicular to \(z_{i-1}\) and \(z_{i}\), in the intersection, positive direction so that it moves along \(x_{i}\) from \(z_{i-1}\) to \(z_{i}\) in positive sense</li> </ul> </li> <li>Set \(y_{i}\) axis to complete the right-handed orthonormal \(LCS_{i}\)</li> <li>Set \(LCS_{i}\) origin at intersection of \(z_{i-1}\) and \(z_{i}\) or (if they do not intersect) at intersection of their common normal and \(z_{i}\)</li> <li>Determine the four parameters: <ul> <li>\(\vartheta_{i} \ldots\) angle of rotation from \(x_{i-1}\) to \(x_{i}\) about \(z_{i-1}\)</li> <li>\(d_{i} \ldots\) distance from \(L C S_{i}\) origin to \(b_{i}\) along \(z_{i-1}, b_{i}\) is the intersection of \(x_{i}\) and \(z_{i-1}\) (or \(x_{i}\) and their common normal)</li> <li>\(a_{i} \ldots\) distance from \(b_{i}\) to \(L C S_{i}\) origin along \(x_{i}\)</li> <li>\(\alpha_{i} \ldots\) angle of rotation from \(z_{i-1}\) to \(z_{i}\) about \(x_{i}\)</li> </ul> </li> <li>\(z_{n}\) from the endpoint of last link either parallel to \(z_{n-1}\) or to some significant direction (e.g. supply cable)</li> <li>\(x_{n}\) from the endpoint of the last link so that it intersects \(z_{n-1}\), positive direction towards the workspace.</li> </ul> <h2 id="motion-model">Motion model</h2> <h3 id="holonomic--non-holonomic-drive">Holonomic / non-holonomic drive</h3> <div class="definition-block"><p class="definition-label"><b>Definice</b></p> <p>A vehicle is holonomic if the number of local degrees of freedom of movement equals the number of global degrees of freedom.</p> </div> <h3 id="ackermann-steering">Ackermann steering</h3> <table> <tbody> <tr> <td><img src="/assets/img/matfyz/foundation-of-robotics/ackermann-steering1.png" alt="Ackeermann steering example" /></td> <td><img src="/assets/img/matfyz/foundation-of-robotics/ackermann-steering2.png" alt="Ackermann steering diagram" /></td> </tr> <tr> <td>Basic principle</td> <td>Simplified model</td> </tr> </tbody> </table> <ul> <li>Non-holonomic</li> <li>Constant \(\omega \Rightarrow\) movement along a circle or straight line</li> <li>Circle: \(r_{s}=\frac{d}{\sin \omega}, r_{0}=\frac{d}{\tg\omega}\)</li> <li>Orientation change \(\Delta \theta=\frac{\Delta S}{r_{s}}\)</li> <li>Manoeuvring abilities depend on \(d\) and \(\omega_{\max }\) (wheelbase and wheel turn)</li> </ul> <h3 id="differential-steering">Differential steering</h3> <ul> <li>non-holonomic</li> </ul> \[r_{n}=\frac{b}{2} \frac{\Delta R+\Delta L}{\Delta R-\Delta L}\] <ul> <li>Approximation:</li> </ul> \[\Delta \theta =\frac{S_{n}}{r_{n}}=\frac{\frac{\Delta R+\Delta L}{2}}{\frac{b}{2} \frac{\Delta R+\Delta L}{\Delta R-\Delta L}}=\frac{\Delta R-\Delta L}{b}\] \[\begin{aligned} x_{n} &amp; =x_{n-1}+S_{n}\left[\cos \left(\Delta \theta+\theta_{n-1}\right)\right] \\ y_{n} &amp; =y_{n-1}+S_{n}\left[\sin \left(\Delta \theta+\theta_{n-1}\right)\right] \end{aligned}\] <ul> <li>more precisely, integrating:</li> </ul> \[\begin{aligned} x(t)&amp;=x_{0}+\frac{b\left(v_{r}+v_{l}\right)}{2\left(v_{r}-v_{l}\right)}\left[\sin \left(\left(v_{r}-v_{l}\right) t / b+\theta\right)-\sin (\theta)\right] \\ y(t)&amp;=y_{0}+\frac{b\left(v_{r}+v_{l}\right)}{2\left(v_{r}-v_{l}\right)}\left[\cos \left(\left(v_{r}-v_{l}\right) t / b+\theta\right)-\cos (\theta)\right] \end{aligned}\] <ul> <li>Differential steering for real life - General trajectory is replaced by a series of <ul> <li>line segments \((\Delta R=\Delta L, r=\infty)\)</li> <li>arcs \(\left(\Delta R \neq \Delta L, r=\frac{b}{2} \frac{\Delta R+\Delta L}{\Delta R-\Delta L}\right)\)</li> </ul> </li> <li>Wisely set \(\Delta t\)</li> <li>Odometry</li> </ul> <h3 id="omnidirectional-steering">Omnidirectional steering</h3> <ul> <li>Wheels are able to run in any direction</li> <li>Swerve/Crab drive</li> <li>Omniwheel</li> <li>Mecanum wheel</li> </ul> <table> <tbody> <tr> <td><img src="/assets/img/matfyz/foundation-of-robotics/omniwheel1.jpg" alt="Omniwheel examples 1" /></td> </tr> <tr> <td><img src="/assets/img/matfyz/foundation-of-robotics/omniwheel2.jpg" alt="Omniwheel examples 2" /></td> </tr> </tbody> </table> <ul> <li>Syncro drive <ul> <li>Holds yaw (body rotation) independently to movement direction</li> <li>Arbitrary movement as for omnidrive</li> </ul> </li> </ul> <p><img src="/assets/img/matfyz/foundation-of-robotics/syncro-drive.jpg" alt="syncro drive" width="600px" /></p> <ul> <li>High manoeuvring ability <ul> <li>sideways run</li> <li>start in any direction</li> <li>body orientation independent on movement direction</li> <li>on-place turning</li> </ul> </li> <li>Simpler mechanical construction for omniwheels and mecanum wheels (fixed mount)</li> </ul> <h4 id="1-holonomic">1. Holonomic</h4> <ul> <li>Movement easily calculated by vector combination</li> </ul> <p><img src="/assets/img/matfyz/foundation-of-robotics/holonomic-movement.jpg" alt="Holonomic movement" /></p> <h4 id="2-killough--ilon-wheels">2. Killough / Ilon wheels</h4> <p><img src="/assets/img/matfyz/foundation-of-robotics/killough-movement1.jpg" alt="Killough movement scheme" /> <img src="/assets/img/matfyz/foundation-of-robotics/killough-movement2.jpg" alt="Killough movement example" /></p> <h4 id="3-omniwheel-drive">3. Omniwheel drive</h4> <p><img src="/assets/img/matfyz/foundation-of-robotics/omniwheel-directions.jpg" alt="Omniwheel direction visualised" /></p> <h4 id="mecanum--swerve-drive">Mecanum \&amp; swerve drive</h4> <p><img src="/assets/img/matfyz/foundation-of-robotics/mecanum-drive.jpg" alt="Mecanum drive" /></p> <h3 id="robot-movement">Robot movement</h3> <ul> <li>Got \(\overrightarrow{v_{t}}\) (translation speed) and \(\vec{\omega}\) (rotation speeds)</li> <li>Need \(\vec{v}\) - specific point speed</li> <li>vector approach</li> </ul> <table> <tbody> <tr> <td><img src="/assets/img/matfyz/foundation-of-robotics/robot-movement-scheme1.jpg" alt="robot movement scheme 1" /></td> <td><img src="/assets/img/matfyz/foundation-of-robotics/robot-movement-scheme2.jpg" alt="robot movement scheme 2" class="image-w500px" /></td> </tr> </tbody> </table> <div class="spliter"> <div class="spliter-item"> <h4 id="swerve-drive">Swerve drive</h4> <ul> <li>Resolve \(\overrightarrow{v_{t}}\) (\(x\), \(y\) components = axes velocities ) into wheel speed \(v_{w}\) and steering angle \(\theta\)</li> </ul> \[\begin{aligned} v_{\omega} &amp;=\sqrt{v_{x}^{2}+v_{y}^{2}} \\ \theta &amp;=\arctan \left(\frac{v_{y}}{v_{x}}\right) \end{aligned}\] <ul> <li>Resolve velocity into parallel and perpendicular components; magnitude \(v\) of parallel component is wheel speed \(v_{w}\)</li> <li>\(\hat{u}\) is a unit vector in the direction of the wheel (whichever direction is assumed to be “forwards”)</li> </ul> \[\begin{aligned} v_{w} &amp;= v_{\|}=\vec{v} \cdot \hat{u} \\ &amp;=\left(v_{x} \hat{\imath}+v_{y} \hat{\jmath}\right) \cdot\left(-\frac{1}{\sqrt{2}} \hat{\imath}+\frac{1}{\sqrt{2}} \hat{\jmath}\right) \\ &amp;=-\frac{1}{\sqrt{2}} v_{x}+\frac{1}{\sqrt{2}} v_{y} \end{aligned}\] </div> <div class="spliter-item"> <p><img src="/assets/img/matfyz/foundation-of-robotics/swerve-drive.jpg" alt="swerve drive" class="image-w300px" /></p> </div> </div> <div class="spliter"> <div class="spliter-item"> <h4 id="mecanum-drive">Mecanum drive</h4> <ul> <li>Similar to omniwheel drive</li> <li>Conceptually: Resolve velocity into components parallel to wheel and parallel to roller</li> <li>Not easy to calculate directly (directions are not perpendicular), so do it in two steps:</li> <li>Resolve to roller</li> <li>Resolve to wheel</li> </ul> </div> <div class="spliter-item"> <p><img src="/assets/img/matfyz/foundation-of-robotics/mecanum-drive-wheel1.jpg" alt="Mecanum drive wheel 1" class="image-w300px" /></p> </div> </div> <div class="spliter"> <div class="spliter-item"> <ul> <li>Resolve velocity into components parallel and perpendicular to roller axis</li> <li>\(\hat{u}\) is not the same for each wheel; pick direction parallel to roller axis, in forwards direction</li> <li>Perpendicular component can be discarded</li> </ul> \[v_{\|}=\vec{v} \cdot \hat{u}\] \[=\left(v_{x} \hat{\imath}+v_{y} \hat{\jmath}\right) \cdot\left(-\frac{1}{\sqrt{2}} \hat{\imath}+\frac{1}{\sqrt{2}} \hat{\jmath}\right)\] </div> <div class="spliter-item"> <p><img src="/assets/img/matfyz/foundation-of-robotics/mecanum-drive-wheel2.jpg" alt="mecanum drive wheel 2" class="image-w300px" /></p> </div> </div> <div class="spliter"> <div class="spliter-item"> <ul> <li>Use component parallel to roller axis and resolve it into components parallel to wheel and parallel to roller</li> <li>\(v_{w}\) is the component parallel to the wheel</li> <li>When the angle is known, we can calculate \(v_{w}\) directly. <ul> <li>E.g. for \(45^{\circ}\) inclination:</li> </ul> </li> </ul> \[\begin{aligned} v_{w} &amp; =\frac{v_{\|}}{\cos 45^{\circ}} \\ &amp; =\sqrt{2}\left(-\frac{1}{\sqrt{2}} v_{x}+\frac{1}{\sqrt{2}} v_{y}\right) \\ &amp; =-v_{x}+v_{y} \end{aligned}\] </div> <div class="spliter-item"> <p><img src="/assets/img/matfyz/foundation-of-robotics/mecanum-drive-wheel2.jpg" alt="mecanum drive wheel 3" class="image-w300px" /></p> </div> </div> <h2 id="localization">Localization</h2> <ul> <li>The goal is to find the position and orientation of the robot (pose) <ol> <li>relative to the map</li> <li>relative to the environment</li> </ol> </li> <li>Sometimes we also want to determine the position and orientation of individual parts</li> </ul> <h3 id="coordinate-transformation">Coordinate transformation</h3> <ul> <li>The map is independent of the robot’s movement</li> <li>The sensors move with the robot - it has local coordinates</li> <li>Localization tries to map the local and global position onto each other</li> <li>The pose cannot be perceived directly</li> <li>We divide localization into <ul> <li>absolute (global) / relative (local)</li> <li>passive / active</li> <li>static / dynamic (lighting, obstacles,… do (not) change )</li> </ul> </li> </ul> <h3 id="absolute-localization">Absolute localization</h3> <ul> <li>Measurement / Approximation regardless of previous state, typically more demanding on performance / technology</li> <li>Localization after reset / relocation is problematic (wake up / kidnap problem)</li> <li>Uses landmarks, or GPS and other services</li> </ul> <h3 id="relative-localization">Relative localization</h3> <ul> <li>Track position and update (<a href="#odometry">odometry</a>)</li> <li>we know the initial position</li> <li>we measure / estimate the change compared to the previous state (change in rotation and orientation)</li> <li>The problem is the accumulation of the error - after a long time the error can be too large</li> </ul> <h4 id="dead-reckoning">Dead reckoning</h4> <ul> <li>the easiest localization</li> <li>direction + speed + time of movement</li> <li>accumulates an error</li> </ul> <h4 id="odometry">Odometry</h4> <ul> <li>Measurement of wheel rotation (in different places we measure slightly different values) (TODO to explain)</li> <li>Systematic errors: <ul> <li>losses</li> <li>different wheel radii</li> <li>other specified and actual parameters</li> <li>asymmetry</li> <li>measurement resolution</li> <li>sampling frequency</li> <li>etc.</li> </ul> </li> <li>Unsystematic errors: <ul> <li>terrain irregularities</li> <li>obstacles</li> <li>poor contact with the surface</li> </ul> </li> </ul> <h4 id="robot-centric-sensors">Robot centric sensors</h4> <p>Most sensors move with the robot, so we have to do further data processing (e.g. recalculate coordinates relative to the global system,\(\ldots\)).</p> <h4 id="types-of-localization">Types of localization</h4> <ul> <li><strong>Passive</strong> <ul> <li>does not affect the control of the robot</li> </ul> </li> <li><strong>Active localization</strong> <ul> <li>If the measurement is needed, it will affect the behavior of the robot</li> <li>active measurement and navigation</li> </ul> </li> <li><strong>Realistic localization</strong> <ul> <li>Inputs are not trustworthy, actuators are not reliable, external influences must be taken into account</li> </ul> </li> </ul> <h4 id="a-possible-solutions">A possible solutions</h4> <ol> <li>More accurate measurement - better sensors and actuators, data filtering, the most accurate model of the robot and the environment</li> <li>Do not rely on the fact that localization is accurate - probabilistic methods, fuzzy logic, interval algebra <ul> <li>We can consider the data as random variables (inputs, pose)</li> <li>The position estimate is then a distribution</li> <li>Localization is then the search for a distribution that best matches the real position of the robot</li> <li>In 1D Belief \(Bel(x)\) where \(\int_{-\infty}^{\infty}Bel(x)dx=1\) Ideally, \(Bel(x) = 1\) for exact but we can’t reach the position</li> <li>We want to model \(Bel(x) = P(x\mid l_{1},\dots,l_{k})\)</li> <li>Random modeling can be used with particle filters, Bayesian methods,…</li> <li>We estimate the posterior by measuring the prior</li> </ul> </li> </ol> <h5 id="representation">Representation</h5> <ul> <li>Continuous representation is more accurate but harder to obtain and maintain (Kalman filter)</li> <li>That’s why we use a rather discrete representation</li> <li>This way we get probability grids, topological graphs,…</li> </ul> <h5 id="probability-grid">Probability Grid</h5> <ul> <li>\(Bel(l)\) indicates the probability of the appearance of a robot in the \(L_{ij}\) field</li> <li>Difficulty depends on grid fineness and map size</li> <li>It can be reduced using <ul> <li>selective updates (only interesting part of the grid)</li> <li>Hierarchical models (quadtree)</li> <li>non-orthogonal graphs</li> </ul> </li> </ul> <h5 id="topological-graphs">Topological graphs</h5> <ul> <li>Nodes - positions, edges - possible transitions</li> <li>\(Bel(l)\) indicates the probability of occurrence in a given node</li> <li>More nodes can be made in the place where the robot is more likely to be found</li> <li>The chart does not need to contain geometric data</li> </ul> <h5 id="monte-carlo-localization">Monte Carlo localization</h5> <ul> <li>A set of weighted points in space</li> <li>\(Bel(l)\) is the sum of the weights of points at a given distance from l</li> <li>More points can be created for a more likely location</li> <li>Algorithm: <blockquote> <ol> <li>Sample movement, weights do not change</li> <li>Correction, the positions of the points do not change, recalculate the weights</li> <li>Oversampling, cleaning - discard unnecessary points, add new ones,…</li> </ol> </blockquote> </li> <li>Doesn’t work well for too accurate sensors, but not too imprecise either</li> <li>There is a lot of noise when navigating outside - MC can combine multiple measurements well</li> </ul> <h5 id="continuous-representation-kalman-filter">Continuous representation (Kalman filter)</h5> <ul> <li>based on a normal distribution</li> <li>cannot record multiple hypotheses</li> <li>strict assumption: measurements must have a normal distribution</li> </ul> <h5 id="other-methods">Other methods</h5> <ul> <li>fuzzy logic</li> <li>interval algebra</li> </ul> <h4 id="solution-3-no-localization">Solution 3 no localization</h4> <ul> <li>hardcoded automata</li> <li>reactive systems</li> <li>evolutionary algorithms</li> </ul> <h5 id="slam">SLAM</h5> <ul> <li><strong>s</strong>imultaneous <strong>l</strong>ocation <strong>a</strong>nd <strong>m</strong>apping</li> <li>browsing a static environment</li> <li>we want to create a map and find the position from it</li> <li>a poorly recognized landmark can cause a huge error</li> <li>when using more landmarks, the difficulty increases (\(n^2\), with \(n \log n\) improvements)</li> <li>map errors and movement errors can be correlated</li> <li>knowledge of the angle with respect to two landmarks determines the part of the circle</li> <li>in addition, the distance can be calculated while moving</li> </ul> <h2 id="satellite-localization">Satellite localization</h2> <p>If we know the distance of the aiming point from the satellite, it will determine the sphere. Two specifies a circle and three a point. In practice, at least four satellites are typically used.</p> <blockquote> <p><strong>Simple idea:</strong> measuring the signal time-of-flight \(\rightarrow\) distance</p> </blockquote> <h3 id="history-1">History</h3> <ul> <li>Werner von Braun (V1, V2,…)</li> <li>Sputnik(1957) The Doppler effect on the signal was another idea for a method of measurement.</li> <li><strong>Transit</strong> <ul> <li>US Navy</li> <li>proof of concept, but didn’t cover the whole country, slow, 2D only</li> <li>TODO technology</li> </ul> </li> <li><strong>Timeation</strong> <ul> <li>uses precise (later atomic) clocks</li> <li>2D only</li> </ul> </li> <li><strong>621B</strong> <ul> <li>US air force</li> <li>Can also target planes (3D)</li> <li>Pseudo-random noise increases resilience</li> <li>Needs constant satellite-ground connection</li> </ul> </li> <li><strong>NAVSEG</strong> <ul> <li>a group formed by the cooperation of several sectors</li> <li>Uses ideas from Transit (orbit + prediction) and Timetion (accurate clock) and 621B (resilient signal)</li> <li>In 1973, <strong>Navstar GPS</strong> was created, the basis of today’s GPS launched in 1978</li> <li>Accuracy about 10 m</li> <li>Initially intended only for the military, later a less accurate version of the signal was broadcast for civilian purposes.</li> <li>Since 2000, even the more accurate army version is available to everyone</li> </ul> </li> <li>Navigation failure caused several air accidents (typically wrong trajectory -&gt; shot down USSR)</li> </ul> <h3 id="gps-satellites">GPS satellites</h3> <ul> <li>6 Orbit \(60{\degree}\) gap declination \(55\degree\) after four slots</li> <li>There are at least four satellites in each orbit</li> <li>At least 4 satellites are visible from every location on earth</li> <li>Due to atmospheric phenomena and calculation errors, the GPS error is about 15m with post processing, better accuracy around 10m can be achieved</li> </ul> <h3 id="competitive-global-systems">Competitive global systems</h3> <p>Compass(China), Galileo(EU), GLONASS(Russia)</p> <h3 id="regional-systems">Regional systems</h3> <p>Beidou(China), DORIS(France), IRNSS(India)</p> <h3 id="local-systems">Local systems</h3> <ul> <li>EGNOS, GAGAN, MSAS, WAAS</li> <li>Typically a stationary satellite</li> </ul> <h3 id="galileo">Galileo</h3> <p>European project, more accurate (about 1 m)</p> <h3 id="ublox">Ublox</h3> <ul> <li>centimeter accuracy</li> <li>uses RTK technology, which combines several techniques and thus achieves higher accuracy (verify)</li> </ul> <h3 id="indoor-gps">Indoor GPS</h3> <ul> <li>Local location determination can be done using Wifi or bluetooth</li> <li>More accurate technology can achieve about 1m accuracy</li> </ul> <h2 id="environment-representation">Environment representation</h2> <h3 id="maps">Maps</h3> <p>we divide according to several aspects</p> <ul> <li><strong>according to production</strong> <ul> <li>manual (expensive)</li> <li>(semi)automatic</li> </ul> </li> <li><strong>According to production time</strong> <ul> <li>online</li> <li>offline</li> </ul> </li> <li><strong>According to time of use</strong> <ul> <li>Firm</li> <li>adaptive</li> </ul> </li> <li><strong>basic division</strong> <ul> <li>Metric</li> <li>Topological</li> </ul> </li> <li><strong>By level of abstraction</strong> <ul> <li>Sensory</li> <li>Geometric</li> <li>Topological</li> <li>Symbolic</li> </ul> </li> </ul> <h3 id="types-of-maps">Types of maps</h3> <ul> <li><strong>Metric maps</strong> <ul> <li>Based on the given coordinate system</li> <li>Objects are represented by coordinates</li> <li>tourist map, (city plan)…</li> </ul> </li> <li><strong>Topological maps</strong> <ul> <li>They don’t have positional information only about relationships between objects.</li> <li>For example connections, neighboring objects…</li> <li>Additional information: names, attributes and other data important to the robot.</li> <li>Typically chart + labels + metadata.</li> <li>Maps in robotics tend to be a combination of both approaches.</li> </ul> </li> <li><strong>Sensory maps</strong> <ul> <li>Uses sensor input or pre-processed data (filtered,…).</li> <li>For example occupancy grid - regular (square, hex,…) or irregular (various sizes and shapes).</li> <li>Mostly they are only local</li> </ul> </li> <li><strong>Geometric maps</strong> <ul> <li>Description based on geom objects: curves, cubes, cylinders,…</li> <li>Automatic production is demanding</li> </ul> </li> <li><strong>Topological maps</strong> <ul> <li>typically a geom map generalized to a graph</li> <li>mostly used by: <ul> <li>nodes = objects and edges = adjacent obj</li> <li>nodes = objects and connections, edges = affiliations (TODO meaning)</li> </ul> </li> </ul> </li> <li><strong>Symbolic maps</strong> <ul> <li>for direct robot communication with people, e.g. prolog(?)</li> </ul> </li> <li><strong>Occupancy grid</strong> <ul> <li>directly it is difficult to maintain <ul> <li>probabilistic methods</li> <li>fuzzy approach</li> <li>Neurons, genetic alg. - a problem with learning and anticipating unexpected events</li> </ul> </li> </ul> </li> </ul> <h2 id="planning">Planning</h2> <h3 id="prerequisites">Prerequisites</h3> <ul> <li>Mapping</li> <li>Knowledge of location and destination</li> <li>Movement model</li> <li>Metric</li> </ul> <h4 id="description-of-the-problem">Description of the problem</h4> <ul> <li>go from start to finish</li> <li>find a path or notice that it does not exist</li> <li>reacts to the surroundings - avoiding obstacles,…</li> <li>Sometimes we want navigation: planning and avoiding obstacles</li> <li>Planning is the opposite of avoiding obstacles, however both complement each other</li> </ul> <h3 id="scheduling-algorithms">Scheduling algorithms</h3> <ul> <li>Graph methods</li> <li>Use of grid, potential field</li> <li>independent of map type</li> <li>Exact, Approximate, Probabilistic, \(\ldots\)</li> </ul> <h3 id="bug-algorithm">Bug algorithm</h3> <ul> <li>has no global model - no map, does not know the location of obstacles or if there is a solution</li> <li>knows the destination location relative to the starting location</li> <li>only local detection of the surroundings (contact), possibly at a short distance</li> <li>Reactive</li> </ul> <h4 id="prerequisites-bug-alg">Prerequisites bug alg</h4> <ul> <li>2D static environment</li> <li>Final parameters: the number of obstacles and their perimeters,</li> <li>non-zero thickness of obstacles</li> <li>Straight line crosses with obstacles</li> <li>Obstacles do not touch, they can be united when overlapping</li> </ul> <h4 id="bug-0">Bug 0</h4> <ul> <li>Go straight to the target</li> <li>When you hit an obstacle, go around the obstacle until you can’t go straight to the goal</li> <li>It may not work - for example, for a circle with a small hole (where the target is on the opposite side to the center), the robot will go inside and before it comes out, it will get to the state where it can go to the target again</li> </ul> <h4 id="bug-1">Bug 1</h4> <ul> <li>Go straight to the target</li> <li>When you hit an obstacle, go around the obstacle</li> <li>After you go around the obstacle, go to the place that was closest to the goal and go straight again</li> <li>The robot will never return to the obstacle from which it left (it will exit from the place that is closest to the target towards it)</li> <li>Because the robot’s position is always in a sufficiently large circle around the target, it will encounter only finitely many obstacles, so the algorithm is finite.</li> <li>The robot does not ignore obstacles, so the paths found are valid</li> <li>If the path existed but the robot did not find it, then the path from the minimum to the goal must lead directly to the obstacle</li> <li> <p>But each straight line passes through the obstacle \(2k\) times. Therefore there is another intersection, this intersection must be closer to the goal because it lies on the way to the goal. If there is a path to this place, the robot would choose this - the dispute cannot get closer to the goal. (TODO check)</p> </li> <li><strong>Distance Estimate</strong> <ul> <li>Best case \(\lvert \text{target} - \text{start} \rvert\)</li> <li>Worst case</li> <li>For each obstacle in the circle \(\lvert \text{target}-\text{start}\rvert\) from the target, we count 1.5 times the perimeter (he goes around it and chooses a shorter path to the minimum) + \(\lvert \text{target}-\text{start}\rvert\)</li> </ul> </li> </ul> <h4 id="bug-2">Bug 2</h4> <p>Go to the goal, if you come across an obstacle, go around it until you can’t go straight to the goal again</p> <div class="lemma-block"><p class="lemma-label">Lemma</p> <p>Bug 2 finally encounters many obstacles and passes them all through the start-finish junction</p> <p>Bug 2 passes each point on the obstacle at most \(\frac{n_i}{2}\) times, where \(n_i\) is the number of crossings of the obstacle \(i\) with the start-finish line.</p> </div> <ul> <li><strong>Distance Estimate</strong> <ul> <li>Best case \(\lvert \text{target} - \text{start} \rvert\)</li> <li>Worst case - For each obstacle on the connecting line between the start and the finish line, we count half the circumference</li> </ul> </li> </ul> \[\lvert \text{target} - \text{start} \rvert + \sum_{i=1}^{N}\frac{n_i\cdot p_i}{2}\] <h4 id="comparison-of-bug-1-and-bug-2-todo">Comparison of Bug 1 and Bug 2 (TODO)</h4> <p>There are cases for which 1 is better than two and vice versa</p> <p>Estimates for length can be improved if the robot can see some of its surroundings (area inside the circle around itself)</p> <h4 id="tangent-bug">Tangent bug</h4> <p>selects by angle of direction to direction to target (TODO) It is correct</p> <h3 id="dijkstra">Dijkstra</h3> <p>alternative path search A* is a Dijkstra + heuristic, if the heuristic satisfies something it can be proven that it does not process vertices twice. E.g. price + distance from destination D* also handles replanning when an obstacle appears, starting from the destination</p> <h3 id="rapidly-exploring-random-trees">Rapidly exploring random trees</h3> <p>Randomized algorithm It quickly finds some solution and iteratively adjusts</p> <h3 id="potential-field">Potential field</h3> <p>The robot is in sweat. fields, obstacles are peaks - repel the goal is the minimum</p> <h2 id="multirobot-systems">Multirobot systems</h2> <h3 id="why-use-multirobot-systems">Why use multirobot systems</h3> <ul> <li>Too challenging for one robot</li> <li>The task is naturally distributed</li> <li>One universal robot would be too complex, more specialized ones are easier to make</li> <li>Parallelism accelerates the solution of the task</li> <li>Greater robustness</li> <li><strong>Application</strong> <ul> <li>Warehouses</li> <li>Modeling the real world</li> <li>A swarm of robots</li> </ul> </li> <li>robots can cooperate or act independently</li> </ul> <h3 id="types-of-systems">Types of systems</h3> <ul> <li><strong>Centralized Architecture</strong> <ul> <li>One control center</li> <li>Possible but problematic: the failure of the center may mean the failure of all robots, too much communication load on the center.</li> </ul> </li> <li><strong>Hierarchical Architecture</strong> <ul> <li>Divide and rule</li> <li>Robots have small groups of robots that he gives orders to</li> <li>Scales better, problematic when higher level control fails</li> </ul> </li> <li><strong>Decentralized Architecture</strong> <ul> <li>robots act according to (semi) local perceptions</li> <li>Every robot must know high level target, problematic target changes</li> </ul> </li> <li><strong>Hybrid driving</strong> <ul> <li>combination of local control with control of multiple robots (TODO check)</li> </ul> </li> </ul> <!-- # Stepper motor Can get realy hot and still work properly ## Wiring - Unipolar - Bipolar ## BLDC vc Stepper - both are brushless - typically (but not allways): - BLDC just few poles (max 8), stepper more - BLDC closed-loop, stepper open-loop - BLDC for higher revolutions ///////////////////////////////////// # RC servo --- # Sensors - Human sensing - 5+$$N$$ senses - traditional - sight - smell - taste - touch - hearing - other senses - balance - acceleration - pain - preasure/tention - time - temperature - kinesthetic sense - internal body senses - Machine sensing - measurement - basic sensors - tactile (local) - touchless (distant) - virtual - advanced sensors - radar / lidar - camera, depth camera - IMU - local x remove - contact - contactless - detection x measurement - "Is there obsticle ?" - "How far is the obstacle ?" - active x passive - favorite sensors in (mobile) robotics - tactile - microswitches, end switches, bumpers - electrical - motor current consupption measurement, induced current sensing/measurement etc. - directional acoustic, optical - point measurement using detection of reflected beam - obstacle detection, enviroment mapping - line sensors - directional measurement multiplexed in times - cameras - image processing - MEMS - use of microscopic phenomena - Virtual - indirect measurement, using action consequences to detect the action - "virtual bumpers" ## Measurement using signal reflection - Direct TOF - Measuring time needed for the signal to return - Precise measurement needed - Pulsed TOF - transmitting pulses - Measuring ratio of signal received before/after event - Phase shift /////////////////////////////////////////////////////// - Infrared, laser, radar, ultrasonic - intensity measurement possible in addition - Signal must get reflected - Measurement is active - environment vulnerability - interferences ## Measurement using signal interaption - Gate - detection of signal reflection (or lack of it) - reflected signal intensity thresholding //////////////////////////// images ## Ultrasonic - direct TOF measurement is possible /////////////////////////////////////////////////////// ## Infrared - reflective - shortrage - CNY-70, QRD1113/4, GP2S60 - PSD - up to dingle meters distance measurement - illumination probles - example: Sharp GP2D12, GP2Y0A21 ## Laser and lidar - 1d, 2d, 3d - rangefinder, scanner - 20km possible # Regulations and control ## Open loop system /////////////////////////////////image ## Real world - The motor does not rotate with set speed - mechanical losses - slow ramp up/slowdown - non-linear behavior - direction-dependent - environment influences - and much more ## Close loop system ////////////////////////////image ### Feedback usage example - Control -> motor - encoders - control ... - counting encoder impulses, we get real speed - based on the speed //////////////// ### Trivial solution (no feedback) - Set control to proportion of required speed vs. max speed //////////////// code --> <h2 id="satellite-localization-1">Satellite localization</h2> <p>If we know the distance of the aiming point from the satellite, it will determine the sphere. Two specifies a circle and three a point. In practice, at least four satellites are typically used.</p> <p>Simple idea: measuring the signal time-of-flight \(\rightarrow\) distance</p> <h3 id="history-2">History</h3> <ul> <li>Werner von Braun (V1, V2,…)</li> <li>Sputnik(1957) The Doppler effect on the signal was another idea for a method of measurement.</li> <li><strong>Transit</strong> <ul> <li>US Navy</li> <li>proof of concept, but didn’t cover the whole country, slow, 2D only</li> <li>TODO technology</li> </ul> </li> <li><strong>Timeation</strong> <ul> <li>uses precise (later atomic) clocks</li> <li>2D only</li> </ul> </li> <li><strong>621B</strong> <ul> <li>US air force</li> <li>Can also target planes (3D)</li> <li>Pseudo-random noise increases resilience</li> <li>Needs constant satellite-ground connection</li> </ul> </li> <li><strong>NAVSEG</strong> <ul> <li>a group formed by the cooperation of several sectors</li> <li>Uses ideas from Transit (orbit + prediction) and Timetion (accurate clock) and 621B (resilient signal)</li> <li>In 1973, <strong>Navstar GPS</strong> was created, the basis of today’s GPS launched in 1978</li> <li>Accuracy about 10 m</li> <li>Initially intended only for the military, later a less accurate version of the signal was broadcast for civilian purposes.</li> <li>Since 2000, even the more accurate army version is available to everyone</li> </ul> </li> <li>Navigation failure caused several air accidents (typically wrong trajectory \(\rightarrow\) shot down USSR)</li> </ul> <h3 id="gps-satellites-1">GPS satellites</h3> <ul> <li>6 Orbit \(60{\degree}\) gap declination \(55\degree\) after four slots</li> <li>There are at least four satellites in each orbit</li> <li>At least 4 satellites are visible from every location on earth</li> <li>Due to atmospheric phenomena and calculation errors, the GPS error is about 15m with post processing, better accuracy around 10m can be achieved</li> </ul> <h3 id="competitive-global-systems-1">Competitive global systems</h3> <p>Compass(China), Galileo(EU), GLONASS(Russia)</p> <h3 id="regional-systems-1">Regional systems</h3> <p>Beidou(China), DORIS(France), IRNSS(India)</p> <h3 id="local-systems-1">Local systems</h3> <ul> <li>EGNOS, GAGAN, MSAS, WAAS</li> <li>Typically a stationary satellite</li> </ul> <h3 id="galileo-1">Galileo</h3> <p>European project, more accurate (about 1 m)</p> <h3 id="ublox-1">Ublox</h3> <ul> <li>centimeter accuracy</li> <li>uses RTK technology, which combines several techniques and thus achieves higher accuracy (verify)</li> </ul> <h3 id="indoor-gps-1">Indoor GPS</h3> <ul> <li>Local location determination can be done using Wifi or bluetooth</li> <li>More accurate technology can achieve about 1m accuracy</li> </ul> https://blackblog.cz/uvod-do-pocitacove-lingvistiky/ 2023-02-27T00:00:00+01:00 2023-02-27T00:00:00+01:00 Jan Černý <p>Pokud naleznete nějakou chybu, můžete jí opravit pomocí tlačítka <em>edit</em>.</p> <ul id="markdown-toc"> <li><a href="#počítačová-lingvistika" id="markdown-toc-počítačová-lingvistika">Počítačová lingvistika</a> <ul> <li><a href="#podobory" id="markdown-toc-podobory">Podobory</a></li> <li><a href="#funkce-přirozených-jazyků" id="markdown-toc-funkce-přirozených-jazyků">Funkce přirozených jazyků</a></li> <li><a href="#zásady-komunikace-v-přirozeném-jazyce" id="markdown-toc-zásady-komunikace-v-přirozeném-jazyce">Zásady komunikace v přirozeném jazyce</a></li> </ul> </li> <li><a href="#morfologie" id="markdown-toc-morfologie">Morfologie</a> <ul> <li><a href="#s-morfologií-se-pojí-pojmy" id="markdown-toc-s-morfologií-se-pojí-pojmy">S morfologií se pojí pojmy:</a></li> <li><a href="#přístupy-ke-zpracování-morfologie" id="markdown-toc-přístupy-ke-zpracování-morfologie">Přístupy ke zpracování morfologie</a></li> <li><a href="#two-level-morphology" id="markdown-toc-two-level-morphology">Two-Level Morphology</a></li> <li><a href="#česká-morfologie" id="markdown-toc-česká-morfologie">Česká morfologie</a></li> <li><a href="#činnosti-využívající-morfologii" id="markdown-toc-činnosti-využívající-morfologii">Činnosti využívající morfologii</a></li> <li><a href="#kontrola-překlepů-jako-aplikace-morfologie" id="markdown-toc-kontrola-překlepů-jako-aplikace-morfologie">Kontrola překlepů jako aplikace morfologie</a> <ul> <li><a href="#2-základní-metody" id="markdown-toc-2-základní-metody">2 základní metody:</a></li> <li><a href="#možná-vylepšení" id="markdown-toc-možná-vylepšení">Možná vylepšení</a></li> </ul> </li> <li><a href="#komunikace-s-uživatelem" id="markdown-toc-komunikace-s-uživatelem">Komunikace s uživatelem</a></li> <li><a href="#systém-asimut" id="markdown-toc-systém-asimut">Systém ASIMUT</a> <ul> <li><a href="#2-základní-moduly" id="markdown-toc-2-základní-moduly">2 základní moduly</a></li> <li><a href="#problémy" id="markdown-toc-problémy">Problémy</a></li> </ul> </li> <li><a href="#další-pojmy" id="markdown-toc-další-pojmy">Další pojmy</a></li> <li><a href="#systém-mozaic" id="markdown-toc-systém-mozaic">Systém MOZAIC</a></li> </ul> </li> <li><a href="#syntax" id="markdown-toc-syntax">Syntax</a> <ul> <li><a href="#neprojektivní-konstrukce" id="markdown-toc-neprojektivní-konstrukce">Neprojektivní konstrukce</a></li> <li><a href="#transformační-gramatika" id="markdown-toc-transformační-gramatika">Transformační gramatika</a></li> </ul> </li> <li><a href="#formalismus-pro-popis-gramatik" id="markdown-toc-formalismus-pro-popis-gramatik">Formalismus pro popis gramatik</a> <ul> <li><a href="#kategoriální-gramatiky" id="markdown-toc-kategoriální-gramatiky">Kategoriální gramatiky</a></li> <li><a href="#unifikační-gramatiky" id="markdown-toc-unifikační-gramatiky">Unifikační gramatiky</a> <ul> <li><a href="#popis-vlastností-objektů" id="markdown-toc-popis-vlastností-objektů">Popis vlastností objektů</a></li> <li><a href="#unifikace" id="markdown-toc-unifikace">Unifikace</a></li> <li><a href="#sestavy-rysů" id="markdown-toc-sestavy-rysů">Sestavy rysů</a></li> <li><a href="#typované-sestavy-rysů" id="markdown-toc-typované-sestavy-rysů">Typované sestavy rysů</a></li> <li><a href="#functional-unification-grammar-fug" id="markdown-toc-functional-unification-grammar-fug">Functional Unification Grammar (FUG)</a></li> <li><a href="#generalized-phrase-structure-grammar-gpsg" id="markdown-toc-generalized-phrase-structure-grammar-gpsg">Generalized Phrase Structure Grammar (GPSG)</a></li> </ul> </li> <li><a href="#nástroje-pro-syntaktickou-analýzu" id="markdown-toc-nástroje-pro-syntaktickou-analýzu">Nástroje pro syntaktickou analýzu</a> <ul> <li><a href="#augmented-transition-networks-woods-1970" id="markdown-toc-augmented-transition-networks-woods-1970">Augmented Transition Networks (Woods, 1970)</a></li> </ul> </li> <li><a href="#q-systémy" id="markdown-toc-q-systémy">Q-systémy</a> <ul> <li><a href="#pravidla" id="markdown-toc-pravidla">Pravidla</a></li> </ul> </li> </ul> </li> <li><a href="#funkční-generativní-popis-sgall-1967" id="markdown-toc-funkční-generativní-popis-sgall-1967">Funkční generativní popis (Sgall, 1967)</a> <ul> <li><a href="#teorie-valence" id="markdown-toc-teorie-valence">Teorie valence</a> <ul> <li><a href="#další-dělení" id="markdown-toc-další-dělení">další dělení</a></li> <li><a href="#dialogový-test" id="markdown-toc-dialogový-test">Dialogový test</a></li> </ul> </li> </ul> </li> <li><a href="#kontrola-gramatické-správnosti" id="markdown-toc-kontrola-gramatické-správnosti">Kontrola gramatické správnosti</a> <ul> <li><a href="#jak-kontrolovat" id="markdown-toc-jak-kontrolovat">Jak kontrolovat?</a></li> <li><a href="#rfodg" id="markdown-toc-rfodg">RFODG</a></li> <li><a href="#langr" id="markdown-toc-langr">LanGR</a></li> </ul> </li> <li><a href="#korpusová-lingvistika" id="markdown-toc-korpusová-lingvistika">Korpusová lingvistika</a> <ul> <li><a href="#charakteristika-moderních-korpusů" id="markdown-toc-charakteristika-moderních-korpusů">Charakteristika moderních korpusů</a></li> <li><a href="#brown-corpus-of-standard-american-english" id="markdown-toc-brown-corpus-of-standard-american-english">Brown Corpus of Standard American English</a></li> <li><a href="#penn-treebank" id="markdown-toc-penn-treebank">Penn Treebank</a></li> <li><a href="#další-anglické-korpusy" id="markdown-toc-další-anglické-korpusy">Další anglické korpusy</a></li> <li><a href="#český-národní-korpus-cnc" id="markdown-toc-český-národní-korpus-cnc">Český národní korpus (CNC)</a></li> <li><a href="#pražský-závislostní-korpus-prague-dependency-treebank" id="markdown-toc-pražský-závislostní-korpus-prague-dependency-treebank">Pražský závislostní korpus (Prague Dependency Treebank)</a></li> <li><a href="#anotační-a-vyhledávací-nástroje" id="markdown-toc-anotační-a-vyhledávací-nástroje">Anotační a vyhledávací nástroje</a></li> </ul> </li> <li><a href="#pravděpodobnostní-a-statistické-metody" id="markdown-toc-pravděpodobnostní-a-statistické-metody">Pravděpodobnostní a statistické metody</a> <ul> <li><a href="#základní-vzorce" id="markdown-toc-základní-vzorce">Základní vzorce</a></li> <li><a href="#modelování-jazyka" id="markdown-toc-modelování-jazyka">Modelování jazyka</a></li> <li><a href="#vyhlazovaní" id="markdown-toc-vyhlazovaní">Vyhlazovaní</a></li> <li><a href="#statistický-překlad" id="markdown-toc-statistický-překlad">Statistický překlad</a></li> <li><a href="#metoda-zašuměného-kanálu" id="markdown-toc-metoda-zašuměného-kanálu">Metoda zašuměného kanálu</a></li> <li><a href="#evaluace-systémů-automatického-překladu" id="markdown-toc-evaluace-systémů-automatického-překladu">Evaluace systémů automatického překladu</a> <ul> <li><a href="#bleu" id="markdown-toc-bleu">BLEU</a></li> </ul> </li> </ul> </li> <li><a href="#sémantika" id="markdown-toc-sémantika">Sémantika</a> <ul> <li><a href="#sémantika-přirozeného-jazyka" id="markdown-toc-sémantika-přirozeného-jazyka">Sémantika přirozeného jazyka</a> <ul> <li><a href="#vyplývání" id="markdown-toc-vyplývání">Vyplývání</a></li> <li><a href="#fregeho-princip-kompozicionality" id="markdown-toc-fregeho-princip-kompozicionality">Fregeho princip kompozicionality</a></li> </ul> </li> <li><a href="#lexikální-sémantika" id="markdown-toc-lexikální-sémantika">Lexikální sémantika</a> <ul> <li><a href="#význam-slov" id="markdown-toc-význam-slov">Význam slov</a></li> <li><a href="#ontologie" id="markdown-toc-ontologie">Ontologie</a></li> <li><a href="#popis-významu-slov" id="markdown-toc-popis-významu-slov">Popis významu slov</a></li> </ul> </li> <li><a href="#wordnet" id="markdown-toc-wordnet">WordNet</a> <ul> <li><a href="#eurowordnet" id="markdown-toc-eurowordnet">EuroWordNet</a></li> <li><a href="#aplikace-wordnetu" id="markdown-toc-aplikace-wordnetu">Aplikace WordNetu</a></li> <li><a href="#problémy-sémantických-sítí" id="markdown-toc-problémy-sémantických-sítí">Problémy sémantických sítí</a></li> <li><a href="#reprezentace-významu-věty" id="markdown-toc-reprezentace-významu-věty">Reprezentace významu věty</a></li> <li><a href="#intenze-výrazu" id="markdown-toc-intenze-výrazu">Intenze výrazu</a> <ul> <li><a href="#extenze-výrazu" id="markdown-toc-extenze-výrazu">Extenze výrazu</a></li> <li><a href="#základní-přístupy-k-sémantice" id="markdown-toc-základní-přístupy-k-sémantice">Základní přístupy k sémantice</a></li> </ul> </li> <li><a href="#til-transparentní-intenzionální-logika" id="markdown-toc-til-transparentní-intenzionální-logika">TIL (Transparentní intenzionální logika)</a> <ul> <li><a href="#rozpoznávání-vztahů-v-textu" id="markdown-toc-rozpoznávání-vztahů-v-textu">Rozpoznávání vztahů v textu</a></li> </ul> </li> <li><a href="#typy-anaforických-vztahů" id="markdown-toc-typy-anaforických-vztahů">typy anaforických vztahů:</a></li> <li><a href="#důležitost-pro-aplikace" id="markdown-toc-důležitost-pro-aplikace">důležitost pro aplikace:</a></li> <li><a href="#zásoba-sdílených-znalostí" id="markdown-toc-zásoba-sdílených-znalostí">Zásoba sdílených znalostí</a></li> </ul> </li> </ul> </li> <li><a href="#skryté-markovské-modely" id="markdown-toc-skryté-markovské-modely">Skryté markovské modely</a> <ul> <li><a href="#3-úkoly" id="markdown-toc-3-úkoly">3 úkoly</a></li> <li><a href="#dekódování" id="markdown-toc-dekódování">Dekódování</a></li> </ul> </li> </ul> <h2 id="počítačová-lingvistika">Počítačová lingvistika</h2> <div class="definition-block"><p class="definition-label"><b>Definice</b></p> <p>Obor, zabývající se formálním popisem vlastností přirozených jazyků a jejich automatickým zpracováním (vytváření automatických systému, modelujících užívání přirozeného jazyka).</p> </div> <ul> <li>Využívá výsledky a přispívá k dalšímu rozvoji: <ul> <li>teoretické lingvistiky</li> <li>teoretické informatiky</li> <li>umělé inteligence</li> <li>psychologie</li> <li>logiky</li> <li>matematiky (statistiky)</li> </ul> </li> </ul> <h3 id="podobory">Podobory</h3> <ul> <li>Rozpoznávání a generování mluvené řeči</li> <li>Fonetika (zkoumá zvuky, fóny, třídí je a klasifikuje - nauka o tvorbě hlásek)</li> <li>Fonologie (zabývá se pouze těmi zvukovými rozdíly, které nesou význam, základní jednotkou foném, je to nauka o funkci hlásek)</li> <li>Morfologie (tvarosloví)</li> <li>Syntax (skladba)</li> <li>Sémantika (význam)</li> <li>Strojový (automatický) překlad</li> <li>Formalismy (syntaktické)</li> <li>Korpusová lingvistika</li> <li>Statistická lingvistika (dříve kvantitativní, nyní modeluje užívání jazyka)</li> <li>…</li> </ul> <h3 id="funkce-přirozených-jazyků">Funkce přirozených jazyků</h3> <ul> <li>popis reálných věcí v okolním světě, zavedení pojmu</li> <li>objektivní popis abstraktních vztahů a pojmů, zobecňování</li> <li>rekurzivní modelování komunikačního partnera</li> <li>přijímání nebo zamítání kooperativních řešení</li> <li>definice sociálních vztahů mezi partnery (vykání apod.)</li> <li>komunikační prostředek o jazyce</li> <li>…</li> </ul> <h3 id="zásady-komunikace-v-přirozeném-jazyce">Zásady komunikace v přirozeném jazyce</h3> <ul> <li>všeobecnost</li> <li>využitelnost</li> <li>obsah</li> <li>vágnost</li> <li>vícevrstevnost</li> <li>zkratkovitost</li> </ul> <hr /> <h2 id="morfologie">Morfologie</h2> <ul> <li>asi nejstarší odvětví lingvistiky</li> <li>1. počátky - lingvista Panini, dílo Ashtadhyayi - pravidla morfologie sanskrtu</li> </ul> <div class="definition-block"><p class="definition-label"><b>Definice</b></p> <p>Morfologie studuje vztahy mezi jednotlivými částmi slov, vnitřní struktury slov. Zabývá se tvořením tvarů slov a jejich významem, dále i tvořením nových slov.</p> </div> <h3 id="s-morfologií-se-pojí-pojmy">S morfologií se pojí pojmy:</h3> <ul> <li><strong>lexikologie</strong> - slova jsou studována jako jednotky slovní zásoby, z hlediska funkce,</li> <li> <p><strong>lexikografie</strong> - sestavování slovníků - která slova zahrnout, který význam dát první (příp. překlad)</p> </li> <li>Základní jednotkou je <strong>morfém</strong> - nejmenší znaková jednotka (seskupení znaků) nesoucí význam <ul> <li><strong>lexikální morfém</strong> - nese význam slova jako takového, př. kmen slova,</li> <li><strong>gramatický morfém</strong> - určuje gramatickou roli slovního tvaru.</li> <li>Např. za-hrad-ou má předponu „za“, lexikální morfém „hrad“ a gramatický morfém „ou“, který určuje 3 elementární jednotky (sémata): pád, číslo a rod.</li> </ul> </li> <li>Studuje způsoby <strong>skloňování (deklinace)</strong> a <strong>časování (konjugace)</strong>.</li> <li><strong>tvaroslovné dublety</strong> - stejné slovní tvary odvozené od více slovních základů (žena, tři, hnát, stát, atd.), neboli slova víceznačná, která mají různé slovní druhy,</li> <li><strong>alternace</strong> - změna hlásek uvnitř kmene (vůz \(\rightarrow\) vozu, švec \(\rightarrow\) ševce, prkno \(\rightarrow\) prken),</li> <li> <p><strong>alomorfy</strong> - varianty kmene odvozené od stejného slovního základu (nejvíce změn má matka - matce matek - matčin).</p> </li> <li>Slova se dělí na: <ul> <li><strong>autosémantická</strong> = plnovýznamová</li> <li><strong>synsémantická</strong> = pomocná</li> </ul> </li> <li><strong>Morfologická typologie jazyků</strong> dělí jazyky podle toho, kolik morfémů je jedno slovo: <ul> <li><strong>analytické</strong> (slovo = morfém) <ul> <li>izolační</li> <li>každé slovo je morfém, bez předpon/přípon</li> <li>vietnamština, čínština</li> </ul> </li> <li><strong>syntetické</strong> (slovo &gt; morfém) <ul> <li><strong>flektivní</strong> <ul> <li>mají předpony, přípony, koncovky (ale míra řetězení je nějak omezená)</li> <li>daný tvar morfému nese více významů (koncovka určuje pár, rod, ..)</li> <li>latina, stará řečtina, slovanské jazyky</li> </ul> </li> <li><strong>aglutinační</strong> <ul> <li>také různé předpony apod., ale jeden morfém nese jeden význam (tedy např. koncovka přidá jeden význam)</li> <li>maďarština, japonština, turečtina, finština</li> </ul> </li> </ul> </li> <li><strong>polysyntetické</strong> (slovo = věta) <ul> <li>eskymácké a indiánské jazyky.</li> </ul> </li> </ul> </li> </ul> <h3 id="přístupy-ke-zpracování-morfologie">Přístupy ke zpracování morfologie</h3> <ul> <li>Morfologie založená na <strong>morfémech</strong> <ul> <li>vidí slovo jako řetízek morfémů</li> <li>vhodné pro aglutinační jazyky</li> </ul> </li> <li>Morfologie založená na <strong>lexémech</strong> <ul> <li>vidí slovo jako výsledek aplikace pravidel, která slovo mění a tím vytváří nový slovní tvar</li> <li>vhodné pro angličtinu</li> </ul> </li> <li>Morfologie založená na <strong>slovech</strong> <ul> <li>centrální roli mají vzory</li> <li>známe-li základní tvar slova a jeho vzor, dokážeme vygenerovat všechny jeho tvary</li> <li>vhodné i pokud jeden morfém reprezentuje více gramatických kategorií (např. <code class="language-plaintext highlighter-rouge">3.os, sg., r.ž.</code>) - tam předchozí přístupy selhávají</li> <li>čeština - ve skutečnosti asi 250 vzorů (pokud má být jednoznačné)</li> </ul> </li> </ul> <h3 id="two-level-morphology">Two-Level Morphology</h3> <ul> <li>Systém zpracování morfologie</li> <li><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Lauri_Karttunen">Lauri Karttunenem</a> a <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Kimmo_Koskenniemi">Kimmo Koskeniemmin</a>, zač. 80. let</li> <li>První obecný model zpracování morfologie přirozeného jazyka</li> <li>Morfologie jednodušší než gramatika, ale zpracování systému trvalo déle</li> <li>Založen na konečných stavových automatech a na nich definovaných oboustranných přechodech. <ul> <li>Analýza zpracovaná tímto automatem</li> <li>Mechanismus morfologie byl pro všechny jazyky společný (to byl požadavek, aby to bylo nezávislé na jazyku), ale pro každý jazyk se musel vytvořit slovník a pravidla (přechody mezi stavy).</li> </ul> </li> <li>Tradiční počítačové zpracování morfologie se orientovalo na generování výsledných tvarů slov z nějakého tvaru základního a nebralo příliš v úvahu, že opačný směr (analýza) může být víceznačný</li> <li>2 úrovně: první <strong>lexikální</strong>, druhá <strong>povrchová</strong></li> <li>Základní myšlenky: <ul> <li>Pravidla se aplikují paralelně, nikoli sekvenčně</li> <li>Podmínky se mohou vztahovat k oběma úrovním zároveň či jen k jedné z nich</li> <li>Lexikální vyhledávání (prohledávání slovníku, trie) a morfologická analýza probíhají současně</li> </ul> </li> <li>Nehodí se pro jazyky se vzory (čeština) - vzory nejsou pravidla \(\rightarrow\) pro češtinu nikdy nebylo</li> </ul> <h3 id="česká-morfologie">Česká morfologie</h3> <ul> <li>vyvíjena od r. 1989 zejména prof. Hajičem</li> <li>využívá poziční značky, každá pozice má svůj jednoznačně určený význam <ul> <li>značky jsou patnáctimístné, ovšem rozeznává se pouze 13 kategorií (2 jsou rezervní)</li> <li>každá kategorie má své pořadí ve výsledné značce</li> <li>některé kategorie se vzájemně vylučují (např. příslovce nemá osobu) - pak se píše <code class="language-plaintext highlighter-rouge">_</code></li> <li>kromě značky se každému slovu ještě přiřadí jednoznačné lemma, což je základní tvar slova <ul> <li>lemma: jednoznačný identifikátor</li> </ul> </li> <li>značka a lemma dohromady jednoznačně určují slovo a jeho tvar se vším všudy</li> </ul> </li> <li><em>POS</em> - part of speech (slovní druh), VOICE - způsob, VAR - např. nespisovné</li> <li>Česká morfologická analýza <ul> <li>k některým tvarům daného slova pasuje více značek, pak se tam napíšou všechny</li> <li>u jednoho slova bývá více značek (průměrně 4, nejhorší je to však u měkkých přídavných jmen jako „jarní“, která mají až 27-násobnou víceznačnost).</li> </ul> </li> </ul> <h3 id="činnosti-využívající-morfologii">Činnosti využívající morfologii</h3> <ul> <li><strong>Morfologická analýza</strong> <ul> <li>výsledkem je seznam lemmat a značek popisujících jednotlivé kombinace gramatických kategorií spjatých s daným vstupním slovním tvarem</li> </ul> </li> <li><strong>Morfologické značkování (tagging)</strong> <ul> <li>proces výběru jediné správné značky v daném kontextu (statistické metody) <ul> <li>to je náročné, jsou různé přístupy (algoritmická pravidla/statisticky/kombinace), nejlépe to umí čistě statistické metody \(\rightarrow\) úspěšnost až 96%.</li> </ul> </li> </ul> </li> <li><strong>Částečná morfologická desambiguace</strong> založená na pravidlech <ul> <li>Oliva a Petkevič vytvořili pravidla, která platí bez výjimek</li> <li>pomocí spolehlivých pravidel redukuje počet značek, odstraňuje nevhodné, ponechává všechny, které nelze spolehlivě odstranit</li> <li>pokud se u některého slovního tvaru vyškrtá vše, znamená to, že ve větě musí být gramatická chyba <ul> <li>koupil MS - kontrola gramatiky ve Wordu</li> <li>funguje rychle, poté se musí chyba najít</li> </ul> </li> <li>seznam pravidel, díky postavení ve větě a kontextu dokázali s téměř 100% přesností vyškrtnout několik značek <ul> <li>stále několik zůstalo, ale i tak lepší pro statistiku</li> </ul> </li> </ul> </li> <li>+ statistika \(\rightarrow\) jen zanedbatelné zlepšení přesnosti asi o 0,2% \(\rightarrow\) statistická metoda v podstatě stejně úspěšná</li> <li><strong>Lemmatizace</strong> <ul> <li>proces výběru správného základního tvaru (lemmatu), ze kterého byl odvozen daný vstupní tvar</li> <li>někdy nepotřebujeme značku, stačí základní tvar/y</li> <li>klíčová operace pro vyhledávání v textech</li> <li>u nás má úspěšnost 99,9%.</li> </ul> </li> <li><strong>Stemming</strong> <ul> <li>odříznutí koncovky</li> <li>na rozdíl od lemmatizace je základním tvarem kmen slova</li> <li>populární je tzv. Porterův stemmer <ul> <li>tváří se univerzálně, ale pro češtinu nelze (alternace kmene)</li> </ul> </li> <li>pokud se něco projevuje stejně, chceme, aby to ukazovalo na stejný základ (je jedno, jestli lemma nebo kmen)</li> </ul> </li> <li><strong>Generování</strong> <ul> <li>Proces výběru správného slovního tvaru, pokud známe lemma a příslušnou kombinaci gramatických kategorií</li> </ul> </li> </ul> <h3 id="kontrola-překlepů-jako-aplikace-morfologie">Kontrola překlepů jako aplikace morfologie</h3> <ul> <li>vznikl pro to velký slovník - na konci 80. let, prof. Hajič</li> <li>800000 slov</li> <li>příliš velký pro tehdejší počítače a textové editory <ul> <li>\(\rightarrow\) slova se stáhla ke společnému základu</li> <li>snížil se počet lemmat (pravidla - něco vem, to k tomu připlácni… (vznikala tak i neexistující slova))</li> <li>vešlo se na harddisk i s text. editorem a ještě zbylo místo</li> </ul> </li> <li>Požadavky: (v praxi velmi obtížné splnit, 4-6 je priorita) <ul> <li>najít a opravit všechny překlepy</li> <li>přezkoušet kontextové podmínky korigované verze</li> <li>neznámá slova se nemají hlásit jako chybná <ul> <li>jako chybu říct jen to, o čem jsme si 100% jistí</li> </ul> </li> <li>nedávat falešná chybová hlášení</li> <li>maximálně automatická korektura</li> <li>krátký čas zpracování</li> </ul> </li> </ul> <h4 id="2-základní-metody">2 základní metody:</h4> <ul> <li><strong>Porovnávání řetězců se slovy ve slovníku</strong> <ul> <li>Bud’ se slovníkem všech možných slovních tvarů daného jazyka (wordlist) nebo se slovníkem lemmat a provádíme morfologickou analýzu.</li> <li>Výhoda: Je to spolehlivé a jednoduché</li> <li>Nevýhoda: Pomalé, náročné na kvalitu slovníku, místo, nerozezná to chybná slova od neznámých a každé zlepšení musí zařídit autor či uživatel.</li> </ul> </li> <li><strong>Porovnávání skupin znaků</strong> (dvojic, trojic) a hledání nedovolených kombinací znaků. <ul> <li>Výhoda: Je to nezávislé na slovníku a rychlé.</li> <li>Nevýhoda: Velmi neúplné a neodhalí překlepy ve slovech, která se skládají jen z vhodných kombinací znaků.</li> <li>Spíše jako doplněk než jako zdroj</li> </ul> </li> </ul> <h4 id="možná-vylepšení">Možná vylepšení</h4> <ul> <li>vzít v úvahu okolnosti vzniku chyb (např. blízké klávesy)</li> <li>zohlednit statistiku chyb</li> <li>zohlednit možné pravopisné chyby (mně x mě, jsem x jsme)</li> <li>různé heuristiky na oddělení chyb a neznámých slov</li> <li>zapojení syntaxe a sémantiky</li> <li>pracovat s kontextem (např. porovnávat s korpusy)</li> </ul> <h3 id="komunikace-s-uživatelem">Komunikace s uživatelem</h3> <ul> <li>velká vzdálenost nabízeného slova \(\rightarrow\) nenabídnout možnosti, rovnou opravit</li> <li>jeden kandidát výrazně silnější \(\rightarrow\) nabídnout jen jeho</li> </ul> <p><img src="/assets/img/matfyz/pc-ling/hranice-prijatelnosti.jpg" alt="Hranice přijatelnosti" /></p> <h3 id="systém-asimut">Systém ASIMUT</h3> <ul> <li>Automatická Selekce Informací Metodou Úplného Textu</li> <li>Vznikl 1990 Králíková, Panevová</li> <li>Ještě v době, kdy neexistovaly slovníky</li> <li>Metoda uměla vyskloňovat podstatná jména a přídavná jména, u sloves nefungovala tak dobře</li> <li>Nekontrolovalo se, zda jsou přídavná jména a podstatná jména v ustáleném spojení ve stejném pádu</li> <li>Text předzpracovaný - vytáhly se přídavná jména a podstatná jména a k jejich seznamu se dodalo, kde se vyskytují (paragraf, věta, …)</li> </ul> <h4 id="2-základní-moduly">2 základní moduly</h4> <ul> <li><strong>vyhledávací modul</strong> <ul> <li>Sloužil pro automatické vyhledávání ohýbaných slov v textu na základě parametrů</li> <li>Vstup: výrazy (složené z podst. a příd. jm.) v základním tvaru doplněné o sadu operátorů <ul> <li>(<code class="language-plaintext highlighter-rouge">!</code> vyskloňovat, <code class="language-plaintext highlighter-rouge">-1-</code> obě slova musí být bezprostředně za sebou, obecně <code class="language-plaintext highlighter-rouge">-n-</code>)</li> <li>př. <code class="language-plaintext highlighter-rouge">vzdálenost!</code>, <code class="language-plaintext highlighter-rouge">rodinný! -1- domek!</code>, <code class="language-plaintext highlighter-rouge">vzdálenost!</code>, <code class="language-plaintext highlighter-rouge">odstup! -3-rodinný! -1- domek!</code></li> </ul> </li> <li>neřeší, jestli vyhledává slova v gramaticky správném tvaru</li> <li>předpokládá členění textu na slova, věty, odstavce</li> </ul> </li> <li><strong>jazykový modul</strong> <ul> <li>Modul pro automatické skloňování českých slov. Pro dané vstupní slovo vrátí všechny jeho možné tvary.</li> <li>Zajímavější</li> <li>Využívá retrográdní slovník dr. Slavíčkové (1975) <ul> <li>žádný rozsáhlý slovník</li> <li>slovník seřazený dle písmen slov odzadu (podle konce lemmat)</li> <li>mnoho slov, která mají v základním tvaru stejný koncový segment, se stejně skloňuje <ul> <li>výjimky je možné uložit do zvláštního slovníku výjimek (jsou jich řádově pouze stovky, při důkladnějším zpracování max. tisíce)</li> </ul> </li> <li>slovník nevyužívá přímo, ale na jeho základě byl vytvořen klíč pro určování vzorů slov (seznam pravidel dle konců slov)</li> </ul> </li> <li><strong>Algoritmus</strong> <ul> <li>Porovnávají se jednotlivé znaky základním tvaru slova odzadu (háček a čárka jsou zvláštní znaky), dokud není možné (až na výjimky) určit, jak slovo skloňovat. Poté slovnímu základu (event. základům v případě změn v kmeni) přidáme všechny vhodné pádové koncovky.</li> <li>Umí i základní alternace</li> </ul> </li> </ul> </li> <li>v té době bylo obtížné zachytit češtinu - spec. kódování háčků a čárek a kroužků</li> <li>nebyl vyžadován velký slovník, jen slovník výjimek</li> <li>množina koncovek zahrnuje životné i neživotné - vznikají patvary - po vybudování rozsáhlých topologických slovníků už se nepoužívá - slovníky fungují lépe</li> </ul> <h4 id="problémy">Problémy</h4> <ul> <li>ne vždy lze jednoznačně určit vzor (právník i trávník mají stejnou koncovku, ale liší se v životnosti)</li> <li>problém přegenerování (systém vygeneruje i neexistující tvary) - příliš hrubá klasifikace, pádové koncovky mají varianty</li> <li>malý rozsah retrográdního slovníku (je tedy nutno přidávat výjimky)</li> <li>pro slovesa už nefunguje tak spolehlivě (příliš velká víceznačnost koncových segmentů základních slovesných tvarů)</li> </ul> <h3 id="další-pojmy">Další pojmy</h3> <ul> <li><strong>Negativní slovník</strong> <ul> <li>Obsahuje ta slova, která nejsou při dotazování (vyhledávání v textu) důležitá (spojky, citoslovce), tato slova jsou odstraněna při předzpracování textu.</li> </ul> </li> <li><strong>Konkordance</strong> <ul> <li>Všem slovům mimo negativní slovník byla přiřazena adresa a frekvence výskytu v textu, používaná pro účely urychlení hledání. Slova z negativního slovníku dostala jen adresu (kvůli počítání vzdáleností mezi jednotlivými významovými slovy v textu). Samotné vyhledávání pak neprobíhalo na původním textu, ale na této konkordanci.</li> </ul> </li> </ul> <h3 id="systém-mozaic">Systém MOZAIC</h3> <ul> <li>Morphemic Oriented System of Automatic Indexing and Condensation</li> <li>70’s MFF Kirschner a kol.</li> <li>Systém pro indexaci dokumentů, tvoření souhrnů, seznamů klíčových slov.</li> <li>Vyvinut pro automatické indexování a kondenzaci textu</li> <li>Podobně jako ASIMUT nepoužívá rozsáhlé slovníky klíčových slov, ale lingvistické poznatky.</li> <li>Standardní přístup k indexaci - slovníky klíčových slov, dokumenty indexovány těmito slovy, v úvahu se bere četnost výskytu</li> <li>Využívá toho, že řada přípon a koncovek nese význam <ul> <li>založeno na lexikální sémantice přípon a koncovek <blockquote> <p>Angličtina:</p> <ul> <li><code class="language-plaintext highlighter-rouge">-er</code>/<code class="language-plaintext highlighter-rouge">-or</code> konatel děje</li> <li><code class="language-plaintext highlighter-rouge">-tion</code> činnost</li> <li><code class="language-plaintext highlighter-rouge">-ity</code>/<code class="language-plaintext highlighter-rouge">-ness</code> vlastnosti</li> <li>atd.</li> </ul> <p>Čeština:</p> <ul> <li><code class="language-plaintext highlighter-rouge">-ič</code>/<code class="language-plaintext highlighter-rouge">-ač</code>/<code class="language-plaintext highlighter-rouge">-čka</code>/<code class="language-plaintext highlighter-rouge">-ér</code>/<code class="language-plaintext highlighter-rouge">-or</code>/<code class="language-plaintext highlighter-rouge">-dlo</code>/<code class="language-plaintext highlighter-rouge">-metr</code>/<code class="language-plaintext highlighter-rouge">-graf</code>/<code class="language-plaintext highlighter-rouge">-fon</code>/<code class="language-plaintext highlighter-rouge">-skop</code> přístroje a nástroje</li> <li><code class="language-plaintext highlighter-rouge">-ace</code>/<code class="language-plaintext highlighter-rouge">-kce</code>/<code class="language-plaintext highlighter-rouge">-áž</code>/<code class="language-plaintext highlighter-rouge">-ní</code>/<code class="language-plaintext highlighter-rouge">-za</code> procesy nebo činnosti</li> <li><code class="language-plaintext highlighter-rouge">-ost/-ita/-nce</code> vlastnosti</li> <li><code class="language-plaintext highlighter-rouge">-anýl</code>/<code class="language-plaintext highlighter-rouge">-ený</code> jsou výsledky procesů</li> <li><code class="language-plaintext highlighter-rouge">-acíl</code>/<code class="language-plaintext highlighter-rouge">-ecí</code> účel,</li> <li>atd.</li> </ul> </blockquote> </li> </ul> </li> <li>Pro pokrytí tématické oblasti elektrických obvodů stačilo 800 přípon, technickou terminologii by pokrylo cca 2000 přípon.</li> <li>Testován na elektrotechnických textech</li> <li>Syntaktická analýza - Chceme dostat k sobě víceslovné výrazy, hledání víceslovných termínů <ul> <li>Algoritmus indexování textu: <ul> <li>Na vstupu je čistý (nijak nepředzpracovaný) text se zachovaných typografickým členěním.</li> <li>Lematizace a morfologická analýza \(\rightarrow\) získáme lemata a morfologické značky.</li> <li>nalezená lemmata jsou profiltrována a jsou odstraněna ta, jejichž kmen nemá vztah k dané tematické oblasti ( k tomu se využívá malý negativní slovník - řádově desítky slov), či jsou příliš krátká nebo obsahují nevhodné kombinace hlásek.</li> <li>Syntaktická analýza jmenných skupin pomocí jednoduché gramatiky v jazyce Systémů \(Q\) pomůže odhalit tématicky významné několikaslovné termíny (zesilovač obsah textu charakterizuje mnohem méně než termín operační zesilovač TESLA KC 415), u nich se započítávaly i termíny v nich obsažené. - Vážené ohodnocení termínů podle důležitosti. Záleží na tom, v jak důležité části textu jsou (nadpis, první/poslední odstavec, první/poslední věta). Váhy jsou exponenciální.</li> <li>Normalizace vah vzhledem k délce dokumentu. (Nejčastější termín získá 100 bodů, zbytek poměrně.) Umožňuje porovnávat relevanci různě dlouhých dokumentů.</li> <li>Výstupem je 10 nejvýznamnějších termínů, seřazených podle četnosti výskytu.</li> </ul> </li> </ul> </li> <li><strong>Výhody:</strong> <ul> <li>Není nutné vytvářet slovníky odborných termínů, pouze množiny relevantních koncovek a přípon, doplněné o určitou formu negativního slovníku či pravidel</li> <li>Lokální syntaktická analýza umožňuje větší flexibilitu při hledání termínů.</li> </ul> </li> <li><strong>Problémy:</strong> <ul> <li>Pracné vytváření slovníků a omezujících pravidel v závislosti na tematické oblasti</li> <li>Neobsahuje řešení odkazů v textech pomocí zájmen, nevyjádřeného podmětu apod.</li> </ul> </li> </ul> <hr /> <h2 id="syntax">Syntax</h2> <div class="definition-block"><p class="definition-label"><b>Definice</b></p> <p>Syntax (skladba) se zabývá vztahy mezi slovy ve větě, tvořením větných konstrukcí, slovosledem.</p> </div> <ul> <li>Základní datový typ: strom <ul> <li>pro zápis syntaxe věty</li> <li>závislostní strom</li> <li>složkový strom</li> </ul> </li> <li>Závislostní strom</li> </ul> <p><img src="/assets/img/matfyz/pc-ling/syntax-tree.jpg" alt="syntax tree" /></p> <ul> <li>velmi dobře a přehledně zachycuje vztahy mezi jednotlivými větnými členy</li> <li>nedává návod, jak strom získat (tj. strom nezachycuje postup výpočtu)</li> <li>zdaleka ne všechny vztahy ve větě jsou přirozeně popsatelné jako závislost, zdaleka ne vždy je jasné, co na čem závisí (např. koordinace, předložky apod.)</li> <li>velmi se podobá větnému rozboru ze základní školy</li> <li>kořen je jediný a obsahuje přísudek, uzly jsou právě slova věty, závislosti jsou orientované hrany</li> <li>pamatuje si původní slovosled věty</li> <li>přirozenější pro slovanské jazyky</li> <li>šipkování od závislého k řídicímu</li> <li>mají další možnosti pro zaznamenávání následujících jevů: <ul> <li>Koordinace <ul> <li>různé větné členy se stejnou sémantickou rolí</li> <li>např. Jan a Marie; černý nebo bílý</li> </ul> </li> <li>Apozice <ul> <li>různé větné členy se stejnou syntaktickou rolí, shodnou gramatickou kategorií (tzn. gramaticky kongruentní) <blockquote> <p>Matematicko-fyzikální fakulta (MFF); Ivo Truchlivý, učitel matematiky</p> </blockquote> </li> </ul> </li> <li>Parenze (vsuvka) <ul> <li>věta či větný člen, který syntakticky nesouvisí s okolím, ale upřesňuje, o čem se v okolí mluví <blockquote> <p>Mohl bych, prosím, zavřít okno?</p> </blockquote> </li> </ul> </li> </ul> </li> </ul> <p><img src="/assets/img/matfyz/pc-ling/slozkovy-strom.jpg" alt="složkový tree" /></p> <ul> <li>Složkový strom odpovídá derivačnímu stromu bezkontextové gramatiky</li> <li>tedy větu rozdělí do částí, které se zase rozdělí do částí, atd.</li> <li>slova věty (tokeny) odpovídají listům stromu</li> <li>je méně přehledný, obsahuje mnohdy velké množství nadbytečných uzlů přirozené jazyky nebývají bezkontextové</li> <li>neprojektivní konstrukce mu činí problém - dá se znázornit pouhým uzávorkováním věty, kde uvnitř závorky jsou vždy právě dva prvky, kde prvek je bud’ jiný uzávorkovaný výraz, či samotné slovo vidíme terminály a neterminály</li> <li>hlavně anglo-americká tradice</li> <li>bezprostředně související slova jsou daleko od sebe (např. chlapec a psal)</li> </ul> <h3 id="neprojektivní-konstrukce">Neprojektivní konstrukce</h3> <ul> <li>závislost mezi dvěma slovy ve větě oddělenými slovem třetím, které (ani nepřímo) nezávisí na žádném z nich</li> <li>např. Soubor se nepodařilo otevřít. Vánoční nadešel čas. Která děvčata chtěla dostat ovoce? Tuto knihu jsem se mu rozhodl dát k narozeninám.</li> <li>Závislostní strom s tím nemá problém (jen hrany se v něm jakoby kříží). Složkový ano.</li> </ul> <p><img src="/assets/img/matfyz/pc-ling/neprojektivni-konstrukce.jpg" alt="neprojektivní konstrukce" /></p> <ul> <li>V češtině jsou běžné, ale jsou i v jiných jazycích.</li> <li>v jedné české větě může být teoreticky nekonečně neprojektivit</li> <li>prakticky od zhruba 4 není větě rozumět</li> <li>v holandštině hodně neprojektivit, ale z hlediska konstrukce snazší než české</li> </ul> <h3 id="transformační-gramatika">Transformační gramatika</h3> <ul> <li>navazuje na předválečnou americkou lingvistiku, na snahu o explicitní popis jazykových pravidel</li> <li>předchůdci: <ul> <li>Deskriptivismus (1993 Bloomfield) <ul> <li>Jazyková fakta klasifikuje a registruje, ale nevysvětluje</li> <li>Zpracovává zejména povrchovou větnou strukturu</li> </ul> </li> <li>Analytická syntax (1937 Jespersen). <ul> <li>Logický přístup (1935 Ajdukiewicz) - kategoriální gramatika.</li> <li>využívá (už tehdy existující) koncept povrchové (surface) a hloubkové (deep structure) syntaktické struktury</li> </ul> </li> </ul> </li> <li>povrchová struktura řeší spíše zápis, hloubková význam</li> <li>jedné povrchové reprezentaci může odpovídat více hloubkových (jedna věta je významově víceznačná) nebo naopak (více možností, jak vyjádřit stejný význam)</li> <li>už zhruba ve 30. letech se začalo pracovat s těmito 2 koncepty</li> <li>Jazyk však nebyl dosud popsán formální matematickou strukturou. Spíše se popisovalo, než že by se vysvětlovalo. Míchala se syntax a sémantika. Syntaktické jevy se popisovaly pomocí sémantiky apod.</li> <li><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Noam_Chomsky">Noam Chomsky</a> 1957 Syntactic Structures (revoluce v popisu přirozeného jazyka)</li> <li>popsal 3 základní komponenty: <ul> <li><strong>Báze</strong> <ul> <li>Soubor bezkontextových pravidel. Tato pravidla generují složkové stromy, tzv. frázové ukazatele (phrase makers). S \(\rightarrow\) NP VP, kde NP je noun phrase, VP je verb phrase.</li> </ul> </li> <li><strong>Transformační komponenta</strong> <ul> <li>Soubor transformačních pravidel operujících na celých frázových ukazatelích.</li> <li>Z původních podkladových frázových ukazatelů vytváří povrchovou strukturu věty.</li> <li>2 typy transformačních pravidel: <ul> <li><em>Obligatorní</em> - transformace musí být provedena (pokud je to možné).</li> <li><em>Fakultativní</em> - transformace je volitelná.</li> </ul> </li> </ul> </li> <li><strong>Fonologická komponenta</strong> <ul> <li>Soubor regulárních přepisovacích pravidel. Řetězcům morfémů přidělují fonetickou interpretaci a význam. (Fonetika i fonologie zkoumají zvukovou stránku jazyka. Fonetika zkoumá, jak se hlásky v těle tvoří a vnímají, zatímco fonologie zkoumá funkci hlásek a zvukové rozdíly, které mají v jazyce nějakou funkci.)</li> </ul> </li> </ul> </li> <li>Množina přijatelných vět daného jazyka je vytvářena generativní procedurou, souborem konečného počtu přepisovacích pravidel</li> <li>Jde v podstatě o bezkontextovou nebo kontextovou gramatiku:</li> </ul> \[VP \rightarrow \quad \left\{\begin{array}{cc} V_{intr}^{sg} &amp; AdV \\ V_{tr}^{sg} &amp; NP \end{array}\right\} \, / \, NP^{sg}\] <ul> <li>Generativní metoda není schopna zachytit vztahy mezi variantami vět, např. mezi větou tázací a oznamovací.</li> <li>Transformace ( \(v\) transformační komponentě) jsou definovány strukturním indexem řetězců (řez stromem, výraz se matchuje na množinu vrcholů) a strukturní změnou (co se má s namatchovanými vrcholy provést).</li> </ul> <p><img src="/assets/img/matfyz/pc-ling/transformacni-komponenta.jpg" alt="Transformační komponenta" /></p> <ul> <li>Pravidla mohou být bezkontextová. Pak má tato složka sílu Turingova stroje, což je moc. V dalších verzích byla tato složka oslabena.</li> <li>Vývoj transformační gramatiky:</li> <li>1965 Aspects of the Theory of Syntax (N. Chomsky) - Standard Theory</li> <li>1968 Extended Standard Theory</li> <li>1980’s Government-binding Theory (GB) - založená na obecných principech univerzální gramatiky a parametrech platných pro daný jazyk 1990’s Teorie minimalismu</li> <li>obsahuje jen dvě roviny - opět Chomsky: <ul> <li><em>Rovina logické formy</em> (LF) - reprezentace jazyka a významu</li> <li><em>Fonetická rovina (PF)</em> - zvuková stránka jazyka, rozhraní mezi zvukem</li> </ul> </li> <li>Tree Adjoining Grammars (TAG)</li> <li>pol. 70. let - Joshi, Levy, Takahashi</li> <li>Substituce stromů</li> <li>Elementární struktury jsou stromy</li> <li>Pracuje se složkovými stromy</li> <li>Šipka \(\downarrow\) označuje, který uzel je možné substituovat</li> </ul> <p><img src="/assets/img/matfyz/pc-ling/fonologicka-komponenta.jpg" alt="Fonologická komponenta" /></p> <h2 id="formalismus-pro-popis-gramatik">Formalismus pro popis gramatik</h2> <ul> <li>Drží se myšlenky přepisování kompletních stromů (ne řetězců)</li> <li>např. <code class="language-plaintext highlighter-rouge">X miluje Y</code> = <code class="language-plaintext highlighter-rouge">E m i l</code>, tak za \(X\) se dá dosadit „Milan“, ale i strom „Milan, Ferda a Dežo“)</li> <li>Při substituci se musí oba neterminály (kořen, list stromu) shodovat</li> <li>Pořadí substitucí nehraje roli</li> <li>Proces končí, když už nelze žádný neterminál nahradit</li> <li>Generativní síla odpovídá bezkontextovým gramatikám, po modifikacích mohou být i silnější (kontextové)</li> <li>Typy základních stromů:</li> <li>základní (initial) strom: Udává valenční vztahy a strukturu věty</li> <li>pomocný (auxiliary) strom: Pomocí těchto se tvoří rekurze ve stromu</li> <li>Typy změn: <ul> <li>Substituce - list stromu je nahrazen pomocným stromem, jehož kořen je značený stejně, jako list původního stromu.</li> <li>Adjungace - vnitřní uzel je nahrazen pomocným strom, kořen opět značen stejně jako list původního stromu.</li> </ul> </li> <li>Lexical-Functional Grammar (LFG) <ul> <li>sada dvojic atribut-hodnota</li> <li>Rozlišuje 2 základní typy struktur: <ul> <li>c-strukture (constituent structure) <ul> <li>Spojuje slova do frází</li> <li>Datový typ je složkový strom.</li> </ul> </li> <li>f-strukture (functional structure) <ul> <li>Reprezentuje funkční vztahy ve větě (např. vazby sloves)</li> <li>Používá datový typ matice atribut-hodnota</li> </ul> </li> </ul> </li> </ul> </li> </ul> \[\begin{bmatrix} \text{PRED} &amp;&amp; \text{``DAVID"} \\ \text{NUM} &amp;&amp; \text{SG} \end{bmatrix} \quad \begin{bmatrix} \text{PRED} &amp;&amp; \text{``spát &lt;SUBJ&gt;"} \\ \text{TENSE} &amp;&amp; \text{PAST} \\ \text{SUBJ} &amp;&amp; \begin{bmatrix} \text{PRED} &amp;&amp; \text{``DAVID"} \\ \text{NUM} &amp;&amp; \text{SG} \end{bmatrix} \\ \end{bmatrix}\] <ul> <li>Hodnotami atributů mohou být i množiny</li> <li>Každá c-struktura se spojuje pouze s jednou f-strukturou. Opačně jich může být i více.</li> </ul> <h3 id="kategoriální-gramatiky">Kategoriální gramatiky</h3> <ul> <li><strong>Combinatorial Categorial Grammar</strong> - Mark Steedman</li> <li>Každému vstupnímu slovnímu tvaru je přiřazena kategorie, která fakticky reprezentuje popis syntaktických vlastností dané slovní formy (je to vlastně množina syntaktických vlastností daného slova)</li> <li>Např. sloveso likes dostane kategorii (SINP)/NP</li> <li>Kategorie mají obecný formát \(\alpha / \beta\) nebo \(\alpha \backslash \beta\), kde lomítko určuje pozici argumentu \(\beta\), tedy zda je vpravo (/) nebo vlevo () od \(\alpha\) (používají se ale i jiné notace)</li> <li>V “čisté” kategoriální gramatice pouhá 2 pravidla:</li> </ul> \[X / Y Y \rightarrow X\] \[Y X \backslash Y \rightarrow X\] <p><img src="/assets/img/matfyz/pc-ling/priklad-kombinacni-gramatiky.png" alt="Příklad kombinační gramatiky" /></p> <h3 id="unifikační-gramatiky">Unifikační gramatiky</h3> <ul> <li>navazují na f-structure z LFG</li> </ul> <h4 id="popis-vlastností-objektů">Popis vlastností objektů</h4> <ul> <li>Objekt je reprezentován množinou vlastností (jednoduchých rysů)</li> <li>Popis každé vlastnosti je dvojice <strong>&lt;nazev_vlastnosti&gt;:&lt;hodnota_vlastnosti&gt;</strong></li> <li>Neuspořádaná množina vlastností = <strong>sestava rysů (feature structure)</strong></li> <li>Vlastnosti mohou být např. grafémický zápis, slovní druh, rod, číslo, pád, atd.</li> </ul> \[\left[\begin{array}{l} \text{ graphematic\_form : books} \\ \text{ POS : noun} \\ \text{ gender : neutral} \\ \text{ number : plural} \\ \end{array}\right]\] <h4 id="unifikace">Unifikace</h4> <ul> <li>Spojování dvou sestav rysů popisujících stejný objekt</li> </ul> \[\left[\begin{array}{l} \text{POS : verb} \\ \text{person : third} \\ \text{number : plural} \end{array}\right] \cup \left[\begin{array}{l} \text{gender : masc animate} \\ \text{number: plural} \\ \end{array}\right] = \left[\begin{array}{l} \text{POS : verb} \\ \text{person : third} \\ \text{gender : masc animate} \\ \text{number : plural} \end{array}\right]\] <ul> <li>Povolena pouze tehdy, pokud hodnoty všech rysů z určité sestavy neodporují nějaké hodnotě stejného rysu z jiné sestavy</li> <li>Pokud dvě sestavy rysů obsahují rozporné informace, potom je výsledkem unifikace vnitřně rozporná sestava rysů obvykle označovaná jako \(\perp\)</li> </ul> <h4 id="sestavy-rysů">Sestavy rysů</h4> <ul> <li>Základní datová struktura unifikačních gramatik</li> <li>Obsahují kombinaci rysů, která popisuje určitý jev (např. shodu apod.)</li> <li>Hodnotou vlastnosti (rysu) může být také sestava rysů nebo proměnná.</li> </ul> \[\left[\begin{array}{l} \text { subject }:\left[\begin{array}{l} \text { person : } 2 \\ \text { gender : fem } \end{array}\right] \\ \text { predicate }:\left[\begin{array}{l} \text { person }: 2 \\ \text { gender }: \text { fem } \end{array}\right] \end{array}\right] \quad\left[\begin{array}{l} \text { subject }:|1|\left[\begin{array}{l} \text { person }: 2 \\ \text { gender : fem } \end{array}\right] \\ \text { predicate: }|1| \end{array}\right]\] <ul> <li>Problém: <ul> <li>Lze unifikovat i vlastnosti, které spolu nijak nesouvisejí (třeba pád podmětu a způsob přísudku)</li> </ul> </li> </ul> \[[\text { case : acc }] \cup[\text { mode }: \text { ind }]=\left[\begin{array}{l} \text { case }: \text { acc } \\ \text { mode }: \text { ind } \end{array}\right]\] <h4 id="typované-sestavy-rysů">Typované sestavy rysů</h4> <ul> <li>Nakonec převládly, to jediné, co dávalo smysl <ul> <li>Typ sestavy určuje její vlastnosti</li> </ul> </li> </ul> \[\left[\begin{array}{l} \text { verb } \\ \text { person : 2nd } \\ \text { number : singular } \\ \text { mode : imperative } \end{array}\right]\] <ul> <li>Využívají toho, že některé typy objektů mají společné vlastnosti</li> <li>slovesa - osoba, číslo, čas, způsob atd.</li> <li>Typy jsou obvykle organizovány hierarchicky</li> <li>Slova se dělí na ohebné a neohebné druhy. Ohebné zase na časované a skloňované. Atd.</li> </ul> <p><img src="/assets/img/matfyz/pc-ling/tsr.svg" alt="tsr" /></p> <ul> <li>Head Driven Phrase Structure Grammar (HPSG)</li> <li>Pollard a Sag (1985)</li> <li>Zahrnuje principy, gramatická pravidla a slovníkové položky (tříděné, dle různých kategorii).</li> <li>Slovník je bohatě strukturován, položky nesou řadu informací.</li> <li>Základním typem je znak (sign).</li> <li>Slova a fráze jsou dva různé podtypy znaku.</li> <li>Slovo má dva základní rysy: <ul> <li><em>[PHON]</em> - (zvuk, fonetickou formu)</li> <li><em>[SYNSEM]</em> - (syntaktické a sémantické informace)</li> </ul> </li> <li>tyto rysy jsou dále děleny.</li> </ul> <p>\(\left[\kern-0.5em\begin{array}{ll} word &amp; \\ \text{PHON} &amp; \langle \text{'walks'}\rangle \\ \text{SYNSEM} &amp; \left[\kern-0.5em\begin{array}{ll} synsem &amp; \\ \text{CAT} &amp; \left[\kern-0.5em\begin{array}{ll} category &amp; \\ \text{HEAD} &amp; verb \\ \text{VALENCE} &amp; \left[\kern-0.5em\begin{array}{ll} \text{SUBJ} &amp; \left\langle \left[\kern-0.5em\begin{array}{l} synsem \\ \text{CAT } \vert \text{ HEAD } noun \\ \text{CONT } \fbox{1} \left[\kern-0.5em\begin{array}{ll} ref-index &amp; \\ \text{PER} &amp; 3rd \\ \text{NUM} &amp; sing \\ \end{array}\kern-0.5em\right] \end{array}\kern-0.5em\right] \right\rangle \\ \text{COMP} &amp; \langle\rangle \end{array}\kern-0.5em\right] \\ \end{array}\kern-0.5em\right] \\ \text{CONT} &amp; \left[\kern-0.5em\begin{array}{l} content \\ \text{WALKER } \fbox{1} \\ \end{array}\right] \end{array}\kern-0.5em\right] \end{array}\kern-0.5em\right]\)\(\)</p> <ul> <li>Umožňuje kompletně popsat každé jednotlivé slovo</li> <li>Někdy dlouhé čekání - dřive velmi neefektivní</li> <li>další implementace už trochu lepší</li> </ul> <h4 id="functional-unification-grammar-fug">Functional Unification Grammar (FUG)</h4> <ul> <li>Funkční unifikační gramatika - Martin Kay</li> </ul> <h4 id="generalized-phrase-structure-grammar-gpsg">Generalized Phrase Structure Grammar (GPSG)</h4> <ul> <li>Gerald Gazdar, Geoffrey Pullum, Ivan Sag, Ewan Klein (1985)</li> <li>Dnes už je ale převálcovaly statistické metody.</li> </ul> <h3 id="nástroje-pro-syntaktickou-analýzu">Nástroje pro syntaktickou analýzu</h3> <h4 id="augmented-transition-networks-woods-1970">Augmented Transition Networks (Woods, 1970)</h4> <ul> <li>primitivní, ale úspěšnější než další systém</li> <li>Rozšířené přechodové systémy.</li> <li>tři typy hran: <ul> <li><strong>CAT</strong> (přechod do stavu, nalezne-li příslušnou kategorii)</li> <li><strong>JUMP</strong> (přechod do stavu bez hledání kategorie)</li> <li><strong>SEEK</strong> (přechod k podsíti)</li> </ul> </li> </ul> <table> <tbody> <tr> <td>\({S \rightarrow NP VP} \\ {NP \rightarrow Det NP} \\ {VP \rightarrow V [NP]}\)</td> <td><img src="/assets/img/matfyz/pc-ling/augmented-transition-networks.png" alt="" /></td> </tr> </tbody> </table> <blockquote> <p>The girl saw a boy.</p> </blockquote> <h3 id="q-systémy">Q-systémy</h3> <ul> <li>(Alain Colmerauer - otec prologu, 1969)</li> <li>Formalismus pro tansformaci grafů</li> <li>Grafy (stromy) jsou linearizovány</li> </ul> <p><img src="/assets/img/matfyz/pc-ling/q-systemy.jpg" alt="" /></p> <ul> <li>Grafový analyzátor (chart parser)</li> <li>Linearizace ne řezem, jako u Chomského</li> <li>Vada - cesta zpátky není jednoznačná - pořadí uzlů není zachováno <ul> <li>řešení: dodat pomocné uzly - např. # na pozici kořenového uzlu</li> </ul> </li> <li>3 typy objektů (+ implicitní typy proměnných v původní verzi) <ul> <li>atomy (konstanty) - písmena z počátku abecedy A-J</li> <li>stromy - střed abecedy, písmena L-N</li> <li>seznamy stromů - konec abecedy, písmena U-Z operátory <code class="language-plaintext highlighter-rouge">-DANS-</code> <code class="language-plaintext highlighter-rouge">-HORS-</code> <code class="language-plaintext highlighter-rouge">-ET-</code> <code class="language-plaintext highlighter-rouge">-NON-</code> <code class="language-plaintext highlighter-rouge">-OU-</code> =</li> </ul> </li> </ul> <blockquote> \[S(NP,VP(V,NP))\] <p>může být popsáno jako:</p> \[A^{*}(U^{*})\] <p>nebo</p> \[S(NP, L^{*})\] <p>či</p> \[M^{*}\] <p>\(^*\) signalizuje, že se jedná o proměnnou</p> </blockquote> <p>vstupní graf:</p> <p><img src="/assets/img/matfyz/pc-ling/q-system-input-graph.jpg" alt="vstupní graf" /></p> \[\begin{aligned} Adj+N &amp;\Rightarrow NP(Adj,N) \\ V+NP(U^{*}) &amp;\Rightarrow VP(V, NP(U^{*})) \\ NP(U^{*})+VP(V^{*}) &amp;\Rightarrow S(NP(U^{*}),VP(V^{*})) \end{aligned}\] <h4 id="pravidla">Pravidla</h4> <ul> <li>u pravidel záleží na pořadí</li> <li>hrany na levé straně úspěšně použitého pravidla se zapamatují <ul> <li>na konci se smažou, byly překlenuty novou hranou</li> <li>systém smaže také hrany, které na konci nejsou součástí cesty ze začátku do konce</li> </ul> </li> <li>jednotlivé malé gramatiky lze řetězit za sebe <ul> <li>každá může dělat jen část</li> <li>v mezifázi se graf vždy vyčistí</li> </ul> </li> <li>nevýhoda - reálná pravidla dost nečitelná</li> <li>nesmírně efektivní ve srovnání s ostatními v 80. letech, běželo rychle</li> <li>dobrý mechanismus, ale neuchytil se, protože se o něm psalo jen francouzsky (muselo se)</li> <li>Používal je např. RUSLAN, ale jinak byly oblíbené téměř jen ve francouzštině (jinde byly oblíbenější rozšírené přechodové systémy)</li> </ul> <h2 id="funkční-generativní-popis-sgall-1967">Funkční generativní popis (Sgall, 1967)</h2> <ul> <li>později E. Hajičová, J. Panevová</li> <li>projekt z MFF</li> <li>teorie použitelná na jazyky jako čeština (volný slovosled, vysoká flexe)</li> <li>navazuje na Pražskou lingvistickou školu</li> <li>kniha: The Meaning of the Sentence in its Pragmatic Aspects, 1986</li> <li>Stratifikační teorie - chápe popis jazyka jako popis 5 rovin (každá má nějakou funkci): <ul> <li>fonetická</li> <li>fonologická</li> <li>morfématická</li> <li>povrchová</li> <li>tektogramatická - sémantika slov</li> </ul> </li> <li>předpoklad, že roviny jsou nějak spojené</li> <li>Formy a funkce - jednotka na vyšší rovině reprezentuje funkci jednotky na rovině nižší (TG je nejvyšší)</li> <li>Na vyšších úrovních (povrchová a tektogramatická) se jazyk popisuje závislostní reprezentací, typicky závislostními stromy</li> </ul> <h3 id="teorie-valence">Teorie valence</h3> <ul> <li>vazby, vyžadované nebo povolené řídicími slovy, zejména slovesy</li> <li>existuje již od 60 . let</li> <li>základy vytvořili J.Kuryłowicz (1949) a L. Tesnière (1959), rozpracoval ji Charles Fillmore (1968,1977) ve své „Case Grammar,“ ve které studoval sémantické role jednotlivých slovesných aktantů</li> <li>schopnost některých slov (především sloves) „vyžadovat“ jiné větné členy a tvořit s nimi věty</li> <li>v rámci FGP: <ul> <li><strong>slovesa</strong> - Panevová (1974-1975), Hajičová (1979), Panevová (1980) a (1994)</li> <li><strong>substantiva</strong> - Novotný (1980), Panevová (2000)</li> <li><strong>adjektiva</strong> - Pitha (1982), Panevová (1998).</li> </ul> </li> <li><strong>Vallex</strong> - Lopatková, Žabokrtský 2007</li> <li>2 základní druhy závislých členů na TG rovině: <ul> <li><em>aktanty</em> <ul> <li>Konatel (aktor, agens)</li> <li>Patient</li> <li>Adresát</li> <li>Origo</li> <li>Efekt</li> <li>každý z nich může být ve větě zastoupen pouze jednou (i když je samozřejmě lze koordinovat)</li> </ul> </li> <li><em>volná doplnění</em> <ul> <li>mohou se vyskytovat vícekrát</li> </ul> </li> </ul> </li> </ul> <h4 id="další-dělení">další dělení</h4> <ul> <li>obligatorní <ul> <li>obligatorní aktant nesmí ve větě chybět (může ovšem chybět na povrchové rovině, pokud ho známe např. z kontextu)</li> </ul> </li> <li>fakultativní <ul> <li>(na TG rovině)</li> </ul> </li> <li>dialogový test pro rozlišení obligatorních a fakultativních</li> </ul> <h4 id="dialogový-test">Dialogový test</h4> <table> <tbody> <tr> <td>Moji přátelé přijeli.</td> <td>Moji přátelé odjeli.</td> </tr> <tr> <td>Kam? <del>Nevím</del><br /> Odkud? Nevím</td> <td>Odkud? <del>Nevím</del><br />Proč? Nevím</td> </tr> </tbody> </table> <ul> <li><strong>valenční rámec</strong> <ul> <li>seznam aktantů (i fakultativních) a obligatorních volných doplnění</li> </ul> </li> </ul> <h2 id="kontrola-gramatické-správnosti">Kontrola gramatické správnosti</h2> <ul> <li>problémy specifické pro češtinu: <ul> <li>shoda podmětu s přísudkem</li> <li>interpunkce</li> <li>neprojektivní konstrukce</li> <li>zájmena (mě/mně)</li> </ul> </li> </ul> <h3 id="jak-kontrolovat">Jak kontrolovat?</h3> <ul> <li><strong>Chybové vzorky</strong> <ul> <li>vhodné hlavně pro jazyky s pevným slovosledem, kde se chybné konstrukce spíš vyskytují v lokálním kontextu (nerozlézají se daleko po větě)</li> </ul> </li> <li><strong>Gramatika</strong> <ul> <li>nelze ale rozeznat, kdy je konstrukce chybná pouze vzhledem k (neúplné) gramatice a kdy je opravdu špatně</li> </ul> </li> </ul> <h3 id="rfodg">RFODG</h3> <ul> <li>Robust Free-Order Dependency Grammar</li> <li>jedno pravidlo gramatiky může popisovat správnou i chybnou konstrukci zároveň</li> <li>výpočet probíhá ve fázích, interpret gramatiky rozhoduje, jak se bude stejné gramatické pravidlo používat</li> <li>3 fáze: <ul> <li>pozitivní projektivní</li> <li>negativní projektivní nebo pozitivní neprojektivní <ul> <li>umožnilo se něco porušit - povolila se jen 1 věc</li> </ul> </li> <li>negativní neprojektivní <ul> <li>povolí se vše - chyby i neprojektivity</li> <li>velmi pomalé \(\rightarrow\) metoda není velmi použitelná</li> </ul> </li> </ul> </li> <li>snaha o co nejplynulejší fázování výpočtu <ul> <li>zlepšil Tom Holan, 2001 (disertační práce)</li> </ul> </li> <li>gramatika ručně psaná \(\rightarrow\) nekompletní <ul> <li>to, co nebylo v gramatice, se hlásilo jako chyba</li> <li>neúspěšný experiment</li> </ul> </li> </ul> <h3 id="langr">LanGR</h3> <ul> <li>P. Květoň 2003</li> <li>primárně vyvíjen pro desambiguaci české morfologie</li> <li>pracuje s pozitivními a negativními desambiguačními pravidly</li> <li>pravidla mohou mít neomezený kontext</li> <li>redukční metoda - snaha udržet 100% přesnost</li> <li>pravidla jsou psána ručně, avšak na základě dat z korpusu</li> <li>pravidla jsou vzájemně nezávislá, neuspořádaná a jsou uplatňována v cyklech</li> <li>každé pravidlo má 4 části: kontext, desambiguační část, report a akce</li> <li>pravidla tvořena speciálně pro češtinu (pro jiný jazyk by byla téměř úplně jiná)</li> <li>používá desambiguaci na to, že když se odstraní všechny tagy, tak víme, že je něco špatně, \(v\) tu chvíli se ale musí určit, co je špatně a jak to opravit (a toto samozřejmě neopraví všechny chyby) - Neřeší to ten problém, že věta může být správně, ale až v dalekém kontextu přes jiné věty. (<code class="language-plaintext highlighter-rouge">Tatínek šly do práce.</code>)</li> <li>Obecně používá tuto přípravu (klasický postup při zpracování psaného textu): segmentace (rozseká na věty) \(\rightarrow\) tokenizace (rozseká na slova) \(\rightarrow\) morfologická analýza (každému tokenu dá seznam dvojic lemma - tag) \(\rightarrow\) morfologická desambiguace (každému tokenu vybere ideálně jeden token) \(\rightarrow\) syntaktická analýza (větný rozbor) \(\rightarrow\) sémantická analýza (rozbor významu věty).</li> <li>používá MS Word</li> </ul> <hr /> <h2 id="korpusová-lingvistika">Korpusová lingvistika</h2> <ul> <li>Zabývá se metodami, jak popisovat velké množství nasbíraných dat, studuje data v korpusech.</li> </ul> <div class="definition-block"><p class="definition-label"><b>Definice</b></p> <p><strong>Korpus</strong> je rozsáhlý soubor textů (v digitální podobě, el. databáze) v daném jazyce, většinou anotovaný (označkovaný) na základě přechozí morfologické a někdy i syntaktické analýzy. Je to cenný soubor dat, ale někdy se chybně považuje za reprezentativní vzorek či rovnou celý jazyk.</p> <ul> <li>V současné době korpusy obsahují mnoho milionů slov běžného textu, jehož vlastnosti mohou být analyzovány pomocí značek (tagů) (doplněných informací identifikující a klasifikující slova nebo jiné útvary) a konkordačních programů.</li> <li>Nejsou čisté - obsahují cizí slova, gramaticky nesprávné věty, …</li> <li>V korpusech musí být značky, abychom mohli pokládat dotazy typu: najdi 3 předložky za sebou</li> </ul> </div> <h3 id="charakteristika-moderních-korpusů">Charakteristika moderních korpusů</h3> <ul> <li><strong>Výběr vzorků a reprezentativnost</strong> <ul> <li>jazyk je nekonečný - korpus konečný…</li> <li>reprezentativnost je důležitá, ale jde stranou <ul> <li>(knihy chráněné autorskými právy, nelze použít moc literatury)</li> </ul> </li> </ul> </li> <li><strong>Konečná velikost</strong> <ul> <li>s výjimkou tzv. monitorovacích korpusů (data jsou stále přidávána)</li> <li>umožňuje kvantitativní výzkum</li> </ul> </li> <li><strong>Strojem čitelná forma</strong> <ul> <li>snadné prohledávání, rychlá manipulace, snadno doplnitelné</li> </ul> </li> <li><strong>Standardní reference</strong> <ul> <li>aby korpus mohl sloužit širšímu publiku, musí dodržovat určité standardy</li> </ul> </li> </ul> <h3 id="brown-corpus-of-standard-american-english">Brown Corpus of Standard American English</h3> <ul> <li>první moderní elektronický korpus</li> <li>1961 W.N.Francis a H.Kučera</li> <li>1 milion slov textů \(v\) amer. angličtině z roku 1961</li> <li>15 druhů textu (novinové reportáže, humor, krásná literatura, …), dohromady 500 textů, každý cca 2000 slov</li> <li>Texty byly vybírány schválně náhodně. Celé to bylo pečlivé, ale milion slov není moc. A texty nebyly anotované.</li> </ul> <h3 id="penn-treebank">Penn Treebank</h3> <ul> <li>první a nejznámější syntakticky anotovaný korpus</li> <li>1990’s Univerzita v Pensylvánii</li> <li>cca1 milion slov</li> <li>2499 článků ze souboru článků Wall Street Journal (WSJ) v průběhu 3 let (burzovní angličtina) <ul> <li>dosti omezující</li> <li>články různě dlouhé</li> </ul> </li> <li>autoři: Mitchell P. Marcus, Beatrice Santorini, Mary Ann Marcinkiewicz a Ann Taylor</li> <li>syntaktická analýza využívala složkové systémy, tedy anotace pomocí uzávorkování a různých značek</li> <li>snaha ho přeložit do češtiny (PCEDT), což se podařilo, ale s obtížemi <ul> <li>vyžadovalo to lidi, kteří by uměli dobře česky i anglicky a vyznali se v prostředí burzovních textů z 90’s. (Nejen překladatel, ale i ten, kdo to reviduje.)</li> <li>motivace pro překlad včetně podobného značkování byla taková, aby se nějaký statistický program mohl učit rozdíly.</li> </ul> </li> </ul> <h3 id="další-anglické-korpusy">Další anglické korpusy</h3> <ul> <li>British National Corpus</li> <li>American National Corpus</li> <li>Corpus of Contemporary American English</li> <li>Oxford English Corpus</li> </ul> <h3 id="český-národní-korpus-cnc">Český národní korpus (CNC)</h3> <ul> <li>Od 1994 společně UK, MU a Ústav pro jazyk český</li> <li>Morfologicky označkovaný („otagovaný“) <ul> <li>tedy na morfologické úrovni</li> <li>ne ručně, ale automatickými nástroji pro morfologickou analýzu</li> </ul> </li> <li>Současně obsahuje asi 600 miliónů slov a je složený z převážné části z novinových článků, dále z literatury a odborných textů.</li> <li>část (100 milionů slov) uvolněno pro veřejnost - SYN2000 <ul> <li>15% literatury, 60% novinové texty, 25% technické a odborné texty (čísla už dnes neplatí…)</li> </ul> </li> <li>Morfologická analýza používá 15-ti poziční značky. V korpusu je rozeznáno 700000 lemat, 15 miliónů slovních forem a po stochastické desambiguaci zůstane u každého slova průměrně 4,29 tagů. Používá statistické metody. Na učení se využívá ručně označkovaný korpus s 1,2 milióny tokenů (slov). K automatickému učení používá kontextová pravidla (asi 11000 pravidel). Automaticky určuje váhy. Dosahuje rychlosti 200 tokenů za sekundu a výsledná úspěšnost je přes 94%.</li> </ul> <h3 id="pražský-závislostní-korpus-prague-dependency-treebank">Pražský závislostní korpus (Prague Dependency Treebank)</h3> <ul> <li>Propracované anotační schéma aplikovatelné na jazyky různých typů</li> <li>Anotovaný automatickou metodou (přesnost asi 70% ) <ul> <li>Pak se stromečky opravovaly ručně</li> </ul> </li> <li>Data jsou podmnožinou ČNK</li> <li>Založené na teorii Funkčního generativního popisu prof. P. Sgalla</li> <li>100000 vět, 1.25 milionu běžných slov</li> <li><strong>úrovně anotace:</strong> <ul> <li>morfologie</li> <li>analytická rovina (povrchově syntaktická) <ul> <li>přiřazují se funkce - podmět, přísudek, …</li> </ul> </li> <li>tektogramatická rovina (4 podroviny): <ul> <li>závislostní struktura, (detailní) funktory</li> <li>jádro/ohnisko (topic/focus) a hloubkový pořádek slov</li> <li>koreference (většinou pouze gramatická)</li> <li>vše ostatní (gramatémy): <ul> <li>detailní funktory</li> <li>hloubkový rok, číslo, …</li> </ul> </li> </ul> </li> </ul> </li> <li>Vznikl anotační manuál - některé jevy složité, bylo potřeba anotovat jednotně <ul> <li>1500 stránek</li> </ul> </li> <li>díky ručnímu zanotování (po atom. metodě) - lepší než většina treebanků,</li> <li>spolehlivější projekt na 10 let</li> <li>grant až 300 mil. Kč</li> <li>Je anotovaný (opět automaticky) na několika rovinách (na některých rovinách jsou anotovány jen jeho části): <ul> <li><strong>Slovní rovina</strong> (w-rovina) <ul> <li>Pouze surový text bez anotace, ovšem včetně členění.</li> </ul> </li> <li><strong>Morfologická rovina</strong> (m-rovina) <ul> <li>Každému slovu ve větě přiřadí několik atributů (lemma, tag (15-ti poziční značka), jednoznačné id využité při propojování rovin, odkaz do slovní roviny, atd.).</li> <li>Anotace probíhala dvoufázově: nejdříve anotoval automatický morfologický analyzátor \(\rightarrow\) a pak dva lidští anotátoři na sobě nezávisle vybírali správná lemmata a tagy z výsledkủ automatického \(\rightarrow\) nakonec třetí lidský anotátor vybral nejlepší možnost z předchozích dvou.</li> </ul> </li> <li><strong>Analytická rovina</strong> (a-rovina) <ul> <li>Každá věta je reprezentována stromem orientovaným do kořene s ohodnocenými hranami mezi uzly. Uzly jsou právě prvky morfologické roviny, hrany jsou ohodnoceny podle závislostních vztahů uzlů, či určují další jevy (koordinace - s předchozí větou, apozice, interpunkce). Každý uzel si i pamatuje své pořadí ve větě kvưli grafickému znázornění.</li> <li>Byl použit automatický parser na předzpracování textu a dále automatický nástroj, který na základě pravidel určoval ohodnocení hran, ale výstup byl často chybný či neúplný, tedy museli nastoupit ruční anotátoři. Následně byly provedeny automatické kontrolní testy (např. slovesnký jmenný predikát závisí na být) a porušení byla ručně opravena.</li> <li>Nakonec byla provedena společná revize morfologické a analytické roviny (např. shoda v pádě, rodu a čísle závislého a nadřízeného uzlu, atd.).</li> </ul> </li> <li><strong>Tektogramatická rovina</strong> (t-rovina) <ul> <li>Opět je každá věta reprezentována stromem. Nicméně jeho uzly už nemusí být právě prvky morfologické analýzy (některé prvky zde nejsou (např. předložky) a některé uzly tu jsou navíc (např. nevyjádřený podmět)). Zachycuje hloubkovou strukturu věty. K některým uzlům jsou připojeny gramatémy poskytující o uzlu informaci, kterou nelze jinak odvodit. K uzlům reprezentujícím sloveso či některé typy podstatným jmen je přiřazen valenční rámec (odkaz do vallexu). Dále nějaké koreference.</li> </ul> </li> </ul> </li> </ul> <h3 id="anotační-a-vyhledávací-nástroje">Anotační a vyhledávací nástroje</h3> <ul> <li><strong>Netgraph</strong> <ul> <li>prohledávání stromů</li> <li>víceuživatelská internetová aplikace cleint-server</li> </ul> </li> <li><strong>TrEd</strong> <ul> <li>tree editor</li> <li>původně anotační nástroj</li> <li>postupně přibyly i vyhledávací funkce a další</li> </ul> </li> <li><strong>Universal Dependencies</strong> <ul> <li>společný formát korpusů</li> <li>výsledek mezinárodní standardizace</li> <li>dá se např. vyhledávat ve více korpusech najednou - Ize porovnávat jazyky <ul> <li>např. v našem repozitáři LINDAT</li> </ul> </li> </ul> </li> </ul> <hr /> <h2 id="pravděpodobnostní-a-statistické-metody">Pravděpodobnostní a statistické metody</h2> <ul> <li><strong>Motivace:</strong> víme, že existují 3 překlady pro dané slovo. Je těžké určit, který je pro danou situaci vhodný. Nicméně mohl by nám k tomu pomoci kontext okolních slov. Statistické překladové metody v podstatě zkoumají, jakou mají různé kombinace slov v daném jazyce pravděpodobnost - a dle toho se rozhodují o překladu.</li> <li>Potřebujeme k tomu velké množství událostí - při dostatečně dlouhé sérii pokusů se relativní četnost jednotlivých výsledků začne blížit jejich pravděpodobnosti.</li> <li>Můžeme zkoumat (paralelní) korpus</li> <li>Četnost výskytu “in” v anglickém a tří možností ve francouzském</li> <li>Pravděpodobnost výskytu slova \(w\) v textu \(T\) je \(P(w)=\) počet výskytů slova \(S\) v textu \(T / \text{počet slov textu } T\).</li> </ul> <h3 id="základní-vzorce">Základní vzorce</h3> \[\begin{aligned} P(A, B)=P(A) P(B) &amp;\quad\; \text{(A, B nezávislé)} \\ P(A \mid B)=\frac{P(B \mid A) P(A)}{P(B)} &amp;\quad\;\text{(Bayesova věta)} \\ P(A, B)=P(A \mid B) P(B)=P(B, A) &amp; \\ P(A, B, C)=P(A \mid B, C) P(B \mid C) P(C) &amp; \\ P(A \mid B)=P(A) &amp;\quad\; \text{(A, B nezávislé)} \\ P(A, B)=P(A)P(B) &amp;\quad\; \text{(A, B nezávislé)} \\ \end{aligned}\] <h3 id="modelování-jazyka">Modelování jazyka</h3> <div class="definition-block"><p class="definition-label"><b>Definice</b></p> <p><strong>Rozpoznávání</strong> je technika, která se snaží předpovídat, co bude následující slovo na základě předchozího kontextu (historie).</p> </div> <ul> <li>Dříve čistě akusticky, později (v 90. letech) se přidala statistika - zlepšení</li> <li>Předpovídání - násl. morfologické značky, násl. slova, apod. <ul> <li>např. v angličtině po členu nebude sloveso…</li> </ul> </li> <li>Pomocí podmíněné pravděpodobnosti</li> </ul> <div class="theorem-block"><p class="theorem-label"><b>Věta</b></p> <p>Nechť jsme před slovem \(w\). Označme \(h\) dosavadní historii (text před slovem \(w\)). Pak nás zajímá \(P(w \mid h)\). Což z Bayesovy věty spočítáme jako \(P(w \mid h)={P(h \mid w)^{*} P(w) / P(h)}\). Díky větě o úplné pravděpodobnosti pak můžeme počítat pravděpodobnost celé věty \(W\) jako:</p> \[\begin{aligned} &amp;P(W) = \\ &amp;P\left(\left\langle w_{i}\right\rangle_{i=1 \ldots n}\right). \\ &amp;P\left(w_{n} \mid \left\langle w_{i} \right\rangle_{i=1 \ldots n-1}\right). \\ &amp;P\left(w_{n-1} \mid \left\langle w_{i} \right\rangle_{i=1 \ldots n-2}\right). \\ &amp;P\left(w_{n-2} \mid \left\langle w_{i} \right\rangle_{i=1 \ldots n-3}\right). \\ \ldots \\ &amp;P\left(w_{2} \mid w_{1}\right). \\ &amp;P\left(w_{1}\right) \end{aligned}\] </div> <ul> <li>pravděpodobnost \(n\)-tého slova v kontextu předchozích</li> <li>Jelikož příliš dlouhá historie by byla výpočetně náročná a zároveň by mnohé pravděpodobnosti byly příliš malé (kombinace dlouhých sousloví nejsou příliš pravděpodobné), tak se historie omezuje - v reálném případě počítáme s úseky délky 3 (trigram) nebo 4 (kvadrigram)</li> </ul> <div class="definition-block"><p class="definition-label"><b>Definice</b></p> <p><strong>Trigramový model</strong></p> \[p(W)=p(w_{3} \mid w_{2} w_{1}) p(w_{2} \mid w_{1}) p(w_{1})\] </div> <ul> <li>Termín \(n\)-gram znamená \(n\)-tice slov za sebou (lépe by však bylo upřesnit „slovní \(n\)-gram“, jindy se \(n\)-gramem totiž myslí \(n\)-tice písmen).</li> </ul> <h3 id="vyhlazovaní">Vyhlazovaní</h3> <ul> <li>Ve velkém slovníku je příliš mnoho nulových pravděpodobností (kombinací trigramů je hodně, ale \(v\) daných textech se jich vyskytne jen malá část). To se řeší tak, že nulové pravděpodobnosti se nahradí nějakými malými hodnotami.</li> <li>Zkoumání by jinak přestalo být opřené o reálná data</li> <li>Bohužel ale setře rozdíl mezi nesmyslnými kombinacemi a těmi málo pravděpodobnými</li> </ul> <h3 id="statistický-překlad">Statistický překlad</h3> <ul> <li>Použije se paralelní překladový korpus jako trénovací množina příkladů dobrého překladu</li> <li><strong>Paralelní korpusy</strong> <ul> <li>existují jak pro dvojice jazyků, tak i pro větší množiny (korpus dokumentů EU)</li> <li>musí být spárované - po větách, větných členech, atd. (oproti práci překladatelů)</li> <li>takový korpus bude většinou velmi malý (oproti dříve probraným jednojazyčným)</li> </ul> </li> <li>V posledním desetiletí převládající metoda</li> <li><strong>Fázový překlad</strong> <ul> <li>skládat překlady pouze z paralelních dat</li> <li>zavedl Google</li> <li>kolem r. 2000 pracovali s frázemi až do délky 9 - bez ohledu na lingvistiku, na pravidla - čistě mechanické <ul> <li>spoustu různých variant</li> </ul> </li> </ul> </li> </ul> <p><img src="/assets/img/matfyz/pc-ling/fazovy-preklad.jpg" alt="Fázový překlad" /></p> <h3 id="metoda-zašuměného-kanálu">Metoda zašuměného kanálu</h3> <ul> <li>Chceme překládat z francouštiny (\(F\)) do angličtiny (\(A\)). Hledáme pravděpodobnostní model \(P(A \mid F)\), který vyjádří pravděpodobnost libovolné anglické věty a, máme-li francouzskou větu \(F\). Parametry se nastaví podle tréninkového korpusu.</li> <li>Bayesův vzorec: \(P(A \mid F)=\frac{P(F \mid A)P(A)}{P(F)}\) <ul> <li>tím se vlastně otočil směr překladu</li> <li>hledáme 2 modely: <ul> <li>překladový model \(P(F \mid A)\)</li> <li>jazykový model cílového jazyka \(P(A)\)</li> </ul> </li> <li>\(P(F)\) není podstatné, nějaká konstanta, větu máme</li> </ul> </li> <li>Předstíráme, že francouzská věta je výsledkem nedokonalého přenosu přes zašuměný (nespolehlivý) kanál a hledáme její správný originál.</li> <li>Zkoumáme dobrou metodu překladu (akorát opačným směrem) a současně se díváme, jak dobrou (správnou, hezkou) větou \(v\) angličtině je hypotéza</li> <li>Jazykový model \(P(A)\) - kvalitní, větší korpus <ul> <li>může být trigramový model založený na mnohem rozsáhlejším korpusu cílového jazyka, řádově stamiliony slov</li> </ul> </li> <li>Překladový model \(P(F \mid A)\) je založen na mnohem menším paralelním korpusu (miliony slov)</li> <li>Překlad probíhá obráceně</li> <li>Jazykový model odfiltruje nepodařené překlady, vyrovná chyby překladového modelu <ul> <li>problém: často se jim po cestě ztratí negace, to jazykový model nespraví (původní i negace jsou stejně přijatelné)</li> </ul> </li> <li>Jazykový model vybírá pouze “hezké” věty, nemá vztah k originálu</li> <li>Hledání překladových hypotéz (dekódování) je obtížným problémem samo o sobě</li> </ul> <h3 id="evaluace-systémů-automatického-překladu">Evaluace systémů automatického překladu</h3> <ul> <li>Potřebujeme zpětnou vazbu, jestli se po změně systém zlepšuje, nebo ne</li> <li>Jak měřit kvalitu překladu? To je obtížná záležitost i ručně, natož automaticky. V roce 2002 vznikla míra Bleu.</li> </ul> <h4 id="bleu">BLEU</h4> <ul> <li>metrika, standard</li> <li>máme sadu referenčních překladů (daný text kvalitně přeložený, nejlépe několik variant)</li> <li><strong>skóre</strong> - vezmou se unigramy až kvadrigramy a porovnává se s referenčními větami (jestli se v některém z ref. překladů vyskytují) <ul> <li>je jedno, v jakém ref. překladu se vyskytuje, hlavně že v nějakém</li> </ul> </li> <li>penalizace za stručnost (např. pokud systém přeloží jen prvních pár slov věty ale kvalitně) <ul> <li>tendence favorizovat krátké věty, jejichž všechny n-gramy by existovaly \(v\) referenčních příkladech, přestože by ref. překlady byly výrazně delší</li> </ul> </li> <li>celkové skóre:</li> </ul> \[\text{BLEU} =BP .\left(p_{1} p_{2} p_{3} p_{4}\right)^{1 / 4}\] <ul> <li> <p>\(BP\) = Brevity penalty</p> </li> <li>penalizace za stručnost vynásobená geometrickým průměrem \(n\)-gramové přesnosti pro \(n=1\ldots 4\)</li> <li>výsledkem je vždy číslo mezi 0 a 1 (“přesnost překladu v %”)</li> <li>určené pro použití během vývoje systémů - měl by porovnávat ten samý systém</li> <li>potřeba více ref. překladů a více testovacích vět ( 1000)</li> <li>problémy: <ul> <li>vysoce flektivní jazyky - jen u špatného pádu velmi nízké skóre</li> <li>jiný slovosled může způsobit velmi špatné výsledky v této metrice</li> <li>nebere \(v\) úvahu morfologii, tedy pouze chybná koncovka (ale správný význam) pokazí skóre stejně jako úplně špatný překlad</li> <li>hodně náročné na velikost trénovacích dat, proto se lépe překládá mezi „velkými jazyky“, kde se data lehko shání</li> </ul> </li> <li>pro nepatrné zlepšení potřeba výrazně větší trénovací data <ul> <li>Google - pro o 0,05 lepší BLEU skóre potřebuje 2x větší data - Sémantika přirozeného jazyka</li> </ul> </li> </ul> <hr /> <h2 id="sémantika">Sémantika</h2> <h3 id="sémantika-přirozeného-jazyka">Sémantika přirozeného jazyka</h3> <ul> <li>Pomocí syntaxe můžeme rozlišovat gramaticky správně a nesprávně utvořené věty. Nicméně nic to neříká o jejich pravdivosti.</li> <li>Je nutno rozlišovat mezi významem a pravdivostí věty.</li> <li>Pravdivost je dána kontextem, není obsažena v jazyce. Jsou k ní potřeba různá pravidla a předpoklady světa, ze kterého vycházíme.</li> <li>I nepravdivá sdělení mohou mít svůj význam.</li> <li>U některých sdělení zase není možno ověřit pravdivost.</li> <li>Je těžké obecně říct o větách, jestli mají stejný význam. (Pozorovali ho dobrovolně. X Byl jimi pozorován dobrovolně.)</li> </ul> <h4 id="vyplývání">Vyplývání</h4> <ul> <li>z pravdivé věty často vyplývají různé další skutečnosti (na základě obecných pravidel a zákonitostí), nicméně tyto zákonitosti nejsou stoprocentní, mohou mít výjimky, které nás předem nenapadnou.</li> </ul> <blockquote> <p>Tučňáci jsou ptáci. \(\Rightarrow\) Tučňáci mají křídla a létají.</p> </blockquote> <ul> <li>to, že je věta pravdivá, mívá důsledky - věta nese víc informací</li> </ul> <blockquote> <p>Kare prodal auto sousedovi. \(\Rightarrow\) Karel měl auto, už ho nemá, soused je od něj koupil a ted’ ho má.</p> </blockquote> <ul> <li>Sémantika formálních jazyků často spojuje pravdivost s významem, pro přirozené jazyky je nutné zvolit jiné teorie.</li> </ul> <h4 id="fregeho-princip-kompozicionality">Fregeho princip kompozicionality</h4> <ul> <li>(Gottlob Frege, 1848-1925).</li> <li>Význam složeného výrazu je jednoznačně určen významy jeho částí a způsobem jejich kombinace.</li> <li>Tedy např. význam textu je určen významy jednotlivých vět a jejich poskládáním. Obdobně význam vět je určen významem jejich slov, atd.</li> <li>Buduje se odspoda - význam slov a spojek (vztah mezi klauzulemi/slovy)</li> </ul> <h3 id="lexikální-sémantika">Lexikální sémantika</h3> <h4 id="význam-slov">Význam slov</h4> <ul> <li><strong>Význam slov</strong> můžeme popisovat zase pouze pomocí nějakého (meta)jazyka, ten může být: <ul> <li>formální - např. vycházející z něčeho již vystavěného <ul> <li>vhodný matematický nebo logický kalkul (predikátová logika) či soustava sémantických rysů, sémů</li> </ul> </li> <li>přirozený (ten stejný nebo jiný)</li> </ul> </li> <li>nebo se dá pro popis \(v\) reálném světě využít kombinace jazyka a situace (předmětu)</li> </ul> <blockquote> <p>Toto je křída.</p> </blockquote> <ul> <li>Problémy: <ul> <li>Význam slova závisí i na kontextu okolních slov a vět (např. Střílení poslanců ohrožuje naši demokracii).</li> <li>Význam slov není jednoznačný (oko, list, kohoutek, štěně, hlava…).</li> </ul> </li> <li>Význam slov můžeme nezávisle na kontextu popisovat pomocí významových (sémantických) tříd (rysů)</li> </ul> <h4 id="ontologie">Ontologie</h4> <ul> <li>Ontologie je množina tříd objektů, která představuje klasifikaci objektů universa U, např.: <ul> <li>fyzické objekty,</li> <li>kvantity,</li> <li>vztahy,</li> <li>vlastnosti,</li> <li>akce (činnosti),</li> <li>živé bytosti, atd.</li> </ul> </li> <li>třídy lze dále zjemňovat: slovesa pohybu, péče o tělo, změny, komunikace apod.</li> <li>Dané slovo (objekt) pak popíšeme pomocí příznaků ke každé třídě: + (patří do ní), - (nepatří do ní), 0 (nezávisí na ní).</li> <li>Ontologie jsou bud’ doménové (domain) (někde jsem našla, že zpracovává jen jednu doménu obor; jinde že to je množina názvů oborů) či vrcholové (upper) (Top Ontology - prý množina nejzákladnějších výrazů, nezávislých na jazyku).</li> </ul> <h4 id="popis-významu-slov">Popis významu slov</h4> <ul> <li><strong>ve slovnících</strong> <ul> <li>pomocí synonym,</li> <li>pomocí definic,</li> <li>pomocí množiny vybraných primitivních výrazů daného přirozeného jazyka <ul> <li>výkladový slovník - omezená množina slov, odpovídá zhruba charakteristickým rysům</li> </ul> </li> <li>pomocí speciálního metajazyka: sémantických rysů <ul> <li>význam slova se snažíme popsat posloupností charakteristik (+ operátory)</li> <li>muž = HUM, MASK, ADU</li> <li>dívka = HUM, FEM, -ADU</li> </ul> </li> </ul> </li> <li><strong>pomocí sémantické sítě</strong> <ul> <li>forma sémantické sítě lépe zachycuje víceznačnosti</li> <li>je možné pracovat s hierarchií pojmů</li> <li>výhodnější pro počítačové zpracování</li> <li>umožňují určit různé vztahy a směry vztahů mezi pojmy, tj. nejen hierarchii sémantických tříd, ale i vztahy napříč nimi</li> <li>zabývají se vztahy jako hyperonimie (slovo nadřazené) a hyponimie (slovo podřazené), synonymie (ekvivalentní význam ale jiná forma) a antonymie (slova protikladná), meronymie (býti částí) a holonymie (obsahovat)</li> <li>osvědčily se - jednoduché, přirozené a do určité míry to funguje <ul> <li>jen do určité míry, protože evropské vznikly překladem anglické <ul> <li>synonymita ale není stejná v různých jazycích…</li> </ul> </li> </ul> </li> </ul> </li> </ul> <h3 id="wordnet">WordNet</h3> <ul> <li>1993, George A. Miller z Princetonu</li> <li>rozsáhlá lexikální databáze anglických slov</li> <li>obsahuje podstatná a přídavná jména, slovesa a příslovce <ul> <li>seskupená do množin synonym, tzv. synonymických řad nebIoli synsetů</li> </ul> </li> <li>každý synset vyjadřuje určitý koncept (všechna slova v synsetu mají stejný význam) <ul> <li>mezi sebou jsou navzájem propojeny sémantickými a lexikálními relacemi</li> <li>sítí je možno procházet v prohlížeči, nicméně vznikala hlavně ručně veřejný, možné stáhnout dnes ještě víc hesel, než j uvedeno na slidu</li> </ul> </li> <li>ve verzi \(3.0\) - téměř 155000 hesel a 117000 synsetů</li> </ul> <p>Z příkladu mi přijde, že to vypadá jako takový výkladový slovník - k danému slovu to vypisuje určité jeho významy. Pro dané významy to vypíše slovní popis, příklad a seznam synonym. Co z toho dělá sémantickou sit’ je asi to, že to tvoří vnitřní strukturu (ostatní pojmy fungují jako odkazy), kterou lze procházet a jsou tam zaznamenány i různé relace nadřazenosti/ podřazenosti/ býti částí apod.</p> <h4 id="eurowordnet">EuroWordNet</h4> <ul> <li>1997, prof. Vossen z Amsterdamu</li> <li>rozšíření WordNetu do více jazyků <ul> <li>nejdříve přidány holandština, italština a španělština</li> <li>později francouzština, němčina, čeština a estonština)</li> </ul> </li> <li>oproti původnímu WordNetu zavedeny změny: <ul> <li>byla zavedena vrcholová ontologie (množina 63 nejzákladnějších výrazů (konceptů), nezávislých na jazyku) <ul> <li>protože tam bylo více jazyků</li> </ul> </li> <li>ke každému jazyku pak bylo vybráno 1000 základních konceptů tvořících jádra sítí slov, jazykově závislé</li> <li>v Aj WordNetu získal každý synset jednoznačný identifikátor, díky kterému vznikl mezi-jazykový index (Inter-Lingual Index, ILI), jazykově nezávislý soubor indexů. Pak byly na sebe různojazyčné WordNety navázány a vznikly vztahy ekvivalence (<code class="language-plaintext highlighter-rouge">EQ-relations</code>)</li> </ul> </li> </ul> <h4 id="aplikace-wordnetu">Aplikace WordNetu</h4> <ul> <li>Automatický překlad - může fungovat jako slovník <ul> <li>Jednak může pomáhat v počítačem asistovaném překladu (Computer Aided Translation). Překladatel si v něm může hledat významy slov, jejich synonyma, antonyma, příklady použití, slova odvozená apod.</li> <li>Jednak společně s morfologickou a syntaktickou analýzou může díky tomu, že ukládá valenční rámce pro slovesa, sloužit k automatickému strojovému překladu (2 paralelní WordNety)</li> </ul> </li> <li>IE - Extrakce informací <ul> <li>umožňuje pracovat se sémantickými vztahy (zejména synonymie)</li> <li>může sloužit při vícejazyčném vyhledávání</li> </ul> </li> <li>Určování významů slov (Word Sense Disambiguation) <ul> <li>zachycuje více významů slov - zdroj dat pro rozpoznávání jednotlivých významů</li> <li>lze zavést klasifikační funkci pro rozhodnutí, o který jde, nebo podle příkladů rozhodnout</li> </ul> </li> <li>Reprezentace znalostí, odvozování využívající významů slov, vztah k sémantickému Webu</li> <li>Vyhodnocování kvality překladu (zlepšení automatických metrik typu BLEU) <ul> <li>BLEU selhává u použití synonym, která nejsou v referenčním překladu</li> </ul> </li> </ul> <h4 id="problémy-sémantických-sítí">Problémy sémantických sítí</h4> <ul> <li>cizojazyčné WordNety vznikaly především jako překlad toho anglického, tedy nezachycují typické vlastnosti jazyků</li> <li>také vzniklo mnoho chyb a nekonzistencí</li> <li>projekty přestaly být financovány a přestaly se rozvíjet</li> <li>podobných výsledků (a lepších, rychlejších, s méně úsilím) Ize dnes dosahovat pomocí statistických metod</li> <li>obecně v době Googlu apod. některé projekty jako je WordNet už nemají tak dobrý smysl</li> </ul> <h4 id="reprezentace-významu-věty">Reprezentace významu věty</h4> <ul> <li><strong>predikátová logika 1. řádu</strong></li> <li> <ul> <li>se přidávají nové vlastnosti</li> </ul> </li> <li>konstruuje logické formule z jednotlivých výrazů věty na základě principu kompozicionality <ul> <li>jednotlivým složkám věty náleží odpovídající části sémantického zápisu</li> </ul> </li> </ul> <table> <tbody> <tr> <td>Alík skáče.</td> <td>\(\exists x: x=Alík \land jump(Alík)\)</td> </tr> <tr> <td>Všichni psi skáčou.</td> <td>\(\forall x: dog(x) \rightarrow jump(x)\)</td> </tr> <tr> <td>Každý student podepsal petici.</td> <td>\(\forall x: student(x) \rightarrow \exists y: petition(y) \land sign(x, y)\)</td> </tr> <tr> <td>Petici podepsal každý student.</td> <td>\(\exists y: petition(y) \land \forall x \rightarrow student(x) \land sign(x, y)\)</td> </tr> </tbody> </table> <ul> <li><strong>problémy:</strong> <ul> <li>modalita, čas a postoj - kvůli nim jsou potřeba nové operátory, které mají jako argumenty formule <ul> <li>\(possible(F)\), \(necessary(F)\), \(believe(x, F)\), \(true\_at\_some\_time\_in\_the\_future(F)\)</li> </ul> </li> <li>presupozice - předpoklad, který musí být pravdivý, aby celá věta vůbec měla pravdivostní hodnotu <ul> <li>Jupiterův měsíc ma oranžové pruhy. - Jupiter musí mít právě jeden měsíc.</li> </ul> </li> <li>neurčitost (fuzziness) - nevystačíme s T/F hodnotami, potřebujeme jemnější dělení <ul> <li>Pavel je mladý. Většina špičkových sportovců dopuje.</li> </ul> </li> </ul> </li> <li>dobře popsaný systém, umíme s ním pracovat, ale neadekvátní</li> <li> <p>popíše dobře jen jednoduché věty</p> </li> <li>jakmile začneme predikátovou logiku rozšiřovat, musíme rozlišovat mezi funkcí a její hodnotou</li> </ul> <blockquote> <p>Cena Big Macu je 20 Kč. vs Myslím, že cena Big Macu je 20 Kč.</p> </blockquote> <p>Vlevo můžeme nahradit výraz “Cena Big Macu” jeho hodnotou 90 Kč, dostaneme FALSE, ale vpravo nelze nahrazení provést (není to ekvivalentní tvrzení).</p> <h4 id="intenze-výrazu">Intenze výrazu</h4> <ul> <li>samotný popis, charakteristika</li> <li>intenzí pojmu čtverec je pravoúhlost a stejná délka stran</li> <li>je to výraz sám o sobě</li> </ul> <h5 id="extenze-výrazu">Extenze výrazu</h5> <ul> <li>souhrn věcí, které pod pojem spadají</li> <li>Základní přístupy k sémantice</li> </ul> <h5 id="základní-přístupy-k-sémantice">Základní přístupy k sémantice</h5> <ul> <li><strong>Modelově-teoretická sémantika</strong> <ul> <li>pracuje s pravdivostními podmínkami vztaženými k určitému modelu.</li> <li>reprezentantem je montagueovská gramatika: <ul> <li>syntaktické kategorie odpovídají sémantickým typům.</li> <li>obsahuje základní (lexikální) výrazy a jejich interpretaci, syntaktická a sémantická pravidla.</li> </ul> </li> </ul> </li> <li><strong>Kompozicionální sémantika</strong> <ul> <li>vychází z principu kompozicionality.</li> <li>používá různé reprezentace <ul> <li>sémantické rysy a jejich skládání</li> <li>koncepty a převod (překlad) ze syntaktické reprezentace</li> <li>logickou reprezentaci a zjišťování pravdivosti</li> </ul> </li> </ul> </li> <li><strong>Montagueovská gramatika</strong> <ul> <li>původně Universal Grammar americký logik Richard Montague (1930-1971), srozumitelně vyložená Barbarou H. Partee</li> <li>teorie sémantiky přirozeného jazyka</li> <li>založena na formální logice, zvláště na lambda kalkulu a teorii množin</li> <li>používá pojmy intenzionální logiky a teorie typů</li> <li>vychází z předpokladu, že neexistuje žádný zvláštní rozdíl mezi sémantikou přirozených a formálních jazyků (článek “The Proper Treatment of Quantification on Ordinary English” (1973))</li> <li>první rozsáhlý pokus systematicky popsat sémantiku přirozeného jazyka <ul> <li>logici před Montaguem považovali přirozený jazyk za příliš mnohoznačný a nestrukturovaný pro formání logickou analýzu, zatímco lingvisté měli pocit, že formální jazyky nejsou schopny zachytit strukturu jazyků přirozených</li> </ul> </li> <li>sémantická pravidla úzce svázaná se syntaktickými (ale je to sémantická teorie, ne syntaktická (i když má v názvu slovo gramatika))</li> <li>obsahuje sadu syntaktických kategorií <ul> <li>kategorie tvaru X/Y</li> <li>postupným budováním kategorií lze použít i na velmi složité věty <ul> <li>nekonečně mnoho možných kategorií - Ize použít libovolný počet lomítek pro nové kategorie</li> </ul> </li> </ul> </li> <li>pro každou kategorii má množinu konkrétních slov</li> <li>dále obsahuje syntaktická pravidla pro slova z těchto kategorií. podobné teorii valenčních rámců</li> </ul> </li> </ul> <h4 id="til-transparentní-intenzionální-logika">TIL (Transparentní intenzionální logika)</h4> <ul> <li>reaguje na fakt, že predikátový kalkul 1. řádu, který stále mnoho teorií používá k popisu významu jazykových výrazů, nedostačuje - intenzionální logika je vhodnější</li> <li>je založen na modifikaci typovaného lambda kalkulu nemá vlastní logické spojky, kvantifikátory apod.</li> <li>je transparentní systém - formální aparát reprezentující způsoby, jakými jsou konstruovány objekty, nejsou pro TIL předmětem studia, pouze prostředkem ke studiu těchto konstrukcí</li> <li>nepreferuje jistá vybraná slova jako tzv. logická slova (logické spojky, kvantifikátory apod.), jež by určovala charakter logiky</li> <li>TIL aplikována na analýzu přirozeného jazyka se stává sémantikou založenou na pojmu <strong>možných světů</strong></li> <li>univerzum je v TIL chápáno jako množina společná všem možným světům, kromě možných světů se neuvažuje o tzv. možných individuích</li> <li>v příkladu - nálepka individua (Alena), individuální koncept (ministr zahraničí)</li> </ul> <p>\(\tau\), \(\omega\) - reference k danému času a světu \(\Lambda \tau \ldots\) - možný čas \(\Lambda \omega \ldots\) - možný svět</p> <ul> <li>populární v Brně - pomocí TIL se tam snaží propojit syntaktickou a sémantickou analýzu</li> </ul> <h5 id="rozpoznávání-vztahů-v-textu">Rozpoznávání vztahů v textu</h5> <ul> <li>Pochopení smyslu textu je ještě těžší než smyslu věty. Problém je, že věty v textu na sebe navazují a odkazují se (např. nevyjádřeným podmětem).</li> <li><strong>Anafora</strong> <ul> <li>(slovo anafora má dva různé významy, třeba rozlišovat)</li> <li>výraz, jehož interpretace závisí na kontextu</li> <li>nemůžeme pracovat se samostatnými slovy, ale i s celou větou</li> <li><strong>Exofora</strong> - odkazování mimo text, zájmeno poukazuje k mimotextové situaci či skutečnostem <blockquote> <p>Vidíš ho? Dejte mi, prosím, tyhle tři.</p> </blockquote> </li> <li><strong>Endofora</strong> - odkazování v rámci textu <ul> <li>Anafora - zpětně <blockquote> <p>Petr se seznámil se sympatickou dívkou. Pozval ji do kina.<br /> Petr vyzradil tajemství. To neměl dělat.</p> </blockquote> </li> </ul> </li> <li><strong>Katafora</strong> - dopředu <ul> <li>nepříliš časté, \(v\) románech \(k\) vybudování napětí <blockquote> <p>Když se zlobí, není s Petrem žádná řeč.</p> <p>Věřte tomu nebo ne, máme schodkový rozpočet.</p> <p>Vyšel jsem z domu. Věděl jsem, že jsem sledován. Když jsem se zastavil, zastavil se \(i\) on. Když jsem se ohlédl, dělal, že lelkuje. Měl na sobě stejný šedý kabát jako vždycky. Už ho důvěrně znám, estébáka Jiřího.</p> </blockquote> </li> </ul> </li> </ul> </li> <li>anaforický vztah: <strong>předchůdce - následník</strong></li> </ul> <h4 id="typy-anaforických-vztahů">typy anaforických vztahů:</h4> <ul> <li><strong>zájmena</strong> a <strong>“nulové výrazy”</strong> <ul> <li>nevyjádřený podmět nebo jiný větný člen</li> <li>s těmi se paradoxně pracuje lépe <ul> <li>ze syntaktického stromu poznáme, že chybí podmět \(\rightarrow\) sáhneme do předchozí věty <blockquote> <p>Petr si koupil vstupenku. Vsunul ji do kapsy. Byla děravá.</p> </blockquote> </li> </ul> </li> </ul> </li> <li>určité <strong>jmenné skupiny</strong> <ul> <li>Elektronický zesilovač Tesla vs. Toto zařízení…</li> <li>v systému MOSAIC nejsou tyto vztahy zachyceny</li> <li>museli bychom vědět, že zesilovač je zařízení</li> </ul> </li> <li><strong>elipsa</strong> <ul> <li>vypuštěné části výrazů na základě paralelismu s předchůdcem</li> <li>vynechání části věty obsahující informaci, která je příjemci známa a bez níž větu dokáže pochopit</li> <li>jmenná vs. slovesná <blockquote> <p>Včera jsem šel pěšky. Kam? Domů.<br /> Petr přinesl dva stoly. Dřevěný a kovový.<br /> Petra půjde do kina. Jirka taky.</p> </blockquote> </li> </ul> </li> <li>textové <strong>spojovací výrazy</strong> <ul> <li>výrazy vyjadřující mezivětné souvislosti v textu</li> <li>souřadicí a podřadící spojky, výrazy jako například, na jedné straně - na druhé straně, jednak - jednak, nejdříve - potom apod.</li> <li>je třeba závorkovat, odkud kam to patří k výrazu</li> </ul> </li> </ul> <h4 id="důležitost-pro-aplikace">důležitost pro aplikace:</h4> <ul> <li>získávání informací z textu <blockquote> <p>Škoda představila nový model Octavie. Jde o pětidvéřové kombi, které má …</p> </blockquote> </li> <li>automatický překlad <blockquote> <p>Otevřenou tabulku upravte podle potřeby. Uložte ji pomocí ikony v panelu nástrojů.</p> </blockquote> </li> <li>dialogové systémy <blockquote> <p>Kdy jede nejbližší vlak do Ostravy? Má jídelní vůz?</p> </blockquote> </li> <li><strong>řešení anafory:</strong> <ul> <li>je nutné využít celou řadu informací: <ul> <li>morfologické značky <ul> <li>např. u zájmen musí být shoda v rodě</li> </ul> </li> <li>syntaktická struktura věty <ul> <li>pomůže určit vhodné kandidáty na předchůdce</li> <li>valenční informace umožní doplnit elipsu</li> </ul> </li> <li>statistické přístupy <ul> <li>pravděpodobnost výběru některého z určených kandidátů</li> </ul> </li> <li>aktuální členění <ul> <li>témata zmíněna v základu a v ohnisku věty (na začátku a uprostřed) jsou odkazována různými způsoby - využito v algoritmu Zásoby sdílených znalostí</li> </ul> </li> <li>rozsáhlé pomocné znalosti <ul> <li>ontologie, sémantické sítě, tezaury apod.</li> </ul> </li> </ul> </li> </ul> </li> </ul> <h4 id="zásoba-sdílených-znalostí">Zásoba sdílených znalostí</h4> <ul> <li>od 80. let</li> <li>prof. Hajičová a prof. Vrbová (?)</li> <li>Stock of Shared Knowledge</li> <li>modeluje zásobu znalostí, o které mluvčí předpokládá, že ji sdílí s posluchačem <ul> <li>tato zásoba se mění v souladu s tím, co je “v centru pozornosti” \(v\) daném časovém okamžiku</li> </ul> </li> <li>každá věta má vliv na tuto “hierarchii sdílení”, avšak ne každý zmíněný objekt má stejný účinek několik jednoduchých pravidel pro určení stupně sdílení čím nižší číslo, tím aktivovanější <ul> <li>v ohnisku - dostane 0</li> <li>v jádru - 1</li> </ul> </li> <li>pokud není slovo zmíněno ani asociováno v další větě, postupně zapomínáme (+2) až úplně zapomeneme</li> <li>pr. The school garden was full of children. … <ul> <li>parents asociováno s children, dostane \(0+2=2\) ( 0 za children)</li> </ul> </li> <li>slabiny <ul> <li>množina asociovaných termínů <ul> <li>vybrané jen některé, může jich být více</li> <li>nikdy nevíme dopředu, jaké termíny se objeví</li> </ul> </li> <li>nevíme, jestli zrovna +2 je správné (proč ne třeba +1, +3?)</li> </ul> </li> <li>dalo práci vymyslet příklad, na kterém vše dobře sedělo</li> <li>dobrá myšlenka, ale špatné automatické zpracování <ul> <li>nějakou dobu na tom pracoval Tom Holan</li> </ul> </li> </ul> <h2 id="skryté-markovské-modely">Skryté markovské modely</h2> <ul> <li><strong>Hidden Markov Model</strong> - HMM</li> <li>aplikace <ul> <li>analýza řečových signálů - 1. využití</li> <li>morfologické značkování</li> <li>rozpoznávání značek aut</li> </ul> </li> <li>máme přirozenou sekvenci - znaků, slov, … <ul> <li>závislé, nějak uspořádané</li> </ul> </li> <li>Markovova hypotéza <ul> <li>pracuje jen s omezeným kontextem - stačí pro dostatečně dobré výsledky <ul> <li>max. bigramy nebo trigramy</li> </ul> </li> <li>ve skutečnosti mohou být související slova od sebe libovolně daleko</li> </ul> </li> <li>proč skryté? Snažíme se používat na jevy, které nevíme…</li> <li>jednoduchá realizace <ul> <li>pravděpodobnostní konečné automaty</li> </ul> </li> <li>pravděpodobnosti přechodu mezi stavy <ul> <li>součet čísel vycházející z jednoho vrcholu \(= 1\)</li> </ul> </li> </ul> <h3 id="3-úkoly">3 úkoly</h3> <ul> <li>určení s jakou pravděpodobností mohla být pozorována nějaká značka</li> <li><strong>dekódování</strong> - hádání nejpravd. posloupnosti skrytých stavů <ul> <li>př. hádání nejpravděpodobnější posloupnosti morfologických značek nad slovy ve větě <ul> <li>nejprve učení (máme daný model, který ho naučíme)</li> </ul> </li> </ul> </li> <li><strong>naučení se statistického modelu</strong> <ul> <li>učení - # skrytých stavů - všechny možné stavy <ul> <li>trénovací množina <ul> <li>např. slova + konkrétní morfologické značky <ul> <li>počet možných stavů dán počtem všech možných značek</li> </ul> </li> </ul> </li> <li>najde pravděpodobnosti přechodů a jednotlivých stavů</li> </ul> </li> </ul> </li> </ul> <h3 id="dekódování">Dekódování</h3> <ul> <li>graf - hledání nejpravd. posloupnosti je vlastně hledání nejkratší cesty v grafu (pravd. jsou ohodnocení hran)</li> <li>matice - # stavů * # pozorování <ul> <li>se všemi možnými přechody a jejich pravd. (někde může být i pravd. 0)</li> </ul> </li> <li>angličtina vhodnější než čeština - méně morfologických značek <ul> <li>u př. značky z PennTreebank - stavy jsou značky, pozorování jsou slova</li> <li>(pro češtinu se u korpusu využívá něco přes 1000 různých značek)</li> </ul> </li> <li>Viterbiho alg. - pro bigramy - \(v\) kvadr. čase \(v\) závislosti na velikosti vstupu <ul> <li>poměrně efektivní</li> <li>pomocí něj se hledá nejpravděpodobnější posloupnost</li> </ul> </li> </ul> https://blackblog.cz/haskell-cheatscheet/ 2022-09-13T00:00:00+02:00 2022-09-13T00:00:00+02:00 Jan Černý <div class="code-no-err"> <h2 id="aritmetika">Aritmetika</h2> <table> <tbody> <tr> <td><strong>div</strong> :: Integral a ⇒ a → a → a</td> <td><code class="code-display">div dělenec dělitel</code><br /><code class="code-display">dělenec `div` dělitel</code></td> <td>dělení</td> </tr> <tr> <td><strong>mod</strong> :: Integral a ⇒ a → a → a</td> <td><code class="code-display">mod modulený modulitel</code><br /><code class="code-display">modulený `mod` modulitel</code></td> <td>modulo</td> </tr> <tr> <td><strong>+</strong> :: Num a ⇒ a → a → a</td> <td><code class="code-display">prvníSčítanec + druhýSčítanec</code><br /><code class="code-display">(+) prvníSčítanec druhýSčítanec</code></td> <td>sčítání</td> </tr> <tr> <td><strong>-</strong> :: Num a ⇒ a → a → a</td> <td><code class="code-display">menšenec - menšitel</code><br /><code class="code-display">(-) menšenec menšitel</code></td> <td>odčítání</td> </tr> <tr> <td><strong>*</strong> :: Num a ⇒ a → a → a</td> <td><code class="code-display">prvníČinitel * druhýČinitel</code><br /><code class="code-display">(*) prvníČinitel druhýČinitel</code></td> <td>násobení</td> </tr> <tr> <td><strong>max</strong> :: Ord a ⇒ a → a → a</td> <td><code class="code-display">max prvníČíslo druhéČíslo</code><br /><code class="code-display">prvníČíslo `max` druhéČíslo</code></td> <td>maximum ze dvou čísel</td> </tr> <tr> <td><strong>min</strong> :: Ord a ⇒ a → a → a</td> <td><code class="code-display">min prvníČíslo druhéČíslo</code><br /><code class="code-display">prvníČíslo `max` druhéČíslo</code></td> <td>minimum ze dvou čísel</td> </tr> </tbody> </table> <h2 id="aritmetika-na-seznamech">Aritmetika na seznamech</h2> <table> <tbody> <tr> <td><strong>sum</strong> :: (Num a) ⇒ [a] → a</td> <td><code class="code-display">sum seznam</code></td> <td>suma všech prvků v seznamu</td> </tr> <tr> <td><strong>product</strong> :: (Num a) ⇒ [a] → a</td> <td><code class="code-display">product seznam</code></td> <td>produkt všech prvků v seznamu</td> </tr> <tr> <td><strong>maximum</strong> :: (Ord a) ⇒ [a] → a</td> <td><code class="code-display">maximum seznam</code></td> <td>maximum ze seznamu</td> </tr> <tr> <td><strong>minimum</strong> :: (Ord a) ⇒ [a] → a</td> <td><code class="code-display">minimum seznam</code></td> <td>minimum ze seznamu</td> </tr> <tr> <td><strong>and</strong> :: [Bool] → Bool</td> <td><code class="code-display">and seznam</code></td> <td>vrátí <code class="language-plaintext highlighter-rouge">True</code> pokud všechny prvky seznamu jsou <code class="language-plaintext highlighter-rouge">True</code></td> </tr> <tr> <td><strong>or</strong> :: [Bool] → Bool</td> <td><code class="code-display">or seznam</code></td> <td>vrátí <code class="language-plaintext highlighter-rouge">True</code> pokud alespoň jeden prvek ze seznamu je <code class="language-plaintext highlighter-rouge">True</code></td> </tr> </tbody> </table> <h2 id="logika">Logika</h2> <table> <tbody> <tr> <td><strong>&lt;</strong> :: Ord a ⇒ a → a → Bool</td> <td><code class="code-display">prvníČíslo &lt; druhéČíslo</code><br /><code class="code-display">(&lt;) prvníČíslo druhéČíslo</code></td> <td>menší než</td> </tr> <tr> <td><strong>&lt;=</strong> :: Ord a ⇒ a → a → Bool</td> <td><code class="code-display">prvníČíslo &lt;= druhéČíslo</code><br /><code class="code-display">(&lt;=) prvníČíslo druhéČíslo</code></td> <td>menší rovno</td> </tr> <tr> <td><strong>&gt;</strong> :: Ord a ⇒ a → a → Bool</td> <td><code class="code-display">prvníČíslo &gt; druhéČíslo</code><br /><code class="code-display">(&gt;) prvníČíslo druhéČíslo</code></td> <td>větší než</td> </tr> <tr> <td><strong>&gt;=</strong> :: Ord a ⇒ a → a → Bool</td> <td><code class="code-display">prvníČíslo &gt;= druhéČíslo</code><br /><code class="code-display">(&gt;=) prvníČíslo druhéČíslo</code></td> <td>větší rovno</td> </tr> <tr> <td><strong>==</strong> :: Ord a ⇒ a → a → Bool</td> <td><code class="code-display">a == b</code><br /><code class="code-display">(==) a b</code></td> <td>rovná se</td> </tr> <tr> <td><strong>/=</strong> :: Ord a ⇒ a → a → Bool</td> <td><code class="code-display">a /= b</code><br /><code class="code-display">(/=) a b</code></td> <td>nerovná se</td> </tr> <tr> <td><strong>&amp;&amp;</strong> :: Bool → Bool → Bool</td> <td><code class="code-display">a &amp;&amp; b</code><br /><code class="code-display">(&amp;&amp;) a b</code></td> <td>logické a</td> </tr> <tr> <td><strong>||</strong> :: Bool → Bool → Bool</td> <td><code class="code-display">a &vert;&vert; b</code><br /><code class="code-display">(&vert;&vert;) a b</code></td> <td>logické nebo</td> </tr> <tr> <td><strong>even</strong> :: Integral a ⇒ a → Bool</td> <td><code class="code-display">even číslo</code></td> <td>je sudé</td> </tr> <tr> <td><strong>odd</strong> :: Integral a ⇒ a → Bool</td> <td><code class="code-display">odd číslo</code></td> <td>je liché</td> </tr> </tbody> </table> <h2 id="logika-na-seznamech">Logika na seznamech</h2> <table> <tbody> <tr> <td><strong>fst</strong> :: (a,b) → a</td> <td><code class="code-display">fst dvojice</code></td> <td>vrátí první prvek z <code class="language-plaintext highlighter-rouge">dvojice</code></td> </tr> <tr> <td><strong>snd</strong> :: (a,b) → a</td> <td><code class="code-display">snd dvojice</code></td> <td>vrátí druhý prvek z <code class="language-plaintext highlighter-rouge">dvojice</code></td> </tr> <tr> <td><strong>all</strong> :: (a → Bool) → [a] → Bool</td> <td><code class="code-display">all funkcePodmínka seznam</code></td> <td>vrátí <code class="language-plaintext highlighter-rouge">True</code> pokud pro všechny prvky seznamu vrátí <code class="language-plaintext highlighter-rouge">funkcePodmínka</code> <code class="language-plaintext highlighter-rouge">True</code> (<code class="language-plaintext highlighter-rouge">all odd [1,3..100] = True</code>)</td> </tr> <tr> <td><strong>any</strong> :: (a → Bool) → [a] → Bool</td> <td><code class="code-display">any funkcePodmínka seznam</code></td> <td>vrátí <code class="language-plaintext highlighter-rouge">True</code> pokud pro alespoň jeden prvek v seznamu vrátí <code class="language-plaintext highlighter-rouge">funkcePodmínka</code> <code class="language-plaintext highlighter-rouge">True</code> (<code class="language-plaintext highlighter-rouge">any even [1..100] = True</code>)</td> </tr> </tbody> </table> <h2 id="operace-se-seznamy">Operace se seznamy</h2> <table> <tbody> <tr> <td><strong>reverse</strong> :: [a] → [a]</td> <td><code class="code-display">reverse seznam</code><br /><code class="code-display">reverse string</code></td> <td>vrátí seznam v opačném pořadí</td> </tr> <tr> <td><strong>concat</strong> :: [[a]] → [a]</td> <td><code class="code-display">concat seznamSeznamu</code><br /><code class="code-display">concat seznamStringů</code></td> <td>slepí seznamy v seznamu do jednoho seznamu</td> </tr> <tr> <td><strong>++</strong> :: [a] → [a] → [a]</td> <td><code class="code-display">prvníSeznam ++ druhýSeznam</code><br /><code class="code-display">prvníString ++ druhýString</code></td> <td>připojí <code class="language-plaintext highlighter-rouge">druhýSeznam</code> za <code class="language-plaintext highlighter-rouge">prvníSeznam</code></td> </tr> <tr> <td><strong>!!</strong> :: [a] → Int → a</td> <td><code class="code-display">seznam !! n</code></td> <td>vrátí <code class="language-plaintext highlighter-rouge">n</code>-tý prvek seznamu</td> </tr> <tr> <td><strong>length</strong> :: [a] → Int</td> <td><code class="code-display">length seznam</code></td> <td>vrátí počet prvků v seznamu</td> </tr> <tr> <td><strong>head</strong> :: [a] → a</td> <td><code class="code-display">head seznam</code></td> <td>vrátí první prvek seznamu (nefunguje na prázdných seznamech)</td> </tr> <tr> <td><strong>tail</strong> :: [a] → [a]</td> <td><code class="code-display">tail seznam</code></td> <td>vrátí seznam bez prvního prvku (nefunguje na prázdných seznamech)</td> </tr> <tr> <td><strong>init</strong> :: [a] → [a]</td> <td><code class="code-display">init seznam</code></td> <td>vrátí seznam bez posledního prvku (nefunguje na prázdných seznamech)</td> </tr> <tr> <td><strong>last</strong> :: [a] → a</td> <td><code class="code-display">last seznam</code></td> <td>vrátí poslední prvek v seznamu (nefunguje na prázdných seznamech)</td> </tr> <tr> <td><strong>null</strong> :: [a] → Bool</td> <td><code class="code-display">null seznam</code></td> <td>vrátí <code class="language-plaintext highlighter-rouge">True</code> pokud je seznam prázdný</td> </tr> <tr> <td><strong>id</strong> :: a → a</td> <td><code class="code-display">id a</code></td> <td>identita = vrátí to co dostane</td> </tr> <tr> <td><strong>replicate</strong> :: Int → a → [a]</td> <td><code class="code-display">replicate n prvek</code></td> <td>vrátí seznam obsahující <code class="language-plaintext highlighter-rouge">prvek</code> <code class="language-plaintext highlighter-rouge">n</code>krát</td> </tr> </tbody> </table> <h2 id="azen-seznam">Řazení seznamů</h2> <table> <tbody> <tr> <td><strong>compare</strong> :: Ord a ⇒ a → a → Ordering</td> <td><code class="code-display">compare a b</code></td> <td>vrátí výsledek porovnání <code class="language-plaintext highlighter-rouge">a</code> a <code class="language-plaintext highlighter-rouge">b</code></td> </tr> <tr> <td><strong>sort</strong> :: (Ord a) ⇒ [a] → [a]</td> <td><code class="code-display">sort seznam</code></td> <td>seřadí seznam</td> </tr> <tr> <td><strong>sortBy</strong> :: (a → a → Ordering) → [a] → [a]</td> <td><code class="code-display">sortBy funkceCoPorovnává seznam</code></td> <td>setřídí seznam podle <code class="language-plaintext highlighter-rouge">funkceCoPorovnává</code></td> </tr> <tr> <td><strong>sortOn</strong> :: Ord b ⇒ (a → b) → [a] → [a]</td> <td><code class="code-display">sortOn převodníFunkce seznam</code></td> <td>seřadí seznam podle porovnání výsledků <code class="language-plaintext highlighter-rouge">převodníFunkce</code></td> </tr> </tbody> </table> <h2 id="dal-funkce">Další funkce</h2> <table> <tbody> <tr> <td><strong>takeWhile</strong> :: (a→Bool) → [a] → [a]</td> <td><code class="code-display">takeWhile funkcePodminka seznam</code></td> <td>Vrátí seznam prvků, které se nachází na začátku seznamu <code class="language-plaintext highlighter-rouge">seznam</code> a <code class="language-plaintext highlighter-rouge">funkcePodminka</code> na ně vrací <code class="language-plaintext highlighter-rouge">True</code></td> </tr> <tr> <td><strong>dropWhile</strong> :: (a→Bool) → [a] → [a]</td> <td><code class="code-display">dropWhile funkcepodminka senznam</code></td> <td>Vrátí doplněk výstupu <code class="language-plaintext highlighter-rouge">takeWhile</code> se stejnými parametry</td> </tr> <tr> <td><strong>zip</strong> :: [a] → [b] → [(a,b)]</td> <td><code class="code-display">zip prvníSeznam druhýSeznam</code></td> <td>Vrátí seznam dvojic (tuplů), kde je společně n-tý prvek <code class="language-plaintext highlighter-rouge">prvníSeznam</code> a n-tý prvek z <code class="language-plaintext highlighter-rouge">druhýSeznam</code></td> </tr> <tr> <td><strong>zipWith</strong> :: (a → b → c) → [a] → [b] → [c]</td> <td><code class="code-display">zip funkce prvníSeznam druhýSeznam</code></td> <td>Vrátí seznam, jehož prvky jsou výstupy <code class="language-plaintext highlighter-rouge">funkce</code> jejíž paramtery byli n-té prvky seznamů <code class="language-plaintext highlighter-rouge">prvníSeznam</code> a <code class="language-plaintext highlighter-rouge">druhýSeznam</code></td> </tr> <tr> <td><strong>take</strong> 3 “abcde” = “abc”</td> <td><code class="code-display">take n senzam</code></td> <td>vrátí <code class="language-plaintext highlighter-rouge">seznam</code> obsahující prvních <code class="language-plaintext highlighter-rouge">n</code> prvků ze <code class="language-plaintext highlighter-rouge">seznam</code></td> </tr> <tr> <td><strong>drop</strong> :: Int → [a] → [a]</td> <td><code class="code-display">drop n seznam</code></td> <td>vrátí <code class="language-plaintext highlighter-rouge">seznam</code> bez prvních <code class="language-plaintext highlighter-rouge">n</code> prvků</td> </tr> <tr> <td><strong>splitAt</strong> :: Int → [a] → ([a], [a])</td> <td><code class="code-display">splitAt n seznam</code></td> <td>vrátí dvojici seznamů <code class="language-plaintext highlighter-rouge">a</code> a <code class="language-plaintext highlighter-rouge">b</code>, kdy <code class="language-plaintext highlighter-rouge">a</code> obsahuje prvních <code class="language-plaintext highlighter-rouge">n</code> prvků ze <code class="language-plaintext highlighter-rouge">seznam</code> a <code class="language-plaintext highlighter-rouge">b</code> je deplněk <code class="language-plaintext highlighter-rouge">a</code> na <code class="language-plaintext highlighter-rouge">seznam</code></td> </tr> <tr> <td><strong>elem</strong> :: (Eq a) ⇒ a → [a] → Bool</td> <td><code class="code-display">elem a seznam</code></td> <td>vrátí <code class="language-plaintext highlighter-rouge">True</code> pokud se prvek nachází v seznamu</td> </tr> </tbody> </table> <h2 id="dleit-funkce-vyho-du">Důležité funkce vyššího řádu</h2> <table> <tbody> <tr> <td><strong>map</strong> :: (a → b) → [a] → [b]</td> <td><code class="code-display">map funkce seznam</code></td> <td>vrátí seznam výstupů funkce <code class="language-plaintext highlighter-rouge">funkce</code> pro jednotlivé prvky v <code class="language-plaintext highlighter-rouge">seznam</code></td> </tr> <tr> <td><strong>foldr</strong> :: (a → b → b) → b → [a] → b</td> <td><code class="code-display">foldr funkce akumulátor seznam</code></td> <td>projde všechny prvky v seznamu <code class="language-plaintext highlighter-rouge">seznam</code> zleva do prava aplikuje na ně funkci <code class="language-plaintext highlighter-rouge">funkce</code> a vrátí výsledek</td> </tr> <tr> <td><strong>scanr</strong> :: (a → b → b) → b → [a] → [b]</td> <td><code class="code-display">?</code></td> <td>foldr, co vrací seznam všech mezivýsledků</td> </tr> <tr> <td><strong>filter</strong> :: (a → Bool) → [a] → [a]</td> <td><code class="code-display">filter funkcePodminka seznam</code></td> <td>vrátí seznam obsahující prvky z <code class="language-plaintext highlighter-rouge">seznam</code> pro které <code class="language-plaintext highlighter-rouge">funkcepodmínka</code> vrátila <code class="language-plaintext highlighter-rouge">True</code></td> </tr> <tr> <td><strong>foldl</strong> :: (a → b → a) → a → [b] → a</td> <td><code class="code-display">foldl funkce akumulátor seznam</code></td> <td>projde všechny prvky v seznamu <code class="language-plaintext highlighter-rouge">seznam</code> zprava doleva aplikuje na ně funkci <code class="language-plaintext highlighter-rouge">funkce</code> a vrátí výsledek</td> </tr> <tr> <td><strong>scanl</strong> :: (b → a → b) → b → [a] → [b]</td> <td><code class="code-display">?</code></td> <td>foldl, co vrací seznam všech mezivýsledků</td> </tr> </tbody> </table> </div> https://blackblog.cz/vyrokova-a-predikatova-logika/ 2022-09-04T00:00:00+02:00 2022-09-04T00:00:00+02:00 Jan Černý <p>Tento článek je stále nedokončený <del>může obsahovat</del> obsahuje spoustu chyb. Pokud naleznete nějakou chybu, můžete jí opravit pomocí tlačítka edit.</p> <ul id="markdown-toc"> <li><a href="#výroková-logika" id="markdown-toc-výroková-logika">Výroková logika</a> <ul> <li><a href="#převody-do-normálových-forem" id="markdown-toc-převody-do-normálových-forem">Převody do normálových forem</a></li> <li><a href="#vlastnosti-teorií" id="markdown-toc-vlastnosti-teorií">Vlastnosti teorií</a></li> <li><a href="#analýza-teorií-nad-konečně-prvovýroky" id="markdown-toc-analýza-teorií-nad-konečně-prvovýroky">Analýza teorií nad konečně prvovýroky</a></li> <li><a href="#formální-dokazovací-systémy" id="markdown-toc-formální-dokazovací-systémy">Formální dokazovací systémy</a></li> <li><a href="#tablo-důkaz" id="markdown-toc-tablo-důkaz">Tablo důkaz</a></li> <li><a href="#tablo-z-teorie" id="markdown-toc-tablo-z-teorie">Tablo z teorie</a></li> <li><a href="#tablo-důkaz-z-teorie" id="markdown-toc-tablo-důkaz-z-teorie">Tablo důkaz z teorie</a></li> <li><a href="#systematické-tablo" id="markdown-toc-systematické-tablo">Systematické tablo</a></li> </ul> </li> <li><a href="#rezoluční-metoda" id="markdown-toc-rezoluční-metoda">Rezoluční metoda.</a> <ul> <li><a href="#částečné-ohodnocení" id="markdown-toc-částečné-ohodnocení">(Částečné) ohodnocení</a></li> <li><a href="#rezoluční-strom" id="markdown-toc-rezoluční-strom">Rezoluční strom</a></li> <li><a href="#rezoluční-uzávěr" id="markdown-toc-rezoluční-uzávěr">Rezoluční uzávěr</a></li> <li><a href="#lineární-rezoluce" id="markdown-toc-lineární-rezoluce">Lineární rezoluce</a></li> <li><a href="#li-rezoluce" id="markdown-toc-li-rezoluce">LI-rezoluce</a></li> </ul> </li> <li><a href="#predikátová-logika" id="markdown-toc-predikátová-logika">Predikátová logika</a> <ul> <li><a href="#term" id="markdown-toc-term">Term</a></li> <li><a href="#atomická-formule" id="markdown-toc-atomická-formule">Atomická formule</a></li> <li><a href="#formule" id="markdown-toc-formule">Formule</a></li> <li><a href="#výskyt-proměnné" id="markdown-toc-výskyt-proměnné">Výskyt proměnné</a></li> <li><a href="#otevřená-a-uzavřená-formule" id="markdown-toc-otevřená-a-uzavřená-formule">Otevřená a uzavřená formule</a></li> <li><a href="#instance-a-substituce" id="markdown-toc-instance-a-substituce">Instance a substituce</a></li> <li><a href="#varianty" id="markdown-toc-varianty">Varianty</a></li> <li><a href="#struktura-pro-jazyk" id="markdown-toc-struktura-pro-jazyk">Struktura pro jazyk</a></li> <li><a href="#hodnota-termu" id="markdown-toc-hodnota-termu">Hodnota termu</a></li> <li><a href="#hodnota-atomické-formule" id="markdown-toc-hodnota-atomické-formule">Hodnota atomické formule</a></li> <li><a href="#platnost-při-ohodnocení" id="markdown-toc-platnost-při-ohodnocení">Platnost při ohodnocení</a></li> <li><a href="#platnost-ve-struktuře" id="markdown-toc-platnost-ve-struktuře">Platnost ve struktuře</a></li> <li><a href="#platnost-mathbfv-teorii" id="markdown-toc-platnost-mathbfv-teorii">Platnost \(\mathbf{v}\) teorii</a></li> <li><a href="#vlastnosti-teorií-1" id="markdown-toc-vlastnosti-teorií-1">Vlastnosti teorií</a></li> </ul> </li> <li><a href="#podstruktura" id="markdown-toc-podstruktura">Podstruktura.</a> <ul> <li><a href="#definovatelné-množiny" id="markdown-toc-definovatelné-množiny">Definovatelné množiny</a></li> </ul> </li> <li><a href="#tablo-metoda-v-predikátové-logice" id="markdown-toc-tablo-metoda-v-predikátové-logice">Tablo metoda v predikátové logice</a> <ul> <li><a href="#tablo-z-teorie-1" id="markdown-toc-tablo-z-teorie-1">Tablo z teorie</a></li> <li><a href="#tablo-důkaz-1" id="markdown-toc-tablo-důkaz-1">Tablo důkaz</a></li> <li><a href="#dokončené-tablo" id="markdown-toc-dokončené-tablo">Dokončené tablo</a></li> <li><a href="#konstrukce-systematického-tabla" id="markdown-toc-konstrukce-systematického-tabla">Konstrukce systematického tabla</a></li> </ul> </li> <li><a href="#axiomy-rovnosti" id="markdown-toc-axiomy-rovnosti">Axiomy rovnosti</a> <ul> <li><a href="#kongruence-a-faktostruktura" id="markdown-toc-kongruence-a-faktostruktura">Kongruence a faktostruktura</a></li> </ul> </li> <li><a href="#kanonický-model" id="markdown-toc-kanonický-model">Kanonický model</a> <ul> <li><a href="#kanonický-model-s-rovností" id="markdown-toc-kanonický-model-s-rovností">Kanonický model s rovností</a></li> <li><a href="#extenze-o-definovaný-relační-symbol" id="markdown-toc-extenze-o-definovaný-relační-symbol">Extenze o definovaný relační symbol</a></li> <li><a href="#extenze-o-definovaný-funkční-symbol" id="markdown-toc-extenze-o-definovaný-funkční-symbol">Extenze o definovaný funkční symbol</a></li> <li><a href="#extenze-o-definice" id="markdown-toc-extenze-o-definice">Extenze o definice</a></li> <li><a href="#ekvisplnitelnost" id="markdown-toc-ekvisplnitelnost">Ekvisplnitelnost</a></li> <li><a href="#vytýkání-kvantifikátorů" id="markdown-toc-vytýkání-kvantifikátorů">Vytýkání kvantifikátorů</a></li> </ul> </li> <li><a href="#skolemova-varianta" id="markdown-toc-skolemova-varianta">Skolemova varianta</a> <ul> <li><a href="#redukce-nesplnitelnosti-na-úroveň-vl" id="markdown-toc-redukce-nesplnitelnosti-na-úroveň-vl">Redukce nesplnitelnosti na úroveň VL</a></li> <li><a href="#herbrandův-model" id="markdown-toc-herbrandův-model">Herbrandův model</a></li> <li><a href="#rezoluční-metoda-v-predikátové-logice" id="markdown-toc-rezoluční-metoda-v-predikátové-logice">Rezoluční metoda \(v\) predikátové logice</a></li> <li><a href="#substituce" id="markdown-toc-substituce">Substituce</a></li> <li><a href="#unifikace" id="markdown-toc-unifikace">Unifikace</a></li> <li><a href="#obecné-rezoluční-pravidlo" id="markdown-toc-obecné-rezoluční-pravidlo">Obecné rezoluční pravidlo</a></li> </ul> </li> </ul> <h2 id="výroková-logika">Výroková logika</h2> <div class="definition-block"><p class="definition-label"><b>Definice</b></p> <h3 id="prvovýrok--atomický-výrok">Prvovýrok / atomický výrok</h3> <p>Boolovská proměnná nebo boolovská konstanta.</p> </div> <div class="definition-block"><p class="definition-label"><b>Definice</b></p> <h3 id="jazyk">Jazyk</h3> <p>Jazyk výrokové logiky je určený neprázdnou množinou výrokových prvovýroků a logické symboly (symboly pro logické spojky \(\neg\), \(\land\), \(\lor\), \(\rightarrow\), \(\leftrightarrow\) a závorky \((\), \()\)). Množina prvovýroků může být konečná nebo i nekonečná, obvykle ale bude spočetná (pokud neřekneme jinak), a bude mít dané uspořádání.</p> </div> <div class="definition-block"><p class="definition-label"><b>Definice</b></p> <h3 id="výrok-výroková-formule">Výrok (výroková formule)</h3> <p>v jazyce P je prvek množiny \(\mathrm{VF}_{\P}\) definované následovně:</p> <p>\(\mathrm{VF}_{P}\) je nejmenší množina splňující:</p> <ul> <li>pro každý prvovýrok \(p \in \P\) platí \(p \in \mathrm{VF}_{\P}\)</li> <li>pro každý výrok \(\varphi \in \mathrm{VF}_{\P}\) je (\(\neg \varphi\)) také prvek \(\mathrm{VF}_{\P}\)</li> <li>pro každé \(\varphi, \psi \in \mathrm{VF}_{\P}\) jsou (\(\varphi \land \psi\)), (\(\varphi \lor \psi\)), (\(\varphi \rightarrow \psi\)), a (\(\varphi \leftrightarrow \psi\)) také prvky \(\mathrm{VF}_{\P}\).</li> </ul> </div> <div class="definition-block"><p class="definition-label"><b>Definice</b></p> <h3 id="vytvořůjící-strom">Vytvořůjící strom</h3> <p>je konečný uspořádanýstrom, jehož vrcholy jsou označeny výroky podle následujících pravidel:</p> <ul> <li>listy a pouze listy jsou prvovýroky</li> <li>je-li vrchol označen \(\left( \neg \varphi \right)\) má jediného syna označeného \(\varphi\)</li> <li>je-li vrchol označen binárním \(\left( \varphi \land \psi \right)\), \(\left( \varphi \lor \psi \right)\), \(\left( \varphi \rightarrow \psi \right)\) nebo \(\left( \varphi \leftrightarrow \psi \right)\) má dva syny, přičemž <em>levý</em> syn je označen \(\varphi\) a <em>pravý</em> je označen \(\psi\).</li> </ul> <div class="lemma-block"><p class="lemma-label"><b>Tvrzení</b></p> <p>Každý výrok má jednoznačně určený vytvořující strom.</p> <p class="proof-label"><b>Důkaz</b></p> <p>Indukcí dle počtu vnoření závorek (odpovídající hloubce vytvořujícího stromu). Takovéto důkazy nazýváme důkazy indukcí dle struktury formule.</p> </div> </div> <div class="definition-block"><p class="definition-label"><b>Definice</b></p> <h3 id="booleovská-funkce">Booleovská funkce</h3> <p>Booleovská funkce je \(n\)-ární funkce na \(2=\{0,1\}\), tj. \(f:\{0,1\}^{n} \rightarrow\{0,1\}\).</p> </div> <div class="definition-block"><p class="definition-label"><b>Definice</b></p> <h3 id="ohodnocení">Ohodnocení</h3> <p>Ohodnocení prvovýroků je funkce \(v: \P \rightarrow\{0,1\}\), tj. \(v \in{ }^{\P} 2\).</p> </div> <div class="definition-block"><p class="definition-label"><b>Definice</b></p> <h3 id="sémantické-pojmy">Sémantické pojmy</h3> <p>Výrok \(\varphi\) je v jazyce \(\P\) (v teorii \(T\)):</p> <ul> <li><strong>pravdivý</strong> (tautologie, platí), pokud platí v každém modelu jazyka \(\P\) (teorie \(T\)), píšeme \(\models \varphi\)</li> <li><strong>lživý</strong> (sporný), pokud nemá žádný model</li> <li><strong>nezávislý</strong>, pokud platí v nějakém modelu a neplatí v nějakém jiném modelu</li> <li><strong>splnitelný</strong>, pokud platí v nějakém modelu (tedy pokud není lživý)</li> </ul> </div> <div class="definition-block"><p class="definition-label"><b>Definice</b></p> <h3 id="ekvivalence-výroků-teorií-t-ekvivalence">Ekvivalence výroků (teorií), T-ekvivalence</h3> <ul> <li>Výroky \(\varphi\), \(\psi\) jsou ekvivalentní (píšeme \(\varphi \sim \psi\)), pokud mají stejné modely. Totéž pro teorie</li> <li>Výroky \(\varphi\), \(\psi\) jsou \(\mathrm{T}\)-ekvivalentní (píšeme \(\varphi \sim_{T} \psi\)), pokud mají stejné modely v teorii \(T\).</li> </ul> </div> <div class="definition-block"><p class="definition-label"><b>Definice</b></p> <h3 id="model-jazyka">Model jazyka</h3> <p>Model ve výrokové logice je libovolné ohodnocení \(v:\P\rightarrow \{0,1\}\), které výrokovým proměnným přiřadí hodnotu <em>TRUE</em> nebo <em>FALSE</em>.</p> </div> <div class="definition-block"><p class="definition-label"><b>Definice</b></p> <h3 id="pravdivostní-funkce-výroku">Pravdivostní funkce výroku</h3> <p>Pravdivostní funkce výroku \(\varphi\) je funkce \(f_{\varphi, \P}:\{0,1\}^{\lvert\P\rvert}\rightarrow \{0,1\}\) definovaná takto:</p> <ul> <li>je-li \(\varphi\) prvovýrok \(x_{i}\) z \(\P\), pak \(f_{\varphi, \P}\left(x_{0},\ldots,x_{n-1}\right)=x_{i}\)</li> <li>je-li \(\varphi = \left(\neg\varphi'\right)\), potom \(f_{\varphi, \P}\left(x_{0},\ldots,x_{n-1}\right)=f_{\neg}\left(f_{\varphi', \P}\left(x_{0},\ldots,x_{n-1}\right)\right)\)</li> <li>je-li \(\varphi=\left(\varphi'\square\varphi''\right)\) kde \(\square \in \{ \land , \lor , \rightarrow, \leftrightarrow\}\), potom \(f_{\varphi, \P}\left(x_{0},\ldots,x_{n-1}\right)= f_{\square}\left(f_{\varphi', \P}\left(x_{0},\ldots,x_{n-1}\right), f_{\varphi'', \P}\left(x_{0},\ldots,x_{n-1}\right)\right)\)</li> </ul> </div> <div class="definition-block"><p class="definition-label"><b>Definice</b></p> <h3 id="univerzálnost-spojek">Univerzálnost spojek</h3> <p>Množina spojek je univerzální, pokud lze každou Booleovskou funkci reprezentovat nějaký z nich (dobře) vytvořeným výrokem.</p> </div> <div class="definition-block"><p class="definition-label"><b>Definice</b></p> <h3 id="literál">Literál</h3> <p>Literál je prvovýrok nebo jeho negace. Je-li \(p\) prvovýrok, označíme \(p^{0}\) literál \(\neg p\) a \(p^{1}\) literál \(p\). Je-li \(l\) literál, označíme \(\bar{l}\) literál opačný k \(l\).</p> </div> <div class="definition-block"><p class="definition-label"><b>Definice</b></p> <h3 id="klauzule">Klauzule</h3> <p>Klauzule je disjunkce literálů. Prázdnou klauzulí rozumíme \(\perp\).</p> </div> <div class="definition-block"><p class="definition-label"><b>Definice</b></p> <h3 id="cnf">CNF</h3> <p>Výrok je v konjunktivně normálním tvaru (<strong>C</strong>onjunctive <strong>N</strong>oarmal <strong>F</strong>orm), je-li konjunkcí klauzulí. Prázdným výrokem v <strong>CNF</strong> rozumíme \(\top\).</p> </div> <h3 id="převody-do-normálových-forem">Převody do normálových forem</h3> <ul> <li><strong>implikace</strong><br /> do CNF: \(\varphi \rightarrow \psi \sim \neg \varphi \lor \psi\)</li> <li><strong>ekvivalence</strong><br /> do CNF: \(\varphi \leftrightarrow \psi \sim \left( \neg \varphi \lor \psi \right) \land \left( \varphi \lor \neq \psi \right)\)<br /> do DNF: \(\varphi \leftrightarrow \psi \sim \left( \varphi \land \psi \right) \lor \left( \neg \varphi \land \neg \psi \right)\)</li> <li><strong>negace</strong><br /> do DNF: \(\neg \left( \varphi \land \psi \right) \sim \neg \varphi \lor \neg \psi\)<br /> do CNF: \(\neg \left( \varphi \lor \psi \right) \sim \neg \varphi \land \neg \psi\)<br /> \(\neg\neg\varphi \sim \psi\)</li> <li><strong>konjunkce</strong><br /> do DNF: \(\varphi \land \left( \psi \lor \xi \right) \sim \left( \varphi \land \psi \right) \lor \left( \varphi \land \xi \right)\)<br /> do DNF: \(\left( \varphi \lor \psi \right) \land \xi \sim \left( \varphi \land \xi \right) \lor \left( \varphi \land \xi \right)\)</li> <li><strong>disjunkce</strong><br /> do CNF: \(\varphi \lor \left( \psi \land \xi \right) \sim \left( \varphi \lor \psi \right) \land \left( \varphi \lor \xi \right)\)<br /> do CNF: \(\left( \varphi \land \psi \right) \lor \xi \sim \left( \varphi \lor \xi \right) \land \left( \varphi \lor \xi \right)\)</li> </ul> <div class="definition-block"><p class="definition-label"><b>Definice</b></p> <h3 id="elementární-konjunkce">Elementární konjunkce</h3> <p>Elementární konjunkce je konjunkce literálů, prázdnou konjunkcí je \(\top\).</p> </div> <div class="definition-block"><p class="definition-label"><b>Definice</b></p> <h3 id="dnf">DNF</h3> <p>Výrok je v disjunktivně normálním tvaru (<strong>D</strong>isjuctive <strong>N</strong>ormal <strong>F</strong>orm), je-li disjunkcí elementárních konjunkcí. Prázdným výrokem v <strong>DNF</strong> rozumíme \(\perp\).</p> </div> <div class="definition-block"><p class="definition-label"><b>Definice</b></p> <h3 id="k-cnf">k-CNF</h3> <p>Výrok je v k-CNF, je-li v CNF a každá jeho klauzule má nejvýše \(k\) literálů.</p> </div> <div class="lemma-block"><p class="lemma-label">Tvrzení</p> <p>Mějme konečný jazyk \(\P\) a libovolnou množinu modelů \(M \subset M_{\P}\). Potom existuje výrok \(\varphi_{DNF}\) v DNF a výrok \(\varphi_{CNF}\) v CNF takový, že \(M = M_{\P}(\varphi_{DNF}) = M_{\P} (\varphi_{CNF})\).</p> </div> <div class="definition-block"><p class="definition-label"><b>Definice</b></p> <h3 id="k-sat">k-SAT</h3> <p>\(k\)-SAT je pro pevné \(k&gt;0\) problém hledání, zda je výrok \(\varphi \mathrm{v} k\)-CNF splnitelný.</p> </div> <div class="definition-block"><p class="definition-label"><b>Definice</b></p> <h3 id="implikační-graf">Implikační graf</h3> <p>Implikační graf výroku \(\varphi\) v 2-CNF je orientovaný graf \(G_{\varphi}\), v němž</p> <ul> <li>vrcholy jsou proměnné výroku \(\varphi\) nebo jejich negace,</li> <li>klauzuli \(l_{1} \vee l_{2}\) výroku \(\varphi\) reprezentujeme dvojicí hran \(\overline{l_{1}} \rightarrow l_{2}, \overline{l_{2}} \rightarrow l_{1}\),</li> <li>klauzuli \(l_{1}\) výroku \(\varphi\) reprezentujeme hranou \(\overline{l_{1}} \rightarrow l_{1}\).</li> </ul> </div> <div class="definition-block"><p class="definition-label"><b>Definice</b></p> <h3 id="jednotková-klauzule">Jednotková klauzule</h3> <p>Jednotková klauzule je klauzule obsahující jediný literál.</p> </div> <div class="definition-block"><p class="definition-label"><b>Definice</b></p> <h3 id="hornova-klauzule">Hornova klauzule</h3> <p>Hornova klauzule je klauzule obsahující nejvýše jeden pozitivní literál.</p> <h3 id="hornův-výrok">Hornův výrok</h3> <p>Hornův výrok je konjunkcí Hornových klauzulí.</p> <h3 id="horn-sat">Horn-SAT</h3> <p>Horn-SAT je problém splnitelnosti daného Hornova výroku.</p> </div> <div class="definition-block"><p class="definition-label"><b>Definice</b></p> <h3 id="teorie">Teorie</h3> <p>Výroková teorie nad jazykem \(\P\) je libovolná množina \(T\) výroků z \(V F_{P}\). Výrokům z \(T\) říkáme axiomy teorie \(T\). Je-li teorie konečná, lze ji nahradit konjunkcí jejích axiomů.</p> </div> <div class="definition-block"><p class="definition-label"><b>Definice</b></p> <h3 id="model-teorie">Model teorie</h3> <p>Model teorie \(T\) nad \(\P\) je ohodnocení \(v \in M(\P)\) (tj. model jazyka), ve kterém platí všechny axiomy z \(T\), značíme \(v \models T\).</p> </div> <div class="definition-block"><p class="definition-label"><b>Definice</b></p> <h3 id="třída-modelů">Třída modelů</h3> <p>Třída modelů \(T\) je \(M^{\P}(T)=\{v \in M(\P) \mid v \models \varphi\) pro každé \(\varphi \in T\}\).</p> </div> <div class="definition-block"><p class="definition-label"><b>Definice</b></p> <h3 id="sémantika-vzhledem-k-teorii">Sémantika vzhledem k teorii</h3> <p>Nechť \(T\) je teorie nad \(\P\). Výrok \(\varphi\) nad \(\P\) je</p> <ul> <li>pravdivý v \(T\) ( platí \(v T\) ), pokud platí v každém modelu \(T\), značíme \(T \models \varphi\). Ríkáme, že \(\varphi\) je (sémantickým) důsledkem teorie \(T\).</li> <li>lživý v \(T\) (sporný v \(T\) ), pokud neplatí v žádném modelu teorie \(T\).</li> <li>nezávislý v \(T\), pokud platí v nějakém modelu \(T\).</li> <li>splnitelný v \(T\) (konzistentní s T), pokud platí v nějakém modelu \(T\).</li> </ul> <p>Výroky \(\varphi\) a \(\psi\) jsou ekvivalentní v \(T\) ( T-ekvivalentní), pokud každý model teorie \(T\) je modelem \(\varphi\) právě když je modelem \(\psi\).</p> <h3 id="důsledek-teorie">Důsledek teorie</h3> <p>Důsledek teorie \(T\) je \(\theta^{\P}(T)=\left\{\varphi \in \operatorname{VF}_{\P} \mid T \models \varphi\right\}\), tj. množina \(\theta^{\P}(T)\) všech výroků pravdivých v \(T\).</p> </div> <h3 id="vlastnosti-teorií">Vlastnosti teorií</h3> <p>Nechť \(T\) je teorie nad \(\P\). Je-li \(\varphi\) dokazatelná z \(T\), řekneme, že \(\varphi\) je věta (teorém) teorie \(T\). Množinu vět teorie \(T\) označme</p> \[\operatorname{Thm}^{\P}(T)=\left\{\varphi \in \mathrm{VF}_{\P} \mid T \vdash \varphi\right\} .\] <p>Výroková teorie \(T\) nad \(\P\) je</p> <ul> <li><strong>sporná</strong>, jestliže v ní platí (je v T dokazatelný) \(\perp\) (spor), jinak je bezesporná (splnitelná),</li> <li><strong>kompletní</strong>, jestliže není sporná a každý výrok (formule) je v ní pravdivý (dokazatelná) či lživý (zamítnutelná), tj. žádný výrok není nezávislý (tj. \(\forall \varphi \in V F_{\P}: T \vdash \varphi\) neboT \(\neg \neg \varphi\) ),</li> <li><strong>extenze</strong> teorie \(T^{\prime}\) nad \(\P^{\prime}\), jestliže \(\P^{\prime} \subseteq \P\) a \(\theta^{\P}\left(T^{\prime}\right) \subseteq \theta^{\P}(T)\left(\operatorname{Thm}^{\P^{\prime}}\left(T^{\prime}\right) \subseteq \operatorname{Thm}^{\P}(T)\right)\), o extenzi \(T\) teorie \(T^{\prime}\) řekneme, že je jednoduchá, pokud \(\P^{\prime}=\P\), a konzervativní, pokud \(\theta^{\P^{\prime}}\left(T^{\prime}\right)=\theta^{\P}(T) \cap V_{\P^{\prime}}\left(\operatorname{Thm}^{\P^{\prime}}\left(T^{\prime}\right)=\operatorname{Thm}^{\P}(T) \cap V_{\P^{\prime}}\right)\),</li> <li><strong>ekvivalentní</strong> s teorií \(T^{\prime}\), jestliže \(T\) je extenzí \(T^{\prime}\) a \(T^{\prime}\) je extenzí \(T\).</li> <li><strong>úplná</strong>, pokud nemá žádné volné výroky. V takovém případě ma jen jeden model.</li> </ul> <p>Jinými slovy je teorie \(T\) splnitelná (bezesporná), když má model, kompletní, právě když má jediný model, extenze \(T^{\prime}\), právě když modely \(T\) jsou podmnožinou modelů \(T^{\prime}\), ekvivalentní s \(T^{\prime}\), pokud mají stejné modely.</p> <h3 id="analýza-teorií-nad-konečně-prvovýroky">Analýza teorií nad konečně prvovýroky</h3> <p>Nechť \(T\) je bezesporná teorie nad \(P\), kde \(\|\P\| = n \in \N^{+}\)a \(m=\left|M^{\P(T)}\right|\). Pak</p> <ul> <li>navzájem neekvivalentních výroků (příp. teorií) nad \(\P\) je \(2^{2^{n}}\),</li> <li>navzájem neekvivalentních výroků nad \(\P\) pravdivých (lživých) v \(T\) je \(2^{2^{n}-m}\),</li> <li>navzájem neekvivalentních výroků nad \(\P\) nezávislých v \(T\) je \(2^{2^{n}}-2 \cdot 2^{2^{n}-m}\),</li> <li>navzájem neekvivalentních jednoduchých extenzí teorie \(T\) je \(2^{m}\), z toho sporná 1 ,</li> <li>navzájem neekvivalentních kompletních jednoduchých extenzí teorie \(T\) je \(m\),</li> <li>navzájem \(T\)-neekvivalentních výroků nad \(\P\) je \(2^{m}\),</li> <li>navzájem \(T\)-neekvivalentních výroků nad \(\P\) pravdivých (lživých) (v \(T\) ) je 1 ,</li> <li>\(T\)-neekvivalentních výroků nad \(\P\) nezávislých (v \(T)\) je \(2^{m}-2\).</li> </ul> <h3 id="formální-dokazovací-systémy">Formální dokazovací systémy</h3> <p>Ve standardních formálních dokazovacích systémech</p> <ul> <li>je důkaz konečný objekt, může vycházet z axiomů dané teorie,</li> <li>\(T \vdash \varphi\) značí, že \(\varphi\) je dokazatelná z \(T\),</li> <li>pokud důkaz dané formule existuje, lze ho algoritmicky najít.</li> </ul> <p>Od formálního dokazovacího systému čekáme, že je</p> <ul> <li>korektní, tj. každá formule \(\varphi\) dokazatelná z \(T\) je pravdivá,</li> <li>úplný, tj. každá formule \(\varphi\) pravdivá v \(T\) je z \(T\) dokazatelná.</li> </ul> <div class="definition-block"><p class="definition-label"><b>Definice</b></p> <h2 id="tablo-metoda">Tablo metoda</h2> <p>Předpokládáme pevný a spočetný jazyk (množina prvovýroků \(\P\) je spočetná). Pak každá teorie nad \(\P\) je spočetná.</p> <h3 id="hlavní-rysy-tablo-metody">Hlavní rysy tablo metody</h3> <ul> <li>tablo pro danou formuli \(\varphi\) je binární značkovaný strom reprezentující vyhledávání protipříkladu \(\mathrm{k} \varphi\), tj. modelu teorie, ve kterém \(\varphi\) neplatí,</li> <li>formule má důkaz, pokud každá větev příslušného tabla selže, tj. nebyl nalezen protipříklad, v tom případě bude tablo konečné,</li> <li>pokud protipříklad existuje, v tablu bude větev, která ho poskytuje, tato větev může být nekonečná.</li> </ul> <p>Vrcholy tabla jsou označeny položkami. Položka je formule s příznakem \(T / F\), který reprezentuje předpoklad, že formule v nějakém modelu platí/neplatí.</p> </div> <div class="definition-block"><p class="definition-label"><b>Definice</b></p> <h3 id="tablo">Tablo</h3> <p>Konečné tablo je binární, položkami značkovaný strom daný předpisem</p> <ul> <li>každé atomické tablo je konečné tablo (atomická tabla jsou konkrétní příklady rozvinutí formulí se základními spojkami),</li> <li>je-li \(P\) položka na větvi \(V\) konečného tabla \(\tau\) a \(\tau^{\prime}\) vznikne z \(\tau\) připojením atomického tabla pro \(P\) na konec větve \(V\), je \(\tau^{\prime}\) rovněž konečné tablo,</li> <li>každé konečné tablo vznikne konečným užitím předchozích pravidel.</li> </ul> <p>Tablo je posloupnost konečných tabel takových, že další tablo vznikne z předchozího pomocí pravidla číslo \(2 .\)</p> </div> <h3 id="tablo-důkaz">Tablo důkaz</h3> <p>Nechť \(P\) je položka na větvi \(V\) tabla \(\tau\). Řekneme, že</p> <ul> <li>položka \(P\) je redukovaná na \(V\), pokud se na \(V\) vyskytuje jako kořen atomického tabla, tedy došlo k jejímu rozvoji na \(V\),</li> <li>větev \(V\) je sporná, pokud obsahuje položky \(T \varphi\) a \(F \varphi\) pro nějakou formuli \(\varphi\), jinak je bezesporná. Větev \(V\) je dokončená, je-li sporná nebo je každá její položka redukovaná na \(V\),</li> <li>tablo \(\tau\) je dokončené, pokud je každá jeho větev dokončená, a je sporné, pokud je každá jeho větev sporná.</li> </ul> <p>Tablo důkaz výrokové formule \(\varphi\) je sporné tablo s položkou \(F \varphi \mathrm{v}\) kořeni. Formule \(\varphi\) je (tablo) dokazatelná, píšeme \(\vdash \varphi\), má-li tablo důkaz.</p> <p>Zamítnutí formule \(\varphi\) tablem je sporné tablo s položkou \(T \varphi \mathrm{v}\) kořeni. Formule \(\varphi\) je (tablo) zamítnutelná, má-li zamítnutí tablem, tj. \(\vdash \neg \varphi\).</p> <h3 id="tablo-z-teorie">Tablo z teorie</h3> <p>Konečné tablo z teorie \(T\) je binární, položkami značkovaný strom daný předpisem</p> <ul> <li>každé atomické tablo je konečné tablo,</li> <li>je-li \(P\) položka na větvi \(V\) konečného tabla \(\tau\) a \(\tau^{\prime}\) vznikne z \(\tau\) připojením atomického tabla pro \(P\) na konec větve \(V\), je \(\tau^{\prime}\) rovněž konečné tablo,</li> <li>je-li \(V\) větev konečného tabla (z \(T\) ) a \(\varphi \in \mathrm{T}\), pak připojením \(T \varphi\) na konec \(V\) vznikne rovněž konečné tablo z \(T\),</li> <li>každé konečné tablo vznikne konečným užitím předchozích pravidel.</li> </ul> <p>Tablo z teorie \(T\) je posloupnost konečných tabel z \(T\) takových, že další tablo vznikne z předchozího pomocí pravidla číslo 2 nebo 3.</p> <h3 id="tablo-důkaz-z-teorie">Tablo důkaz z teorie</h3> <p>Nechť \(P\) je položka na větvi \(V\) tabla \(\tau\) z teorie \(T\). Řekneme, že</p> <ul> <li>položka \(P\) je redukovaná na \(V\), pokud se na \(V\) vyskytuje jako kořen atomického tabla, tedy došlo k jejímu rozvoji na \(V\),</li> <li>větev \(V\) je sporná, pokud obsahuje položky \(T \varphi\) a \(F \varphi\) pro nějakou formuli \(\varphi\), jinak je bezesporná. Větev \(V\) je dokončená, je-li sporná nebo je každá její položka redukovaná na \(V\) a navíc obsahuje \(T \varphi\) pro každé \(\varphi \in T\),</li> <li>tablo \(\tau\) je dokončené, pokud je každá jeho větev dokončená, a je sporné, pokud je každá jeho větev sporná.</li> </ul> <p>Tablo důkaz formule \(\varphi \mathrm{z}\) teorie \(T\) je sporné tablo z \(T\) s položkou \(F \varphi \mathrm{v}\) kořeni. Má-li \(\varphi\) tablo důkaz z \(T\), je (tablo) dokazatelná \(z T\), píšeme \(T \vdash \varphi\).</p> <p>Zamítnutí formule \(\varphi\) tablem z teorie \(T\) je sporné tablo z \(T\) s položkou \(T \varphi \mathrm{v}\) kořeni. Formule \(\varphi\) je (tablo) zamítnutelná z \(T\), má-li zamítnutí tablem z \(T\), tj. \(T \vdash \neg \varphi\).</p> <h3 id="systematické-tablo">Systematické tablo</h3> <p>Konstrukce, která vede vždy k dokončenému tablu.</p> <p>Nechť \(R\) je položka a \(T=\left\{\varphi_{0}, \varphi_{1}, \ldots\right\}\) je konečná či nekonečná teorie.</p> <ol> <li>Ta \(\tau_{0}\) vezmi atomické tablo pro \(R\). Doku to lze, aplikuj následující kroky.</li> <li>Nechť \(P\) je nejlevější položka \(\mathrm{v}\) co nejmenší úrovni již daného tabla \(\tau_{n}\), která není redukovaná na nějaké bezesporné větvi procházející skrze \(P\).</li> <li>Za \(\tau_{n}^{\prime}\) vezmi tablo vznikl z \(\tau_{n}\) přidáním atomického tabla pro \(P\) na každou bezespornou větev skrze \(P\). (Neexistuje-li \(P\), vezmi \(\tau_{n}^{\prime}=\tau_{n}\).)</li> <li>Za \(\tau_{n+1}\) vezmi tablo vzniklé z \(\tau_{n}^{\prime}\) přidáním \(T \varphi_{n}\) na každou bezespornou větev neobsahující \(T \varphi_{n}\). (Neexistuje-li \(\varphi_{n}\), vezmi \(\tau_{n+1}=\tau_{n}^{\prime}\).)</li> </ol> <p>Systematické tablo z teorie \(T\) pro položku \(R\) je výsledkem uvedené konstrukce.</p> <h2 id="rezoluční-metoda">Rezoluční metoda.</h2> <p>Hlavní rysy rezoluční metody</p> <ul> <li>předpokládá formule v <strong>CNF</strong>,</li> <li>pracuje s množinovou reprezentací formulí,</li> <li>má jediné odvozovací pravidlo (rezoluční pravidlo),</li> <li>zamítací procedura (snaží se ukázat nesplnitelnost dané formule).</li> </ul> <div class="definition-block"><p class="definition-label"><b>Definice</b></p> <h3 id="klauzule">Klauzule</h3> <p>Klauzule \(C\) je konečná množina literálů (“tvořících disjunkci”). Prázdná klauzule se značí \(\square\), nikdy není splněna (neobsahuje splněný literál).</p> </div> <div class="definition-block"><p class="definition-label"><b>Definice</b></p> <h3 id="formule">Formule</h3> <p>Formule \(S\) je množina (i nekončená) klauzulí (“tvořících konjunkci”). Prázdná formule \(\emptyset\) je vždy splněna (neobsahuje nesplněnou klauzuli). Nekonečné formule reprezentují nekonečné teorie.</p> </div> <h3 id="částečné-ohodnocení">(Částečné) ohodnocení</h3> <p>Částečné ohodnocení \(\mathcal{V}\) je libovolná konzistentní množina literálů, tj. neobsahující dvojici opačných literálů. Ohodnocení \(\mathcal{V}\) je totální, obsahuje-li pozitivní či negativní literál od každé výrokové proměnné.</p> <div class="definition-block"><p class="definition-label"><b>Definice</b></p> <h2 id="rezolventa">Rezolventa</h2> <p>Nechť \(C_{1}, C_{2}\) jsou klauzule a \(l \in C_{1}, \bar{l} \in C_{2}\) pro nějaký literál \(l\). Pak z \(C_{1}\) a \(C_{2}\) odvod’ pres literál \(l\) klauzuli \(C\), kterou nazveme rezolventa, kde</p> \[C=\left(C_{1} \backslash\{l\}\right) \cup\left(C_{2} \backslash\{\bar{l}\}\right) .\] </div> <div class="definition-block"><p class="definition-label"><b>Definice</b></p> <h3 id="rezoluční-důkaz">Rezoluční důkaz</h3> <p>Formální popis rezolučního důkazu.</p> <ul> <li>rezoluční důkaz (odvození) klauzule \(C\) z formule \(S\) je konečná posloupnost \(C_{0}, \ldots, C_{n}=\) \(C\) taková, že pro každé \(i \leq n\) je \(C_{i} \in S\) nebo je \(C_{i}\) rezolventou nějakých dvou předchozích klauzulí (i stejných),</li> <li>klauzule \(C\) je (rezolucí) dokazatelná z \(S\), psáno \(S \vdash_{R} C\), pokud má rezoluční důkaz z \(S\)</li> <li>zamítnutí formule \(S\) je rezoluční důkaz \(\square\) z \(S\),</li> <li>\(S\) je (rezolucí) zamítnutelná, pokud \(S \vdash_{R} \square\).</li> </ul> </div> <h3 id="rezoluční-strom">Rezoluční strom</h3> <p>Rezoluční strom klauzule \(C\) z formule \(S\) je konečný binární strom s vrcholy označenými klauzulemi takový, že</p> <ul> <li>kořen je označen \(C\),</li> <li>listy jsou označeny klauzulemi z \(S\),</li> <li>každý vnitřní vrchol je označen rezolventou z klauzulí v jeho synech.</li> </ul> <h3 id="rezoluční-uzávěr">Rezoluční uzávěr</h3> <p>Rezoluční uzávěr \(\mathcal{R}(s)\) formule \(S\) je nejmenší induktivní množina definovaná</p> <ul> <li>\(C \in \mathcal{R}(S)\) pro každé \(C \in S\),</li> <li>jsou-li \(C_{1}, C_{2} \in \mathcal{R}(S)\) a \(C\) je rezolventa \(C_{1}, C_{2}\), je zároveň \(C \in \mathcal{R}(S)\).</li> </ul> <h3 id="lineární-rezoluce">Lineární rezoluce</h3> <p>Rezoluce jako lineární důkaz.</p> <ul> <li>Lineární důkaz (rezolucí) klauzule \(C\) z formule \(S\) je konečná posloupnost dvojic \(\left(C_{0}, B_{0}\right), \ldots,\left(C_{n}, B_{n}\right)\) taková, že \(C_{0} \in S\) a pro každé \(i \leq n\)</li> <li>\(B_{i} \in S\) nebo \(B_{i}=C_{j}\) pro nějaké \(j \le i\), a \(C_{i+1}\) je rezolventa \(C_{i}\) a \(B_{i}\), kde \(C_{n+1}=C\).</li> <li>\(C_{0}\) zveme počáteční klauzule, \(C_{i}\) centrálni klauzule, \(B_{i}\) boční klauzule.</li> <li>\(C\) je lineárně dokazatelná z \(S\), psáno \(S \vdash_{L} C\), má-li lineární důkaz z \(S\).</li> <li>Lineární zamítnutí \(S\) je lineární důkaz \(\square\) z \(S\).</li> <li>\(S\) je lineárně zamítnutelná, pokud \(S \vdash_{L} \square\).</li> </ul> <h3 id="li-rezoluce">LI-rezoluce</h3> <p>Pro Hornovy formule můžeme lineární rezoluci dál omezit.</p> <ul> <li>Hornova formule je (i nekonečná) množina Hornových klauzulí.</li> <li>Hornova klauzule je klauzule obsahující nejvýše jeden pozitivní literál.</li> <li>Fakt je (Hornova) klauzule \(\{p\}\), kde \(p\) je pozitivní literál.</li> <li>Pravidlo je (Hornova) klauzule s právě jedním pozitivním a aspoň jedním negativním literálem. Pravila a fakta jsou programové klauzule.</li> <li>Cil je neprázdná (Hornova) klauzule bez pozitivního literálu.</li> </ul> <p>LI-rezoluce (linear input) z formule \(S\) je lineární rezoluce z \(S\), ve které je každá boční klauzule \(B_{i}\) ze (vstupní) formule \(S\).</p> <hr /> <h2 id="predikátová-logika">Predikátová logika</h2> <div class="definition-block"><p class="definition-label"><b>Definice</b></p> <h3 id="jazyk">Jazyk</h3> <p>Jazyk prvního řádu obsahuje proměnné, množinu všech proměnných značíme Var, funkční symboly (včetně konstantních symbolů, což jsou nulární funkční symboly), relační symboly, případně symbol = jako speciální relační symbol, kvantifikátory, logické spojky, závorky. Každá funkční i relační symbol \(S\) má danou aritu - \(\operatorname{ar}(S) \in \N\).</p> </div> <div class="definition-block"><p class="definition-label"><b>Definice</b></p> <h2 id="arita">Arita</h2> <p>Počet parametrů funkce.</p> <p>Příklady:</p> <ul> <li>nulární - \(0\)</li> <li>unární - unární mínus (\(-1\))</li> <li>binární - mínus (\(2-1\))</li> <li>ternární - koncionální operator (<code class="language-plaintext highlighter-rouge">x ? y : z</code>)</li> </ul> </div> <div class="definition-block"><p class="definition-label"><b>Definice</b></p> <h3 id="signatura-jazyka">Signatura jazyka</h3> <p>Proměnné, kvantifikátory, logické spojky a závorky jsou logické symboly, funkční a relační symboly jsou <em>mimologické</em> symboly. Rovnost případně uvažujeme zvlášť.</p> <p>Signatura je dvojice \(\langle\mathcal{R}, \mathcal{F}\rangle\) disjunktních relačních a funkčních symbolů s danými aritami, žádný z nich není rovnost. Signatura tedy určuje všechny mimologické symboly.</p> <p>Jazyk je dám signaturou \(L=\langle\mathcal{R}, \mathcal{F}\rangle\) a uvedením, zda jde o jazyk s rovností či bez. Jazyk musí obsahovat alespoň jeden relační symbol (mimologický či rovnost).</p> </div> <ul> <li>Ekvivalnce se používá pro formule</li> <li>rovná se používá pro prvky univerza</li> </ul> <h3 id="term">Term</h3> <p>Term je výraz reprezentující hodnoty (složených) funkcí. Konstantní (ground) term je term bez proměnných. Množinu všech termů jazyka \(L\) značíme \(\operatorname{Term}_{L}\).</p> <p>Termy jazyka \(L\) jsou dány induktivně</p> <ul> <li>každá proměnná nebo konstantní symbol je term,</li> <li>je-li \(f\) funkční symbol jazyka \(L \mathrm{~s}\) aritou \(n&gt;0\) a \(t_{0}, \ldots, t_{n-1}\) jsou termy, pak je výraz \(f\left(t_{0}, \ldots, t_{n-1}\right)\) term,</li> <li>každý term vznikne konečným užitím předchozích pravidel.</li> </ul> <h3 id="atomická-formule">Atomická formule</h3> <p>Atomická formule je nejjednodušší formule. Atomická formule jazyka \(L\) je výraz \(R\left(t_{0}, \ldots, t_{n-1}\right)\), kde \(R\) je \(n\)-ární relační symbol jazyka \(L\) a \(t_{0}, \ldots, t_{n-1}\) jsou termy jazyka \(L\). Množinu všech atomických formulí jazyka \(L\) značíme \(\mathrm{AFm}_{L}\).</p> <h3 id="formule">Formule</h3> <p>Formule jazyka \(L\) jsou výrazy dané induktivně každá atomická formule jazyka \(L\) je formule, jsou-li \(\varphi, \psi\) formule, pak i následující výrazy jsou formule</p> \[(\neg \varphi),(\varphi \wedge \psi),(\varphi \vee \psi),(\varphi \rightarrow \psi),(\varphi \leftrightarrow \psi),\] <p>je-li \(\varphi\) formule a \(x\) proměnná, jsou výrazy \(((\forall x) \varphi)\) a \(((\exists x) \varphi)\) formule, každá formule vznikne konečným užitím předchozích pravidel.</p> <p>Množinu všech formulí jazyka \(L\) značíme \(\mathrm{Fm}_{L}\).</p> <h3 id="výskyt-proměnné">Výskyt proměnné</h3> <p>Nechť \(\varphi\) je formule a \(x\) proměnná.</p> <ul> <li>Výskyt promĕnné \(x\) ve \(\varphi\) je list vytvořujícího stromu \(\varphi\) označený \(x\).</li> <li>Výskyt \(x\) ve \(\varphi\) je vázaný, je-li součástí nějaké podformule \(\psi\) začínající kvantifikátorem. Pokud výskyt není vázaný, je volný.</li> <li>Proměnná \(x\) je volná ve \(\varphi\), pokud má volný výskyt ve \(\varphi\). Je vázaná ve \(\varphi\), pokud má vázaný výskyt ve \(\varphi\).</li> <li>Proměnná \(x\) může být zároveň volná i vázaná ve \(\varphi\).</li> <li>Zápis \(\varphi\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)\) značí, že \(x_{1}, \ldots, x_{n}\) jsou všechny volné proměnné ve formuli \(\varphi\).</li> </ul> <h3 id="otevřená-a-uzavřená-formule">Otevřená a uzavřená formule</h3> <p>Formule je otevřená, pokud neobsahuje žádný kvantifikátor. Pro množinu \(\mathrm{OFm}_{L}\) všech otevřených formulí jazyka \(L\) platí \(\mathrm{AFm}_{F} \subsetneq \mathrm{OFm}_{L} \subsetneq \mathrm{Fm}_{L}\).</p> <p>Formule je uzavřená (sentence), pokud nemá žádnou volnou proměnnou, tj. všechny výskyty proměnných jsou vázané.</p> <p>Formule může být uzavřená i otevřená zároveň, pak její termy jsou konstantní.</p> <h3 id="instance-a-substituce">Instance a substituce</h3> <p>Pokud do formule za volnou proměnnou dosadíme term \(t\), požadujeme, aby nově vzniklá formule říkala o termu \(t\) totéž, co předtím o proměnné.</p> <ul> <li>Term \(t\) je substituovatelný za proměnnou \(x\) ve formuli \(\varphi\), pokud po současném nahrazení všech volných výskytů \(x\) za \(t\) nevznikne ve \(\varphi\) žádný vázaný výskyt proměnné z \(t\).</li> <li>Pak vzniklou formuli značíme \(\varphi(x / t)\) (“za \(x\) dosadím \(t\) “) a zveme ji instance formule \(\varphi\) vzniklá substitucí termu \(t\) za proměnnou \(x\) do \(\varphi\).</li> <li>\(t\) není substituovatelný za \(x\) do \(\varphi\), právě když \(x\) má volný výskyt v nějaké podformuli \(\varphi\) začínající \((\forall y)\) nebo \((\exists y)\) pro nějakou proměnnou \(y\) z \(t\).</li> <li>Konstantní termy jsou substituovatelné vždy.</li> </ul> <h3 id="varianty">Varianty</h3> <p>Kvantifikované proměnné lze za určitých podmínek přejmenovat tak, že vznikne ekvivalentní formule. Nechť \((Q x) \psi\) je podformule ve \(\varphi\), kde \(Q\) značí \(\forall\) čí \(\exists\), a \(y\) je proměnná, tak že</p> <ol> <li>\(y\) je substituovatelná za \(x\) do \(\psi\), a</li> <li>\(y\) nemá volný výskyt \(\mathrm{v} \psi\).</li> </ol> <p>Nahrazením podformule \((Q x) \psi\) za \((Q y) \psi(x / y)\) vznikne varianta formule \(\varphi\) podformuli \((Q x) \psi\).</p> <h3 id="struktura-pro-jazyk">Struktura pro jazyk</h3> <p>Nechť \(L=\langle\mathcal{R}, \mathcal{F}\rangle\) je jazyk a \(A\) je neprázdná množina.</p> <ul> <li>Realizace (interpretace) relačniho symbolu \(R \in \mathcal{R}\) na \(A\) je libovolná relace \(R^{A} \subseteq A^{\operatorname{ar}(R)}\). Realizace rovnosti na \(A\) je relace identita.</li> <li>Realizace (interpretace) funkčniho symbolu \(f \in \mathcal{F}\) na \(A\) je libovolná funkce \(f^{A}\) : \(A^{\operatorname{ar}(f)} \rightarrow A\). Realizace konstantního symbolu je tedy prvek z \(A\).</li> </ul> <p>Struktura pro jazyk \(L\) (L-struktura) je trojice \(\mathcal{A}=\left\langle A, \mathcal{R}^{A}, \mathcal{F}^{A}\right\rangle\), kde</p> <ul> <li>A je neprázdná množina, zvaná doména (universum) struktury \(\mathcal{A}\),</li> <li>\(\mathcal{R}^{A}=\left\langle R^{A} \mid R \in \mathcal{R}\right\rangle\) je soubor realizací relačních symbolů (relací),</li> <li>\(\mathcal{F}^{A}=\left\langle f^{A} \mid f \in \mathcal{F}\right\rangle\) je soubor realizací funkčních symbolů (funkcí),</li> </ul> <p>Strukturu pro jazyk \(L\) nazýváme také model jazyka \(L\). Třída všech modelů se značí \(M(L)\).</p> <h3 id="hodnota-termu">Hodnota termu</h3> <p>Nechť \(t\) je term jazyka \(L=\langle\mathcal{R}, \mathcal{F}\rangle\) a \(\mathcal{A}=\left\langle A, \mathcal{R}^{A}, \mathcal{F}^{A}\right\rangle\) je struktura pro \(L\).</p> <ul> <li>Ohodnocení proměnných \(\mathrm{v}\) množině \(A\) je funkce \(e\) : Var \(\rightarrow A\).</li> <li>Hodnota \(t^{\mathcal{A}}[e]\) termu \(t\) ve struktuře \(\mathcal{A}\) při ohodnocení \(e\) je dána induktivním předpisem</li> </ul> \[\begin{aligned} x^{\mathcal{A}}[e] &amp;=e(x) \text { pro každé } x \in \text { Var, } \\ \left(f\left(t_{0}, \ldots, t_{n-1}\right)\right)^{\mathcal{A}}[e] &amp;=f^{A}\left(t_{0}^{\mathcal{A}}[e], \ldots, t_{n-1}^{\mathcal{A}}[e]\right) \text { pro každé } f \in \mathcal{F} . \end{aligned}\] <ul> <li>Speciálně, pro konstantní symbol \(c\) je \(c^{\mathcal{A}}[e]=c^{A}\).</li> <li>Je-li \(t\) konstantní term, jeho hodnota v \(A\) nezávisí na ohodnocení \(e\).</li> <li>Hodnota termu v \(\mathcal{A}\) závisí pouze na ohodnocených proměnných.</li> </ul> <h3 id="hodnota-atomické-formule">Hodnota atomické formule</h3> <p>Nechť \(\varphi\) je atomická formule tvaru \(R\left(t_{0}, \ldots, t_{n-1}\right)\) jazyka \(L=\langle\mathcal{R}, \mathcal{F}\rangle\) a \(\mathcal{A}=\left\langle A, \mathcal{R}^{A}, \mathcal{F}^{A}\right\rangle\) je struktura pro \(L\).</p> <ul> <li>Hodnota \(H_{a t}^{\mathcal{A}}(\varphi)[e]\) formule \(\varphi\) ve struktuře \(\mathcal{A}\) při ohodnocení \(e\) je</li> </ul> \[H_{a t}^{\mathcal{A}}\left(R\left(t_{0}, \ldots, t_{n-1}\right)\right)[e]=1, \text { pokud }\left(t_{0}^{\mathcal{A}}[e], \ldots, t_{n-1}^{\mathcal{A}}[e]\right) \in R^{A}, \text { jinak } 0,\] <p>přičemž \(={ }^{\mathcal{A}}\) je \(\operatorname{Id}_{A}\), tj. \(H_{a t}^{\mathcal{A}}\left(t_{0}=t_{1}\right)[e]=1\) pokud \(t_{0}^{\mathcal{A}}[e]=t_{1}^{\mathcal{A}}[e]\), jinak 0 .</p> <ul> <li>Je-li \(\varphi\) sentence, tj. všechny její termy jsou konstantní, její hodnota v \(\mathcal{A}\) nezávisí na ohodnocení \(e\).</li> <li>Hodnota \(\varphi \vee \mathcal{A}\) závisí pouze na ohodnocení jejích (volných) proměnných.</li> </ul> <h3 id="platnost-při-ohodnocení">Platnost při ohodnocení</h3> <p>Formule \(\varphi\) je pravdivá (platí) ve struktuře \(\mathcal{A}\) při ohodnocení \(e\), pokud \(H^{\mathcal{A}}(\varphi)[e]=1\). Pak píseme \(\mathcal{A} \models \varphi[e]\), v opačném případě \(\mathcal{A} \not \models \varphi[e]\).</p> <h3 id="platnost-ve-struktuře">Platnost ve struktuře</h3> <p>Nechť \(\varphi\) je formule jazyka \(L\) a \(\mathcal{A}\) je struktura pro \(L\).</p> <ul> <li>\(\varphi\) je pravdivá (platí) ve struktuře \(\mathcal{A}\), značeno \(\mathcal{A} \models \varphi\), pokud \(\mathcal{A} \models \varphi[e]\) pro každé ohodnocení \(e: \operatorname{Var} \rightarrow A\). \(\mathrm{V}\) opačném případě píšeme \(\mathcal{A} \not \models \varphi\).</li> <li>\(\varphi\) je lživá \(\mathrm{v} \mathcal{A}\), pokud \(\mathcal{A} \models \neg \varphi, \mathrm{tj} . \mathcal{A} \not \models \varphi[e]\) pro každé \(e: \operatorname{Var} \rightarrow A\).</li> <li>Je-li \(\varphi\) sentence, je \(\varphi\) pravdivá či lživá v \(\mathcal{A}\).</li> <li>\(\mathcal{A} \models \varphi\) právě když \(\mathcal{A} \models \psi\), kde \(\psi\) je generální uzávěr \(\varphi\), tj. formule \(\left(\forall x_{1}\right) \cdots\left(\forall x_{n}\right) \varphi\), v níž \(x_{1}, \ldots, x_{n}\) jsou všechny volné proměnné \(\varphi\).</li> </ul> <h3 id="platnost-mathbfv-teorii">Platnost \(\mathbf{v}\) teorii</h3> <p>Teorie jazyka \(L\) je libovolná množina \(T\) formulí jazyka \(L\) (tzv. axiomů). Model teorie \(T\) je \(L\)-struktura \(\mathcal{A}\) taková, že \(\mathcal{A} \models \varphi\) pro každé \(\varphi \in T\), značíme \(\mathcal{A} \models T\). Třída modelů teorie \(T\) je \(M(T)=\{\mathcal{A} \in M(L) \mid \mathcal{A} \models T\}\).</p> <ul> <li>Formule \(\varphi\) je pravdivá \(\mathrm{v} T\), značíme \(T \models \varphi\), pokud \(\mathcal{A} \models \varphi\) pro každý model \(\mathcal{A}\) teorie \(T\). V opačném prípadě píśeme \(T \not \models \varphi\).</li> <li>Formule \(\varphi\) je lživá v \(T\), pokud \(T \models \neg \varphi\), tj. je lživá v každém modelu \(T\).</li> <li>Formule \(\varphi\) je nezávislá v \(T\), pokud není pravdivá v \(T\) ani lživá v \(T\).</li> <li>Je-li \(T=\emptyset\), je \(M(T)=M(L)\) a teorii \(T\) vynecháváme, případně říkáme “v logice”. Pak \(\models \varphi\) značí, že \(\varphi\) je pravdivá ((logicky) platí, tautologie).</li> <li>Důsledek \(T\) je množina \(\theta^{L}(T)\) všech sentencí jazyka \(L\) pravdivých v \(T\), tj.</li> </ul> \[\theta^{L}(T)=\left\{\varphi \in \mathrm{Fm}_{L} \mid T \models \varphi \text { a } \varphi \text { je sentence }\right\} .\] <h3 id="vlastnosti-teorií-1">Vlastnosti teorií</h3> <p>Nechť \(T\) je teorie jazyka \(L\). Je-li sentence \(\varphi\) pravdivá v \(T\), říkáme, že \(\varphi\) je věta teorie \(T\). Množinu vět teorie \(T\) značíme \(\operatorname{Thm}^{L}(T)=\left\{\varphi \in \operatorname{Fm}_{L} \mid T \vdash \varphi\right\}\). Teorie jazyka \(L\) je sémanticky (syntakticky)</p> <ul> <li>sporná, jestliže v ní platí spor (je v ní dokazatelný), jinak je bezesporná (splnitelná),</li> <li>kompletní, jestliže není sporná a každá sentence je v ní pravdivá či lživá (dokazatelná či zamítnutelná, tj. \(T \vdash \varphi\) nebo \(T \vdash \neg \varphi)\),</li> <li>extenze teorie \(T^{\prime}\) jazyka \(L^{\prime}\), jestliže \(L^{\prime} \subseteq L\) a \(\theta^{L^{\prime}}\left(T^{\prime}\right) \subseteq \theta^{L}(T)\left(\operatorname{Thm}^{L^{\prime}}\left(T^{\prime}\right) \subseteq \operatorname{Thm}^{L}(T)\right)\), o extenzi \(T\) teorie \(T^{\prime}\) rekneme, že je jednoduchá, pokud \(L=L^{\prime}\), a konzervativní, pokud \(\theta^{L^{\prime}}\left(T^{\prime}\right)=\theta^{L}(T) \cap \operatorname{Fm}_{L}\left(\operatorname{Thm}^{L^{\prime}}\left(T^{\prime}\right)=\operatorname{Thm}^{L}(T) \cap \operatorname{Fm}_{L^{\prime}}\right)\),</li> <li>ekvivalentní s teorií \(T^{\prime}\), jestliže \(T\) je extenzí \(T^{\prime}\) a \(T^{\prime}\) je extenzí \(T\).</li> </ul> <p>Struktury \(\mathcal{A}, \mathcal{B}\) pro jazyk \(L\) jsou elementárně ekvivalentní, značeno \(\mathcal{A} \equiv \mathcal{B}\), platí-li v nich stejné formule.</p> <p>Nechť \(T\) a \(T^{\prime}\) jsou teorie jazyka \(L\). Teorie \(T\) je (sémanticky)</p> <ul> <li>bezesporná, právě když má model,</li> <li>kompletní, právě když má až na elementární ekvivalenci jediný model,</li> <li>extenze \(T^{\prime}\), právě když \(M(T) \subseteq M\left(T^{\prime}\right)\),</li> <li>ekvivalentní s \(T^{\prime}\), právě když \(M(T)=M\left(T^{\prime}\right)\).</li> </ul> <h2 id="podstruktura">Podstruktura.</h2> <p>Nechť \(\mathcal{A}=\left\langle A, \mathcal{R}^{A}, \mathcal{F}^{A}\right\rangle\) a \(\mathcal{B}=\left\langle B, \mathcal{R}^{B}, \mathcal{F}^{B}\right\rangle\) jsou struktury pro jazyk \(L=\langle\mathcal{R}, \mathcal{F}\rangle\).</p> <p>Řekneme, že \(\mathcal{B}\) je (indukovaná) podstruktura \(\mathcal{A}\), značeno \(\mathcal{B} \subseteq \mathcal{A}\), pokud</p> <ol> <li>\(B \subseteq A\),</li> <li>\(R^{B}=R^{A} \cap B^{\operatorname{ar}(R)}\) pro každé \(R \in \mathcal{R}\),</li> <li>\(f^{B}=f^{A} \cap\left(B^{\operatorname{ar}(f)} \times B\right)\), tj. \(f^{B} \mid B^{\operatorname{ar}(f)}\), pro každé \(f \in \mathcal{F}\).</li> </ol> <p>Množina \(C \subseteq A\) je doménou nějaké podstruktury struktury \(\mathcal{A}\), právě když \(C\) je uzavřená na všechny funkce struktury \(\mathcal{A}\) (včetně konstant). Pak příslušnou podstrukturu značíme \(\mathcal{A}\lceil C\) a řkáme, že je to restrikce (parcializace) struktury \(\mathcal{A}\) na \(C\). Množina \(C \subseteq A\) je uzavřená na funkcif : \(A^{n} \rightarrow A\), pokud \(f\left(x_{0}, \ldots, x_{n-1}\right) \in C\) pro každé \(x_{0}, \ldots, x_{n-1} \in C\).</p> <p>Generovaná podstruktura, expanze, redukt.</p> <p>Nechť \(\mathcal{A}=\left\langle A, \mathcal{R}^{A}, \mathcal{F}^{A}\right\rangle\) je struktura a \(X \subseteq A\). Označme \(B\) nejmenší podmnožinu množiny \(A\) obsahující \(X\), která je uzavřená na všechny funkce struktury \(\mathbb{A}\) (včetně konstant). Pak strukturu \(\mathcal{A} \mid B\) značíme rovněž \(\mathcal{A}\langle X\rangle\) a podstruktura řkáme, že je to \(\mathcal{A}\) generovaná množinou \(X\).</p> <p>Nechť \(\mathcal{A}^{\prime}\) je struktura pro jazyk \(L^{\prime}\) a \(L \subseteq L^{\prime}\) je jazyk. Odebráním realizací symbolů, jež nejsou v \(L\), získáme z \(\mathcal{A}^{\prime}\) strukturu \(\mathcal{A}\), kterou nazýváme redukt struktury \(\mathcal{A}^{\prime}\) na jazyk \(L\). Obráceně, \(\mathcal{A}^{\prime}\) je expanze struktury \(\mathcal{A}\) do jazyka \(L^{\prime}\).</p> <h3 id="definovatelné-množiny">Definovatelné množiny</h3> <p>Množiny, které lze v dané struktuře definovat.</p> <ol> <li> <p>Množina definovaná formulí \(\varphi\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)\) ve struktuře \(\mathcal{A}\) je množina</p> \[\varphi^{\mathcal{A}}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)=\left\{\left(a_{1}, \ldots, a_{n}\right) \in A^{n} \mid \mathcal{A} \models \varphi\left[e\left(x_{1} / a_{1}, \ldots, x_{n} / a_{n}\right)\right]\right\} .\] <p>Zkráceně se dá \(x_{1}, \ldots, x_{n}\) zapsat jako \(\bar{x}\), obdobně pro \(a\). Číslo \(n\) je potom \(\|\bar{x}\|\).</p> </li> <li> <p>Množina definovaná formulí \(\varphi(\bar{x}, \bar{y})\) s parametry \(\bar{b} \in A^{\|\bar{y}\|}\) ve struktuře \(\mathcal{A}\) je</p> \[\varphi^{\mathcal{A}, \bar{b}}(\bar{x}, \bar{y})=\left\{\bar{a} \in A^{\|\bar{x}\|} \mid \mathcal{A} \models \varphi[e(\bar{x} / \bar{a}, \bar{y}, \bar{b})]\right\} .\] </li> <li> <p>Pro strukturu \(\mathcal{A}\), množinu \(B \subseteq A\) a \(n \in \N\) označme \(\operatorname{Df}^{n}(\mathcal{A}, B)\) třídu všech množin \(D \subseteq A^{n}\) definovatelných ve struktuře \(\mathcal{A} \mathrm{s}\) parametry z \(B\).</p> </li> </ol> <h2 id="tablo-metoda-v-predikátové-logice">Tablo metoda v predikátové logice</h2> <p>Předpoklady:</p> <ol> <li> <p>Dokazovaná formule \(\varphi\) je sentence. Není-li \(\varphi\) sentence, můžeme ji nahradit za její generální uzávěr \(\varphi^{\prime}\), nebot pro každou teorii \(T\) platí</p> \[T \models \varphi \Leftrightarrow T \models \varphi^{\prime} .\] </li> <li> <p>Dokazujeme z teorie v uzavřeném tvaru, tj. každý axiom je sentence. Nahrazením každého axiomu \(\psi\) za jeho generální uzávér \(\psi^{\prime}\) zíkáme ekvivalentní teorii, nebot pro každou strukturu \(\mathcal{A}\) (daného jazyka \(L\) ),</p> \[\mathcal{A} \models \psi \Leftrightarrow \mathcal{A} \models \psi^{\prime} .\] </li> <li> <p>Jazyk \(L\) je spočetný. Pak každá teorie nad \(L\) je spočetná. Označme \(L_{C}\) rozšíření jazyka \(L\) o nové konstantní symboly \(c_{0}, c_{1}, \ldots\) (početně nekonečně mnoho). Platí, že konstantních termů jazyka \(L_{C}\) je spočetně. Nechť’ \(t_{i}\) označuje \(i\)-tý konstantní term (v pevně zvoleném očíslování).</p> </li> </ol> <p>Nová atomická tabla, kde \(\varphi\) je libovolná formule jazyka \(L_{C}\) ve volné proměnné \(x, t\) je libovolný konstantní term jazyka \(L_{C}\) a \(c\) je nový konstantní symbol z \(L_{C} \backslash L\).</p> <p>(#) Pokud mám formuli \(T(\forall x) \varphi(x)\) nebo \(F(\exists x) \varphi(x)\), za \(x\) zvolím libovolný konstantní term \(t\) a “zruším” kvantifikátor. Pravdivostní hodnota zůstává zachována.</p> <p>(*) Pokud mám formuli \(F(\forall x) \varphi(x)\) nebo \(T(\exists x) \varphi(x)\), za \(x\) dosadím novou konstantu \(c\) a “zruším” kvantifikátor. Pravdivostní hodnota zůstává zachována. Konstantní symbol \(c\) reprezentuje svědky položek, do kterých je dosazuji.</p> <h3 id="tablo-z-teorie-1">Tablo z teorie</h3> <p>Konečné tablo z teorie \(T\) je binární, položkami značkovaný strom daný předpisem</p> <ul> <li>každé atomické tablo je konečné tablo z \(T\), přičemž v případě \((*)\) lze použít libovolný konstantní symbol \(c \in L_{C} \subseteq L\),</li> <li>je-li \(P\) položka na větvi \(V\) konečného tabla z \(T\), pak připojením atomického tabla pro \(P\) na konec větve \(V\), vznikne rovněž konečné tablo z \(T\), přičemž v případě \((*)\) lze použít konstantní symbol \(c \in L_{C} \backslash L\), který se dosud nevyskytuje na \(V\),</li> <li>je-li \(V\) větev konečného tabla (z \(T)\) a \(\varphi \in \mathrm{T}\), pak připojením \(T \varphi\) na konec \(V\) vznikne rovněž konečné tablo z \(T\),</li> <li>každé konečné tablo vznikne konečným užitím předchozích pravidel.</li> </ul> <p>Tablo z teorie \(T\) je posloupnost konečných tabel z \(T\) takových, že další tablo vznikne z předchozího pomocí pravidla číslo 2 nebo 3.</p> <p>Položku, dle které tablo prodlužujeme, nebudeme na větev znovu zapisovat kromě případů \((\#)\)</p> <h3 id="tablo-důkaz-1">Tablo důkaz</h3> <p>Vlastnosti tabla a tablo důkazu</p> <ul> <li>Větev \(V\) tabla \(\tau\) je sporná, obsahuje-li položky \(T \varphi\) a \(F \varphi\) pro nějakou sentenci \(\varphi\), jinak je bezesporná.</li> <li>Tablo \(\tau\) je sporné, pokud každá jeho větev je sporná.</li> <li>Tablo důkaz sentence \(\varphi\) z teorie \(T\) je sporné tablo z \(T\) s položkou \(F \varphi\) v kořeni.</li> <li>Sentence \(\varphi\) je (tablo) dokazatelná z teorie \(T\), píšeme \(T \vdash \varphi\), má-li tablo důkaz z \(T\).</li> <li>Zamítnutí sentence \(\varphi\) tablem z teorie \(T\) je sporné tablo z \(T\) s položkou \(T \varphi\) v kořeni.</li> <li>Sentence \(\varphi\) je (tablo) zamítnutelná z teorie \(T\), má-li zamítnutí tablem z \(T\), tj. \(T \vdash \neg \varphi\).</li> </ul> <h3 id="dokončené-tablo">Dokončené tablo</h3> <p>Chceme, aby dokončená bezesporná větev poskytovala protipříklad.</p> <p>Výskyt položky \(P\) ve vrcholu \(v\) tabla \(\tau\) je \(i\)-tý, pokud \(v\) má \(\mathrm{v} \tau\) právě \(i-1\) předků označených \(P\) a je redukovaný na větvi \(V\) skrze \(v\), pokud</p> <ul> <li>\(P\) není tvaru (#) a \(P\) se vyskytuje na \(V\) jako kořen atomického tabla, tj. při konstrukci \(\tau\) již došlo \(\mathrm{k}\) rozvoji \(P\) na \(V\), nebo</li> <li>\(P\) je tvaru (#), má \((i+1)\)-ní výskyt na \(V\) a zároveň se na \(V\) vyskytuje \(T \varphi\left(x / t_{i}\right)\) resp. \(F \varphi\left(x / t_{i}\right)\), kde \(t_{i}\) je \(i\)-tý konstantní term jazyka \(L_{C}\).</li> </ul> <p>Nechť \(V\) je větev tabla \(\tau\) z teorie \(T\). Řekneme, že větev \(V\) je dokončená, je-li sporná, nebo každý výskyt položky na \(V\) je redukovaný na \(V\) a navíc obsahuje \(T \varphi\) pro každé \(\varphi \in T\). Rekneme, že tablo \(\tau\) je dokončené, pokud je každá jeho větev dokončená.</p> <h3 id="konstrukce-systematického-tabla">Konstrukce systematického tabla</h3> <p>Nechť \(R\) je položka \(\tau\) a \(T=\left\{\varphi_{0}, \varphi_{1}, \ldots\right\}\) je (konečná i nekonečná) teorie.</p> <ol> <li>Za \(\tau_{0}\) vezmi atomické tablo pro \(R\). \(V\) případě \((*)\) vezmi lib. \(c \in L_{C} \backslash L\), v případě () za \(t\) vezmi term \(t_{1}\). Dokud to lze, aplikuj následující kroky.</li> <li>Nechť \(v\) je nejlevější vrchol v co nejmenší úrovni již daného tabla \(\tau_{n}\) obsahující výskyt položky \(P\), který není redukovaný na nějaké bezesporné větvi skrze \(v\). (Neexistuje-li \(v\), vezmi \(\tau_{n}^{\prime}=\tau_{n}\) a jdi na (4).)</li> <li><br /> <strong>a.</strong> Není-li \(P\) tvaru (#), za \(\tau_{n}^{\prime}\) vezmi tablo vzniklé \(\mathrm{z} \tau_{n}\) přidáním atomického tabla pro \(P\) na každou bezespornou větev skrze \(v\). V případě \(\left({ }^{*}\right)\) za \(c\) vezmi \(c_{i}\) pro co nejmenší možné \(i\).<br /> <strong>b.</strong> Je-li \(P\) tvaru (#) a ve \(v\) má \(i\)-tý výskyt, ta \(\tau_{n}^{\prime}\) vezmi tablo vzniklé z \(\tau_{n}\) připojením atomického tabla pro \(P\) na každou bezespornou větev skrze \(v\), přičemž za \(t\) vezmi term \(t_{i}\).</li> <li>Za \(\tau_{n+1}\) vezmi tablo vzniklé z \(\tau_{n}^{\prime}\) přidáním \(T \varphi_{n}\) na každou bezespornou větev neobsahující \(T \varphi_{n}\). (Neexistuje-li \(\varphi_{n}\), vezmi \(\tau_{n+1}=\tau_{n}^{\prime}\).)</li> </ol> <p>Systematické tablo z \(T\) pro \(R\) je výsledkem uvedené konstrukce.</p> <h2 id="axiomy-rovnosti">Axiomy rovnosti</h2> <p>Axiomy rovnosti pro jazyk \(L\) s rovností jsou</p> <ul> <li>\(x=x\),</li> <li>\(x_{1}=y_{1} \wedge \cdots \wedge x_{n}=y_{n} \rightarrow f\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)=f\left(y_{1}, \ldots, y_{n}\right)\) pro každý \(n\)-ární funkční symbol \(f\) jazyka \(L\),</li> <li>\(x_{1}=y_{1} \wedge \cdots \wedge x_{n}=y_{n} \rightarrow\left(R\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right) \rightarrow R\left(y_{1}, \ldots, y_{n}\right)\right)\) pro každý \(n\)-ární relační symbol \(R\) jazyka \(L\) včetně \(=\).</li> </ul> <p>Tablo důkaz z teorie \(T\) jazyka \(L\) s rovností je tablo důkaz z teorie \(T^{*}\), kde \(T^{*}\) je rozšír̃ení teorie \(T\) o axiomy rovnosti pro \(L\) (resp. jejich generální uzávěry).</p> <h3 id="kongruence-a-faktostruktura">Kongruence a faktostruktura</h3> <p>Nechť \(\sim\) je ekvivalence na \(A, f: A^{n} \rightarrow A\) a \(R \subseteq A^{n}\), kde \(n \in \N\). Pak \(\sim\) je</p> <ul> <li>kongruence pro funkci \(f\), pokud pro každé \(x_{1}, \ldots, x_{n}, y_{1}, \ldots, y_{n} \in A\) platí</li> </ul> \[x_{1} \sim y_{1} \wedge \cdots \wedge x_{n} \sim y_{n} \Rightarrow f\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right) \sim f\left(y_{1}, \ldots, y_{n}\right),\] <ul> <li>kongruence pro relaci \(R\), pokud pro každé \(x_{1}, \ldots, x_{n}, y_{1}, \ldots, y_{n} \in A\) platí</li> </ul> \[x_{1} \sim y_{1} \wedge \cdots \wedge x_{n} \sim y_{n} \Rightarrow\left(R\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right) \Leftrightarrow R\left(y_{1}, \ldots, y_{n}\right)\right) .\] <p>Nechť ekvivalence \(\sim\) ma \(A\) je kongruence pro každou funkci i relaci struktury \(\mathcal{A}=\left\langle A, \mathcal{F}^{A}, \mathcal{R}^{A}\right\rangle\). Faktostruktura (podilová struktura) struktury \(\mathcal{A}\) dle \(\sim\) je struktura \(\mathcal{A} / \sim=\left\langle A / \sim, \mathcal{F}^{A / \sim}, \mathcal{R}^{A / \sim}\right\rangle\), kde \(f^{A / \sim}\left(\left[x_{1}\right]_{\sim}, \ldots,\left[x_{n}\right]_{\sim}\right)=\left[f^{A}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)\right]_{\sim}\) a \(R^{A / \sim}\left(\left[x_{1}\right]_{\sim}, \ldots,\left[x_{n}\right]_{\sim}\right) \Leftrightarrow R^{A}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)\) pro každé \(f \in \mathcal{F}, R \in \mathcal{R}\) a \(x_{1}, \ldots, x_{n} \in A\), tj. funkce a relace jsou definované z \(\mathcal{A}\) pomocí reprezentantů.</p> <h2 id="kanonický-model">Kanonický model</h2> <p>\(\mathrm{Z}\) bezesporné větve \(V\) dokončeného tabla vyrobíme model, který se shoduje s \(V\). Vyjdeme z dostupných syntaktických objektů - konstantních termů.</p> <p>Nechť \(V\) je bezesporná větev dokončeného tabla teorie \(T\) jazyka \(L=\langle\mathcal{F}, \mathcal{R}\rangle\). Kanonický model z větve \(V\) je \(L_{C}\)-struktura \(\mathcal{A}=\left\langle A, \mathcal{F}^{A}, \mathcal{R}^{A}\right\rangle\), kde</p> <ul> <li>\(A\) je množina všech konstantních termů jazyka \(L_{C}\),</li> <li>\(f^{A}\left(s_{1}, \ldots, s_{n}\right)=f\left(s_{1}, \ldots, s_{n}\right)\) pro každý \(n\)-ární funkční symbol \(f \in \mathcal{F} \cup\left(L_{C} \backslash L\right)\) a \(s_{1}, \ldots, s_{n} \in A\)</li> <li>\(R^{A}\left(s_{1}, \ldots, s_{n}\right) \Leftrightarrow T R\left(s_{1}, \ldots, s_{n}\right)\) je položka na \(V\) pro každý \(n\)-ární relační symbol \(R \in\) \(\mathcal{R}\) čí rovnost a \(s_{1}, \ldots, s_{n} \in A\).</li> </ul> <p><strong>Poznámka:</strong> Výraz \(f\left(s_{1}, \ldots, s_{n}\right)\) ve druhém bodě je konstantní term jazyka \(L_{C}\), tedy prvek z \(A\).</p> <h3 id="kanonický-model-s-rovností">Kanonický model s rovností</h3> <p>Je-li jazyk \(L\) s rovností, \(T^{*}\) označuje rozšíření \(T\) o axiomy rovnosti pro \(L\).</p> <p>Požadujeme-li, aby rovnost byla interpretována jako identita, kanonický model \(\mathcal{A}\) z bezesporné větve \(V\) dokončeného tabla \(T^{*}\) musíme faktorizovat dle \(=^{A}\).</p> <p>Dle třetí definice, v modelu \(\mathcal{A}\) z \(V\) pro relaci \(=^{A}\) platí, že pro každé \(s_{1}, s_{2} \in A\),</p> \[s_{1}={ }^{A} s_{2} \Leftrightarrow T\left(s_{1}=s_{2}\right) \text { je položka na } V .\] <p>Jelikož je \(V\) dokončená a obsahuje axiomy rovnosti, relace \(=^{A}\) je ekvivalence na \(A\) a navíc kongruence pro všechny funkce a relace \(\mathrm{v} \mathcal{A}\).</p> <p>Kanonický model s rovností z větve \(V\) je faktostruktura \(\mathcal{A} /=^{A}\).</p> <h3 id="extenze-o-definovaný-relační-symbol">Extenze o definovaný relační symbol</h3> <p>Nechť \(T\) je teorie jazyka \(L, \psi\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)\) je formule jazyka \(L\) ve volných proměnných \(x_{1}, \ldots, x_{n}\) a \(L^{\prime}\) je rozšíření \(L\) o nový \(n\)-ární relační symbol \(R\).</p> <p>Extenze teorie \(T\) o definici \(R\) formulí \(\psi\) je teorie \(T^{\prime}\) vzniklá přidáním axiomu</p> \[R\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right) \leftrightarrow \psi\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right) .\] <p>Každý model teorie \(T\) lze jednoznačně expandovat na model \(T^{\prime}, T^{\prime}\) je potom konzervativní extenze \(T\).</p> <h3 id="extenze-o-definovaný-funkční-symbol">Extenze o definovaný funkční symbol</h3> <p>Nechť \(T\) je teorie jazyka \(L\) a pro formuli \(\psi\left(x_{1}, \ldots, x_{n}, y\right)\) jazyka \(L\) ve volných proměnných \(x_{1}, \ldots, x_{n}, y\) platí</p> \[\begin{aligned} &amp;T \models(\exists y) \psi\left(x_{1}, \ldots, x_{n}, y\right) \text { (existence) } \\ &amp;T \models \psi\left(x_{1}, \ldots, x_{n}, y\right) \wedge \psi\left(x_{1}, \ldots, x_{n}, z\right) \rightarrow y=z \text { (jednoznačnost) } \end{aligned}\] <p>Označíme \(L^{\prime}\) rozšíření \(L\) o nový \(n\)-ární funkční symbol \(f\).</p> <p>Extenze teorie \(T\) o definici \(f\) formulí \(\psi\) je teorie \(T^{\prime}\) vzniklá přidáním axiomu</p> \[f\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)=y \leftrightarrow \psi\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right) .\] <p>Každý model teorie \(T\) lze jednoznačně expandovat na model \(T^{\prime}, T^{\prime}\) je potom konzervativní extenze \(T\).</p> <h3 id="extenze-o-definice">Extenze o definice</h3> <p>Teorie \(T^{\prime}\) jazyka \(L^{\prime}\) je extenze teorie \(T\) jazyka \(L\) o definice, pokud vznikla z \(T\) postupnou extenzí o definici relačního či funkčního symbolu.</p> <h3 id="ekvisplnitelnost">Ekvisplnitelnost</h3> <p>Problém splnitelnosti lze redukovat na otevřené teorie.</p> <ul> <li>Teorie \(T, T^{\prime}\) jsou ekvisplnitelné, jestliže \(T\) má model \(\Leftrightarrow T^{\prime}\) má model.</li> <li>Formule \(\varphi\) je v prenexním (normálním) tvaru \((P N F)\), má-li tvar \(\left(Q_{1} x_{1}\right) \ldots\left(Q_{n} x_{n}\right) \varphi^{\prime}\), kde \(Q_{i}\) značí kvantifikátor, proměnné \(x_{1}, \ldots, x_{n}\) jsou navzájem různé a \(\varphi^{\prime}\) je otevřená formule, zvaná otevřené jádro. \(\left(Q_{1} x_{1}\right) \ldots\left(Q_{n} x_{n}\right)\) je prefix.</li> <li>Speciálně, jsou-li všechny kvantifikátory \(\forall\), je \(\varphi\) univerzální formule.</li> </ul> <p>K teorii \(T\) nalezneme ekvisplnitelnou teorii následovně:</p> <ol> <li>Axiomy \(T\) nahradíme za ekvivalentní formule v prenexním tvaru.</li> <li>Pomocí nových funkčních symbolů je převedeme na univerzální formule, tzv. Skolemovy varianty, čímž dostaneme ekvisplnitelnou teorii.</li> <li>Jejich otevřená jádra tvoří hledanou teorii.</li> </ol> <h3 id="vytýkání-kvantifikátorů">Vytýkání kvantifikátorů</h3> <p>Pro každé formule \(\varphi, \psi\) takové, že \(x\) není volná ve formuli \(\psi\),</p> \[\begin{aligned} &amp;\models \neg(Q x) \varphi \leftrightarrow(\bar{Q} x) \neg \varphi \\ &amp;\models((Q x) \varphi \wedge \psi) \leftrightarrow(Q x)(\varphi \wedge \psi) \\ &amp;\models((Q x) \varphi \vee \psi) \leftrightarrow(Q x)(\varphi \vee \psi) \\ &amp;\models((Q x) \varphi \rightarrow \psi) \leftrightarrow(\bar{Q} x)(\varphi \rightarrow \psi) \\ &amp;\models(\psi \rightarrow(Q x) \varphi) \leftrightarrow(Q x)(\psi \rightarrow \varphi) \end{aligned}\] <h2 id="skolemova-varianta">Skolemova varianta</h2> <p>Nechť \(\varphi\) je sentence jazyka \(L\) v prenexním normálním tvaru, \(y_{1}, \ldots, y_{n}\) jsou existenčně kvantifikované proměnné ve \(\varphi\) (v tomto pořadí) a pro každé \(i \leq n\) nechť \(x_{1}, \ldots, x_{n_{i}}\) jsou univerzálně kvantifikované proměnné před \(y_{i}\). Označme \(L^{\prime}\) rozšírení \(L\) o nové \(n_{i}\)-ární symboly \(f_{i}\) pro každé \(i \leq n .\)</p> <p>Nechť \(\varphi_{S}\) je formule jazyka \(L^{\prime}\), jež vznikne z formule \(\varphi\) odstraněním \(\left(\exists y_{i}\right)\) z jejího prefixu a nahrazením každého výskytu proměnné \(y_{i}\) za term \(f_{i}\left(s_{1}, \ldots, x_{n_{i}}\right)\). Pak formule \(\varphi_{S}\) se nazývá Skolemova varianta formule \(\varphi\).</p> <h3 id="redukce-nesplnitelnosti-na-úroveň-vl">Redukce nesplnitelnosti na úroveň VL</h3> <p>Je-li otevřená teorie nesplnitelná, lze to “doložit na konkrétních prvcích”. Doložení má podobu nesplnitelných konjunkcí konečně mnoha instancí (některých) axiomů teorie \(T\) v konstantních termech.</p> <h3 id="herbrandův-model">Herbrandův model</h3> <p>Nechť’ \(L=\langle\mathcal{R}, \mathcal{F}\rangle\) je jazyk s alespoň jedním konstantním symbolem. (Pokud je třeba, co \(L\) přidáme nový.)</p> <ul> <li>Herbrandovo universum pro \(L\) je množina všech konstantních termů z \(L\).</li> <li>Struktura \(\mathcal{A}\) pro \(L\) je Herbrandova struktura, je-li doména \(A\) Herbrandovo universum pro \(L\) a pro každý \(n\)-ární funkční symbol \(f \in \mathcal{F}\) a \(t_{1}, \ldots, t_{n} \in A, f^{A}\left(t_{1}, \ldots, t_{n}\right)=\) \(f\left(t_{1}, \ldots, t_{n}\right)\). (Na rozdíl od kanonické struktury nejsou předepsané relace.)</li> <li>Herbrandův model teorie \(T\) je Herbrandova struktura, jež je modelem \(T\).</li> </ul> <h3 id="rezoluční-metoda-v-predikátové-logice">Rezoluční metoda \(v\) predikátové logice</h3> <p>Stručný popis RM v PL:</p> <ul> <li>Zamítací procedura, cílem je ukázat, že daná formule je nesplnitelná.</li> <li>Předpokládá otevřené formule v <strong>CNF</strong> (množinové reprezentaci).</li> </ul> <h3 id="substituce">Substituce</h3> <p>Vlastnosti substitucí:</p> <ul> <li>Substituce je konečná množina \(\sigma=\left\{x_{1} / t_{1}, \ldots, x_{n} / t_{n}\right\}\), kde \(x_{i}\) jsou navzájem různé proměnné a \(t_{i}\) jsou termy, přičemž \(t_{i}\) není \(x_{i}\).</li> <li>Jsou-li všechny termy \(t_{i}\) konstantní, je \(\sigma\) základní substituce.</li> <li>Jsou-li \(t_{i}\) navzájem různé proměnné, je \(\sigma\) přejmenování proměnných.</li> <li>Výraz je literál nebo term.</li> <li>Instance výrazu \(E\) při substituci \(\sigma = \{ x_{1}/t_{1},\ldots,x_{n}/t_{n} \}\) je výraz \(E\sigma\) vzniklý z \(E\) současným nahrazením všech výskytů proměnných \(x_{i}\) za \(t_{i}\).</li> <li>Pro množinu výrazů \(S\) označme \(S \sigma\) množinu instancí \(E \sigma\) výrazů \(E\) z \(S\).</li> </ul> <p>Zadefinujeme \(\sigma \tau\) tak, aby \(E(\sigma \tau)=(E \sigma) \tau\) pro každý výraz \(E\).</p> <h3 id="unifikace">Unifikace</h3> <p>Nechť \(S=\left\{E_{1}, \ldots, E_{n}\right\}\) je konečná množina výrazů.</p> <ul> <li>Unifikace pro \(S\) je substituce \(\sigma\) taková, že \({ }_{1} \sigma=E_{2} \sigma=\cdots=E_{n} \sigma\), tj. So je singleton.</li> <li>\(S\) je unifikovatelná, pokud má unifikaci.</li> <li>Unifikace \(\sigma\) pro \(S\) je nejobecnější unifikace (mgu), pokud pro každou unifikaci \(\tau\) pro \(S\) existuje substituce \(\lambda\) taková, že \(\tau=\sigma \lambda\).</li> </ul> <h3 id="obecné-rezoluční-pravidlo">Obecné rezoluční pravidlo</h3> <p>Nechť klauzule \(C_{1}, C_{2}\) neobsahují stejnou proměnnou a jsou ve tvaru</p> \[C_{1}=C_{1}^{\prime} \sqcup\left\{A_{1}, \ldots, A_{n}\right\}, C_{2}=C_{2}^{\prime} \sqcup\left\{\neg B_{1}, \ldots, \neg B_{m}\right\},\] <p>kde \(S=\left\{A_{1}, \ldots, A_{n}, B_{1}, \ldots, B_{m}\right\}\) lze unifikovat a \(n, m \geq 1\). Pak klauzule \(C=C_{1}^{\prime} \sigma \cup C_{2}^{\prime} \sigma\), kde \(\sigma\) je nejobecnější unifikace pro \(S\), je rezolventa klauzulí \(C_{1}\) a \(C_{2}\).</p> https://blackblog.cz/linearni-algebra-II/ 2022-03-08T00:00:00+01:00 2022-03-08T00:00:00+01:00 Jan Černý <p>Pokud naleznete nějakou chybu, můžete jí opravit pomocí tlačítka <em>edit</em>.</p> <blockquote> <p>Shout out Míše Loudové za použití těchto poznámek jako zdroj do své <a href="https://theses.cz/id/6y0uzo/Loudova_Michaela_2023_BP.pdf">bakalářské práce</a>.</p> </blockquote> <ul id="markdown-toc"> <li><a href="#skalární-součin" id="markdown-toc-skalární-součin">Skalární součin</a> <ul> <li><a href="#komplexně-sdružené-číslo" id="markdown-toc-komplexně-sdružené-číslo">Komplexně sdružené číslo</a></li> <li><a href="#skalární-součin-nad-r" id="markdown-toc-skalární-součin-nad-r">Skalární součin nad \(\R\)</a></li> <li><a href="#skalární-součin-nad-c" id="markdown-toc-skalární-součin-nad-c">Skalární součin nad \(\C\)</a></li> <li><a href="#jednoznačnost-obrazů-báze-vzhledem-ke-skalárnímu-součinu" id="markdown-toc-jednoznačnost-obrazů-báze-vzhledem-ke-skalárnímu-součinu">Jednoznačnost obrazů báze vzhledem ke skalárnímu součinu</a> <ul> <li><a href="#známé-normy" id="markdown-toc-známé-normy">Známé normy</a></li> </ul> </li> </ul> </li> <li><a href="#ortogonální-a-ortonormální-systémy" id="markdown-toc-ortogonální-a-ortonormální-systémy">Ortogonální a ortonormální systémy</a> <ul> <li><a href="#fourierovy-koeficienty" id="markdown-toc-fourierovy-koeficienty">Fourierovy koeficienty</a></li> <li><a href="#gramova-schmitzova-ortogonalizace" id="markdown-toc-gramova-schmitzova-ortogonalizace">Gramova-Schmitzova ortogonalizace</a> <ul> <li><a href="#příklad-projekce-na-přímku-při-standardním-skalárním-součinu" id="markdown-toc-příklad-projekce-na-přímku-při-standardním-skalárním-součinu">Příklad projekce na přímku při standardním skalárním součinu</a></li> </ul> </li> <li><a href="#metoda-nejmenších-čtverců" id="markdown-toc-metoda-nejmenších-čtverců">Metoda nejmenších čtverců</a> <ul> <li><a href="#příklady-ortogonálních-matic" id="markdown-toc-příklady-ortogonálních-matic">Příklady ortogonálních matic</a></li> <li><a href="#givensova-matice" id="markdown-toc-givensova-matice">Givensova matice</a></li> </ul> </li> </ul> </li> <li><a href="#determinant" id="markdown-toc-determinant">Determinant</a> <ul> <li><a href="#determinant-horní-trojúhelníkové-matice" id="markdown-toc-determinant-horní-trojúhelníkové-matice">Determinant horní trojúhelníkové matice</a></li> <li><a href="#determinant-transpozice" id="markdown-toc-determinant-transpozice">Determinant transpozice</a></li> <li><a href="#vlastnosti-determinantů" id="markdown-toc-vlastnosti-determinantů">Vlastnosti determinantů</a></li> <li><a href="#determinantská-složitost" id="markdown-toc-determinantská-složitost">Determinantská složitost</a></li> </ul> </li> <li><a href="#vlastní-čísla" id="markdown-toc-vlastní-čísla">Vlastní čísla</a></li> <li><a href="#diagonalizovatelnost" id="markdown-toc-diagonalizovatelnost">Diagonalizovatelnost</a> <ul> <li><a href="#vlastnosti-diagonalizovatelných-matic" id="markdown-toc-vlastnosti-diagonalizovatelných-matic">Vlastnosti diagonalizovatelných matic</a> <ul> <li><a href="#příklad-matice-v-jordanově-normální-formě" id="markdown-toc-příklad-matice-v-jordanově-normální-formě">Příklad matice v Jordanově normální formě</a></li> <li><a href="#příklad-mocninné-matice" id="markdown-toc-příklad-mocninné-matice">Příklad mocninné matice</a></li> </ul> </li> </ul> </li> <li><a href="#positivně-semi-definitní-matice" id="markdown-toc-positivně-semi-definitní-matice">Positivně (semi-)definitní matice</a></li> </ul> <h2 id="skalární-součin">Skalární součin</h2> <div class="definition-block"><p class="definition-label"><b>Definice</b></p> <p>Standardní skalární součin \(x,y \in \R^{n}\) je definován jako</p> \[x^{T}y = \sum_{i=1}^{n} x_{i}y_{i}\] <p>Geometrické vyjádření:</p> \[X^{T}Y = \| x \| . \| y \| . \cos(\phi)\] <p>Kdy \(\phi\) je úhel svírající vektory \(x\) a \(y\).</p> <p><img src="/assets/img/matfyz/lingebra-II/geometricka-reprezentace-skalarniho-soucinu.png" alt="Geometrická reprezentace skalárního součinu" /></p> </div> <p><strong>Vlastnosti:</strong></p> <ul> <li>\(X^TX = \sum_{i=1}^n \geq 0\)\(\)</li> <li>velikost vektoru \(\left\| \vec{x} \right\| = \sqrt{x^Tx}\)</li> <li>symetrie \(x^Ty = y^Tx\)</li> <li>lineární po složkách \((x + x')^Ty = x^Ty + x'^Ty\) a \((\alpha x)^Ty = \alpha(x^Ty)\) ale neplatí \((x + x')^T(y+y') \neq x^Ty + x'^Ty'\)</li> </ul> <p>V prostoru \(\R^{m \times n}\) :</p> \[\langle A,B \rangle = \sum_{i = 1}^{m} \sum_{j = 1}^{n} a_{ij}b_{ij} = \text{trace}(AB^T)\] <h3 id="komplexně-sdružené-číslo">Komplexně sdružené číslo</h3> <p>Komplexně sdružené číslo k číslu \(a+bi\) je \(\overline{a+bi} = a - bi\)</p> <h3 id="skalární-součin-nad-r">Skalární součin nad \(\R\)</h3> <p>Buď \(V\) je vektorový prostor nad \(\R\). Pak skalární součin je zobrazení \(\langle\ \cdot , \cdot \rangle : V^2 \rightarrow \R\), splňující pro všechna \(x,y,z \in V\) a \(\alpha \in \R\):</p> <ul> <li>\(\langle x,x \rangle \geq 0\) a rovnost nastane pouze pro \(x = 0\)</li> <li>\(\langle x+y,z \rangle = \langle x,z \rangle + \langle y,z \rangle\)\(\)</li> <li>\(\langle \alpha x,y \rangle = \alpha \langle x,y \rangle\)\(\)</li> <li>\(\langle x,y \rangle = \langle y,x \rangle\)\(\) <ul> <li>\(\langle x, \alpha y + \beta z \rangle = \alpha \langle x,y \rangle + \beta \langle x,z \rangle\)\(\)</li> </ul> </li> </ul> <h3 id="skalární-součin-nad-c">Skalární součin nad \(\C\)</h3> <p>Buď \(V\) je vektorový prostor nad \(\C\). Pak skalární součin je zobrazení \(\langle\ \cdot , \cdot \rangle : V^2 \rightarrow \C\), splňující pro všechna \(x,y,z \in V\) a \(\alpha \in \C\):</p> <ul> <li>\(\langle x,x \rangle \geq 0\) a rovnost nastane pouze pro \(x = 0\)</li> <li>\(\langle x+y,z \rangle = \langle x,z \rangle + \langle y,z \rangle\)\(\)</li> <li>\(\langle \alpha x,y \rangle = \alpha \langle x,y \rangle\)\(\)</li> <li>\(\langle x,y \rangle = \overline{\langle y,x \rangle}\)\(\)</li> </ul> <p>Není lineární ve druhé složce.</p> <h3 id="jednoznačnost-obrazů-báze-vzhledem-ke-skalárnímu-součinu">Jednoznačnost obrazů báze vzhledem ke skalárnímu součinu</h3> <p>\(B = \{ z_1, z_2, ... , z_n \}\) báze prostoru \(V\) nad \(\R\).<br /> \(x,y \in V\): \(x = \sum_{i=1}^{n} \alpha_i z_i\) a \(y = \sum_{j=1}^{n} \beta_j z_j\) pro určité \(\{ \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n \} \cup \{ \beta_1, \beta_2, ..., \beta_n \} \in \R\)</p> \[\langle x,y \rangle = \left\langle \sum_{i=1}^{n} \alpha_i z_i , \sum_{j=1}^{n} \beta_j z_j \right\rangle = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} \alpha_i \beta_j \langle z_i,z_j \rangle\] <p>\(\implies\) skalární součin je jednoznačně určený hodnotami součinů všech bazických vektorů.<br /> (hodnoty si ale můžeme zvolit libovolně na rozdíl od lineárního zobrazení)</p> <div class="definition-block"><p class="definition-label"><b>Definice</b></p> <h3 id="norma-indukovaná-skalárním-součinem">Norma indukovaná skalárním součinem</h3> <p>je definovaná:</p> \[\left\| x \right\| := \sqrt{\langle x,x \rangle} \text{ kde } x \in V\] <p>Pro normální skalární součin v \(\R^n\): Euklidovská norma \(\left\| x \right\| = \sqrt{\sum_{i=1}^n x_i^2}\)</p> </div> <div class="definition-block"><p class="definition-label"><b>Definice</b></p> <h3 id="kolmost">Kolmost</h3> <p>Vektory \(x,y \in V\) jsou <strong>kolmé</strong>, tak</p> \[\langle x,y \rangle = 0\] <p>Značíme \(x \perp y\)</p> </div> <div class="theorem-block"><p class="theorem-label"><b>Věta</b></p> <h3 id="pythagorova-věta">Pythagorova věta</h3> <p>Pokud \(x,y \in V\) jsou kolmé, tak</p> \[\left\| x + y \right\|^2 = \left\| x \right\| ^2 = \left\| y \right\| ^2\] <p class="proof-label"><b>Důkaz</b></p> <p>\( \left\| x + y \right\|^2 = \langle x+y,x+y \rangle = \langle x,x \rangle + \overbrace{\langle x,y \rangle}^{0} + \overbrace{\langle x,y \rangle}^{0} + \langle y,y \rangle = \langle x,x \rangle + \langle y,y \rangle = \left\| x \right\|^2 + \left\| x \right\|^2 \)</p> </div> <div class="theorem-block"><p class="theorem-label"><b>Věta</b></p> <h2 id="couchyho-schwartzova-nerovnost">Couchyho-Schwartzova nerovnost</h2> <p>Pro každé \(x,y \in V\) platí</p> \[\left\| \langle x,y \rangle \right\| \leq \left\| x \right\| . \left\| y \right\|\] <p class="proof-label"><b>Důkaz</b></p> <p>(reálná verze)</p> <p>Pro \(y=0\) platí zřejmě.<br /> Předpokládejme, že \(y \neq 0\) a funkci \(f\), kdy \(f(t) = \langle x + ty,x+ ty \rangle \geq 0\).</p> <p>Pak</p> \[f(t) = \langle x,x \rangle + t\langle x,y \rangle + t\langle y,x \rangle + t^2\langle y,y \rangle = \\ \langle x,x \rangle + 2t\langle x,y \rangle + t^2\langle y,y \rangle\] <p>Funkce \(f\) je všude nezáporná \(\implies\) nemůže mít dva kořeny \(\implies\) diskriminant je nekladný</p> \[D = 4t^2\langle x,y \rangle - 4t^2\langle x,x \rangle\langle y,y \rangle \leq \langle x,y^2 \rangle \langle x,x \rangle\langle y,y \rangle \leq 0\] \[\Downarrow\] \[\begin{align*} \langle x,y \rangle^{2} &amp; \leq \langle x,x \rangle \langle y,y \rangle \\ \lvert x,y \rvert &amp;\leq \| x \| \cdot \| y \| \end{align*}\] </div> <div class="theorem-block"><p class="theorem-label"><b>Věta</b></p> <h3 id="trojúhelníková-nerovnost">Trojúhelníková nerovnost</h3> <p>Pro každé \(x,y \in V\) platí:</p> \[\lVert x + y \rVert \leq \lVert x \rVert + \lVert y \rVert\] <p class="proof-label"><b>Důkaz</b></p> <p>\(\lvert x + y \rvert ^2 =\)<br /> \(\langle x + y, x + y \rangle =\)<br /> \(\langle x,x \rangle~+~\langle y,y \rangle~+~\langle x,y \rangle~+~\langle y,x \rangle =\)<br /> \(\langle x,x \rangle + \langle y,y \rangle + \overbrace{\langle x,y \rangle + \overline{\langle x,y \rangle}}^{2Re(\langle x,y \rangle)} =\)<br /> \(\langle x,x, \rangle + 2Re(\langle x,y \rangle) \leq\)<br /> \(\langle x,x \rangle + \langle y,y \rangle + 2\left\|\langle x,y \rangle \right\| \leq\)<br /> \(\lvert x \rvert ^2 + \lvert y \rvert ^2 + 2\lvert x \rvert \cdot \lvert y \rvert =\)<br /> \(\left( \lvert x \rvert . \lvert y \rvert \right)^2\)</p> </div> <div class="definition-block"><p class="definition-label"><b>Definice</b></p> <p>Buď \(V\) vektorový prostor nad \(\R\) nebo \(\C\). Pak norma je zobrazeni \(\|\cdot\|: V \rightarrow \R\) splňující:</p> <ol> <li>\(\left\| x \right\| \geq 0\) pro všechna \(x \in V\), a rovnost pauze pro \(x \neq 0\)</li> <li>\(\left\|\alpha x\right\| = \left\| \alpha \right\| \cdot \left\|x\right\|\) pro všechna \(x \in V\) a pro všechna \(\alpha \in \R\) resp. \(\alpha \in \C\)</li> <li>\(\left\| x+y \right\| \leq \left\|x\right\| + \left\| y \right\|\)\(\)</li> </ol> </div> <div class="lemma-block"><p class="lemma-label"><b>Tvrzení</b></p> <p>Norma indukovaná skalárním součinem je normou.</p> <p class="proof-label"><b>Důkaz</b></p> <ol> <li>z definice</li> <li>\(\left\| \alpha x \right\| = \sqrt{ \langle \alpha x, \alpha x \rangle} = \sqrt{ \alpha \overline{\alpha} \langle x,x \rangle} = \sqrt{ \alpha \overline{\alpha}} \sqrt{\langle x, x\rangle} = |\alpha| \cdot \|x\|\)</li> <li>vyplývá z trojúhelníkové nerovnosti</li> </ol> </div> <div class="lemma-block"><p class="lemma-label">Lemma</p> <h3 id="rovnoběžné-pravidlo">Rovnoběžné pravidlo</h3> <p>Pro normu indukovanou skalárním součinem platí:</p> \[\| x - y \|^{2} + \| x + y \|^{2} = 2\| x \|^{2} + 2\| y \|^{2}\] </div> <div class="definition-block"><p class="definition-label"><b>Definice</b></p> <h3 id="metrika">Metrika</h3> <p>Metriku na množině \(M\) definujeme jako zobrazení \(d: M^{2} \rightarrow \R\) splňující:</p> <ol> <li>\(d(x,y) \geq 0\), rovnost pouze pro \(x=y\)</li> <li>\(d(x,y) = d(y,x)\)</li> <li>\(d(x,z) \leq d(x,y) + d(y,z)\)</li> </ol> </div> <h4 class="no_toc" id="poznámka">Poznámka</h4> <p>Každá norma určuje metriku předpisem:</p> \[d(x, y) := \left\| x-y \right\|\] <p>Tedy vzdálenost vektorů \(x,y\) se zavádí jako velikost jejich rozdílů.</p> <div class="definition-block"><p class="definition-label"><b>Definice</b></p> <p>Pro \(p=1,2,\ldots\) definujeme \(p\)-normu vektoru \(x \in \R^{n}\) jako \(\left\| x \right\|_{p} = \left(\sum_{i=1}^{n} \lvert x_{i} \rvert^p \right)^{\frac{1}{p}}\).</p> </div> <h4 id="známé-normy">Známé normy</h4> <table> <tbody> <tr> <td>\(p=1\)</td> <td>Součtová norma</td> <td>\(\left| x \right|_{1} = \sum^{n}_{i=1} \lvert x_{i} \rvert\)</td> <td><img src="/assets/img/matfyz/lingebra-II/p1-norma.png" alt="p=1 norma" /></td> </tr> <tr> <td>\(p=2\)</td> <td>Euklidovská norma</td> <td>\(\left| x \right|_{2} = \sqrt{\sum^{n}_{i=1} x_{i}^{2}}\)</td> <td><img src="/assets/img/matfyz/lingebra-II/p2-norma.png" alt="p=2 norma" /></td> </tr> <tr> <td>\(p=\infty\)</td> <td>Maximorá norma</td> <td>\(\left| x \right|_{\infty} = \max_{i=1,...,n} \lvert x_{i} \rvert\)</td> <td><img src="/assets/img/matfyz/lingebra-II/pinf-norma.png" alt="p=inf norma" /></td> </tr> </tbody> </table> <hr /> <h2 id="ortogonální-a-ortonormální-systémy">Ortogonální a ortonormální systémy</h2> <div class="definition-block"><p class="definition-label"><b>Definice</b></p> <p>Systém vektorů \(z_{1}, \ldots, z_{n}\) je</p> <ul> <li><strong>Ortogonální</strong> pokud je \(\forall i,j: \langle z_{i},z_{j} \rangle = 0\)</li> <li><strong>Ortonormální</strong> pokud je ortogonální a \(\forall i: \left\| z_{i} \right\| = 1\)</li> </ul> </div> <ul> <li>Je-li \(z_{1},\ldots,z_{n}\) nenulové a ortogonální, pak \(\frac{1}{\| z_{1} \|}z_{1}, \ldots, \frac{1}{\| z_{n} \|}z_{n}\) je ortonormální.</li> <li>Je-li systém ortogonální a neobsahuje nulový vektor, potom je také lineárně nezávislý.</li> </ul> <div class="lemma-block"><p class="lemma-label"><b>Tvrzení</b></p> <p>Je-li systém \(z_{1}, \ldots, z_{n}\) ortonormální, pak je lineárně nezávislý.</p> <p class="proof-label"><b>Důkaz</b></p> <p>\(\langle\sum_{i=1}^{n} \alpha_{i} z_{i}, z_{k}\rangle = \langle 0, z_{k}\rangle = 0\)<br /> \(\langle\sum_{i=1}^{n} \alpha_{i} z_{i}, z_{k}\rangle = \sum_{i=1}^{n} \alpha_{i} \langle z_{i}, z_{k} \rangle = 0\)</p> </div> <h3 id="fourierovy-koeficienty">Fourierovy koeficienty</h3> <div class="theorem-block"><p class="theorem-label"><b>Věta</b></p> <p>Buď \(z_{1}, \cdots, z_{n}\) ortonormální báze prostoru \(V\). Pak pro každé \(x \in V\) platí:</p> \[\underbrace{ x = \sum^{n}_{i=1}\hspace{-2em} \overbrace{\langle x, z_{i} \rangle}^{\text{Fourierovy~koeficienty\\}}\hspace{-2em} z_{i} }_{\text{Fourierův~rozvoj}}\] <p class="proof-label"><b>Důkaz</b></p> <p>\(x = \sum^{n}_{i=1} \alpha_{i}z_{i} \rightarrow\) lineární kombinace<br /> \(\langle x, z_{k} \rangle = \sum^{n}_{i=1} \langle x, z_{i} \rangle z_{k} = \alpha_{k} \langle z_{k}, z_{k} \rangle = \alpha_{k}\)\(\)</p> <p>Představuje projekci na bazické vektory</p> </div> <h3 id="gramova-schmitzova-ortogonalizace">Gramova-Schmitzova ortogonalizace</h3> <p><strong>Algoritmus:</strong><br /> Vstup: lineárně nezávislé vektory \(x_{1}, \ldots, x_{n} \in V\)</p> <blockquote> <ol> <li>for \(k:=1\) to \(n\)</li> <li>\(\quad y_{k} := x_{k} - \sum^{k-1}_{j=1} \langle x_{k},z_{j} \rangle z_{j}\) // nakolmíme odečtením projekce do podprostoru</li> <li>\(\quad z_{k} := \frac{y_{k}}{\left\| y_{k} \right\|}\)</li> <li>end for</li> </ol> </blockquote> <p>Výstup: \(z_{1},\ldots, z_{n}\) ortonormální báze prostoru \(span\{x_{1},\ldots,x_{n}\}\)</p> <div class="proof-block"><p class="proof-label"><b>Důkaz</b></p> <p>Matematickou indukcí:</p> <ol> <li>\(n=1\)\(\)</li> <li>Indukční předpoklad: \(z_{1}, \ldots, z_{n-1}\) je ortonormální bází \(span\{x_{1},\ldots,x_{n-1}\}\), \(y_{n}\) je nenulové z lineární nezávislosti, je dobře definovaná a má jednotkovou délku pak už jen dokážeme, že je kolmý a že tvoří bázi.</li> </ol> </div> <div class="lemma-block"><p class="lemma-label"><b>Tvrzení</b></p> <h4 id="důsledek-existence-ortonormální-báze">Důsledek: Existence ortonormální báze</h4> <p>Každý konečně generovaný prostor se skalárním součinem má ortogonální bázi.</p> <p class="proof-label"><b>Důkaz</b></p> <p>Každý má bázi a tu můžeme Gram-Schmitzem ortogonalizovat.</p> </div> <div class="lemma-block"><p class="lemma-label">Tvrzení</p> <h4 id="důsledek-rozšíření-ortonormálních-systémů-na-ortonormální-bázi">Důsledek: Rozšíření ortonormálních systémů na ortonormální bázi</h4> <p>Každý ortonormální systém vektorů v konečně generovaném prostoru lze rozšířit na ortonormální bázi.</p> </div> <div class="theorem-block"><p class="theorem-label"><b>Věta</b></p> <p>Buď \(z_{1},\ldots,z_{n}\) ortonormální systém ve \(V\) a buď \(x \in V\).</p> <p><strong>Besselova nerovnost</strong>:</p> \[\| x \|^{2} \geq \sum^{n}_{j=1} \lvert \langle x_{j},z_{j} \rangle \rvert\] <p><strong>Parsevalova rovnost</strong>:</p> \[\| x \|^{2} = \sum^{n}_{j=1} \lvert \langle x_{j},z_{j} \rangle \rvert \iff x \in span\{z_{1},\ldots, z_{n}\}\] </div> <div class="lemma-block"><p class="lemma-label"><b>Tvrzení</b></p> <p>Buď \(B=\{z_{1},\ldots,z_{n}\}\) báze prostoru \(V\). Pak</p> \[\langle x,y \rangle := [x]^{T}_{B} \overline{[y]}_{B}\] <p>Je skalárním součinem a báze \(B\) je v něm ortonormální bází:</p> <p class="proof-label"><b>Důkaz</b></p> <p>Stačí ověřit z definic:</p> <ol> <li>\(\langle x,x \rangle = [x]^{T}_{B}\overline{[x]}_{B} \geq 0\)\(\)</li> <li>linearita v první složce vyplývá z linearity souřadnic</li> <li>symetrie také ze symetrie souřadnic</li> </ol> <p>Příklad:<br /> \(A := _{B}[id]_{kan}\)\(\)<br /> \(\langle x,y \rangle = [x]^{T}_{B}[y]_{B} = [x]^{T}_{kan} {\text{}}_{B}[id]^{T} {}_{B}[id] [y]_{kan} = x^{T}A^{T}A_{y}\)</p> </div> <ul> <li>\(\langle \cdot , \cdot \rangle\) je skalární součin \(\equiv\) je tvaru \(\langle x,y \rangle = [x]^{T}_{B} \overline{[y]}_{B}\) pro nějakou ortogonální bázi \(B\)</li> <li>Každý skalární součin je standardní skalární součin při pohledu z libovolné ortonormální báze</li> <li>Analogicky pro normu:</li> </ul> \[\| x \| = \left\| [x]_{B} \right\|_{2} = \sqrt{[x]^{T}_{B}\overline{[x]}_{B}}\] <div class="definition-block"><p class="definition-label"><b>Definice</b></p> <h3 id="definice-ortogonální-báze">Definice ortogonální báze</h3> <p>Projekce vektoru \(x \in V\) do podprostoru \(U \Subset V\) je takový vektor \(x_{_{U}} \in U\), který splňuje</p> \[\| x - x_{_{U}} \| = \min_{y \in U} \| x - y \|\] </div> <div class="lemma-block"><p class="lemma-label"><b>Tvrzení</b></p> <h3 id="tvrzení-o-kolmici">Tvrzení o kolmici</h3> <p>Buď \(U \Subset V\), buď \(x \in V\) a \(y \in U\) takové, že \(x-y \in U^{\perp}\). Pak</p> \[\| x - y \| &lt; \| x - z \| \quad \forall z \in U \setminus \{y\}\] <p>Tedy vektor \(y\) je jednoznačnou projekcí vektoru \(x\) do \(U\).</p> <p class="proof-label"><b>Důkaz</b></p> <p>z předpokladu \((x-y)\perp(y-z)\)<br /> využitím Pythagorovy věty \(\| x-z \|^{2} = \| x - y \|^{2} + \| y-z \|^{2} \geq \| x - y \|^{2}\)<br /> rovnost nastane jen pro \(y=z\) protože \(0\) je norma jen pro nulový vektor.</p> </div> <div class="theorem-block"><p class="theorem-label"><b>Věta</b></p> <p>Buď \(U \Subset V\). Pak pro každé \(x \in V\) existuje právě jedna projekce \(x_{_{U}} \in U\) do podprostoru \(U\).</p> <p>Navíc jeli \(z_{1}, \ldots, z_{n}\) ortonormální báze \(U\) pak</p> \[x_{_U} = \sum^{n}_{i=1} \langle x,z_{i} \rangle z_{i}\] <p class="proof-label"><b>Důkaz</b></p> <p>Rozšíříme bázi \(U\) na bázi \(V\) \(z_{1},\ldots, z_{m}, z_{m+1},\ldots, z_{n}\)<br /> Definujeme \(y = \sum^{m}_{i=1} \langle x,z_{i} \rangle z_{i} \in U\) a ukážeme, že je projekcí</p> \[x - y = \sum^{n}_{i=1} \langle x,z_{i} \rangle z_{i} - \sum^{m}_{i=1} \langle x,z_i \rangle z_i = \sum^{n}_{i=n+1} \left\langle x,z_{i} \right\rangle z_{i} \in U^{\perp}\] <p><strong>Poznámka:</strong> Ortogonální projekce je lineární zobrazení</p> </div> <div class="definition-block"><p class="definition-label"><b>Definice</b></p> <p>Buď \(V\) vektorový prostor a \(U\) jeho podprostor. Pak <strong>projekcí</strong> \(x \in U\) rozumíme takový \(x_{U} \in U\), který splňuje</p> \[\| x - x_{U} \| = \min_{y \in U} \| x -y \|\] <p><img src="/assets/img/matfyz/lingebra-II/ortogonalni-projekce.png" alt="Ortogonální projekce" /></p> </div> <h4 class="no_toc" id="důsledek">Důsledek</h4> <p>Vektor \(y \in U\) je projekcí vektoru \(x \in V\) do podprostoru \(U\) právě tehdy, když \(x-y \in U^{\perp}\)</p> <div class="theorem-block"><p class="theorem-label"><b>Věta</b></p> <h3 id="věta-o-ortogonální-projekci">Věta o ortogonální projekci</h3> <p>Buď \(U\) podprostor \(V\). Pak pro \(\forall x in V\) existuje právě jedna projekce \(x_{0} \in U\) do \(U\).</p> <p>Navíc, je-li \(z_{1},\ldots, z_{m}\) ortonormální báze \(U\), pak</p> \[x_{_{U}} = \sum^{m}_{i=1} \langle x,z_{i} \rangle z_{i}\] <p class="proof-label"><b>Důkaz</b></p> \[x-x_{_{U}} = \sum^{n}_{i=1} \langle x,z_{i} \rangle z_{i} - \sum^{m}_{i=1} \langle x,z_{i} \rangle z_{i} \in U^{\perp}\] <ul> <li>\(y \in U\)\(\)</li> <li>\(x-x_{_{U}} \in U^{\perp}\)\(\)</li> <li>\(x_{_{U}} - y \in U\)\(\)</li> </ul> <p>Tudíž \((x - x_{_{0}}) \perp (x_{_{U}} - y)\). Použijeme pythagorovu větu:</p> \[\| x + y \|^{2} = \|(x - x_{_{U}}) + (x_{_{U}} - y) \|^{2} = \| x - x_{_{U}} \|^{2} + \| x_{_{U}} - y \| \geq \| x_{_{u}} \|^{2}\] </div> <h4 id="příklad-projekce-na-přímku-při-standardním-skalárním-součinu">Příklad projekce na přímku při standardním skalárním součinu</h4> <ul> <li>\(a \in \R^{n}\) je nenulový vektor a uvažujeme projekci \(x\) na přímku se směrnicí \(a\) (\(\implies\) do \(span\{a\}\))</li> <li>Ortogonální báze \(U = z = \frac{1}{\|a\|}a\)</li> </ul> \[x_{u} = \langle x,z \rangle z = \frac{1}{\| a \|^{2}} \langle x,a \rangle a = \frac{x^{T}a}{a^{T}a}a\] <div class="lemma-block"><p class="lemma-label"><b>Tvrzení</b></p> <p>Buď \(B\) ortonormální báze prostoru \(V\) se skalárním součinem. Pak</p> \[\langle x,y \rangle = [x]^{T}_{B}\overline{[y]}_{B} \quad \forall x,y \in V\] <p class="proof-label"><b>Důkaz</b></p> <p>Buď \(B = \{ z_{1}, \ldots, z_{n}\}\). Pak \([x]_{B} = (\langle x, z_{1} \rangle, \ldots, \langle x, z_{n} \rangle)^{T}\)</p> \[\langle x,y \rangle = \left\langle \sum^{n}_{j=1} \left\langle x,z_{j} \right\rangle z_{j}, y \right\rangle = \sum^{n}_{j=1} \langle x,z_{j} \rangle \overline{\langle y,z_{j} \rangle} = [x]^{T}_{B}\overline{[y]}_{B}\] </div> <div class="definition-block"><p class="definition-label"><b>Definice</b></p> <p>Buď \(V\) vektorový prostor a \(M \subseteq V\). <strong>Ortogonální doplněk</strong> množiny \(M\) je</p> \[M^{\perp} := \{x \in V; \langle x,y \rangle = 0 \quad \forall y \in M \}\] <p>Ortogonální doplněk prostoru = ortogonální doplněk báze</p> </div> <div class="lemma-block"><p class="lemma-label"><b>Tvrzení</b></p> <p>Buď \(V\) vektorový prostor a \(M,N \subseteq V\). Pak</p> <ol> <li>\(M^{\perp}\) je podprostor \(V\)</li> <li>je-li \(M \subseteq N\) pak \(M^{\perp} \subseteq N^{\perp}\)</li> <li>\(M^{\perp} = span(M)^{\perp}\)\(\)</li> </ol> <p class="proof-label"><b>Důkaz</b></p> <ol> <li>Ověřením vlastností podprostoru</li> <li>Buď \(x \in N^{\perp}\), tedy \(\langle x,y \rangle = 0 \; \forall y \in N \langle x,y \rangle = 0 \; \forall y \in M \subseteq N\) a proto \(x \in M^{\perp}\)</li> <li>\(M \subseteq span(M)\) a dle 2. \(M^{\perp} \subseteq span(M)^{\perp}\)\(\)</li> </ol> </div> <div class="theorem-block"><p class="theorem-label"><b>Věta</b></p> <h3 id="vlastnosti-ortogonálního-doplňku-podprostoru">Vlastnosti ortogonálního doplňku podprostoru</h3> <p>Buď \(U \Subset V\), buď \(z_{1},\ldots,z_{n}\) ortogonnální báze \(V\), a buď \(z_{1},\ldots, z_{n}, z_{n+1},\ldots, z_{m}\) její rozšíření na ortonormální bázi \(V\). Pak \(z_{n + 1}, \ldots, z_{m}\) je ortonormální báze \(U^{\perp}\)</p> <p class="proof-label"><b>Důkaz</b></p> <p>Stačí dokázat \(span\{z_{n+1},\ldots,z_m\} = U^{\perp}\).<br /> Inkluze “\(\supseteq\)” vezmeme Fourierův rozvoj - prvních \(m\) členů vypadne a zbude:</p> \[x = \sum^{m}_{i=n+1} \langle x,z \rangle z_{i} \in span\{z_{n + 1}, \ldots, z_{m}\}\] <p>Inkluze “\(\subseteq\)” Buď \(x \in span\{z_{n+1},\ldots,z_{m}\}\)</p> \[x = \sum^{m}_{i=n+1} \langle x,z \rangle z_{i} = \sum^{n}_{i=1} 0z_{i} + \sum^{m}_{i=n+1} \langle x,z_i \rangle z_{i}\] </div> <div class="theorem-block"><p class="theorem-label"><b>Věta</b></p> <h4 id="důsledek-vlastnosti-ortogonálního-doplňku-podprostoru">Důsledek: Vlastnosti ortogonálního doplňku podprostoru</h4> <p>Buď \(U \Subset V\). Potom platí</p> <ol> <li>\(\dim V = \dim U + \dim U^{\perp}\)\(\)</li> <li>\(V = U + U^{\perp}\)\(\)</li> <li>\(U \cap U^{\perp} = \{0\}\)\(\)</li> <li>\(U = (U^{\perp})^{\perp}\)\(\)</li> <li>Je-li \(z_{1},\ldots,z_{m}\) ortonormální báze \(U\), a je-li \(z_{1},\ldots,z_{m}, z_{m+1},\ldots, z_{n}\) její rozšíření na ortonormální bází \(V\), pak \(z_{m+1},\ldots,z_{n}\) je ortonormální báze \(U^{\perp}\).</li> </ol> <p class="proof-label"><b>Důkaz</b></p> <p><strong>2.</strong> \(dim V = n\),\(dim U = m\), \(dim U^{\perp} = n - m\)<br /> <strong>5.</strong> \(z_{m+1},\ldots,z_{n}\) je ortonormální systém. Chceme dokázat, že \(span\{z_{m+1},\ldots,z_{n}\} = U^{\perp}\)A</p> \[\forall x \in V: x = \sum^{n}_{i=1} \langle x,z_{i} \rangle z_{i}\] <p>Je-li \(x \in U^{\perp}\), pak \(\langle x,z_{i} \rangle = 0, \; i = 1 \ldots m\) a tudíž</p> \[x = \sum^{n}_{i=m+1} \langle x,z_{i} \rangle z_{i} \in span\{z_{m+1},\ldots,z_{n}\}\] </div> <div class="theorem-block"><p class="theorem-label"><b>Věta</b></p> <p>Buď \(A \in \R^{m \times n}\). Pak \(R(A)^{\perp} = Ker(A)\)</p> <p class="proof-label"><b>Důkaz</b></p> <p>\(R(A)^{\perp} = \left\{ \left( A_{1~*} \right)^{T}, \ldots \left( A_{m~*} \right)^{T}\right\}\)<br /> Tedy \(x \in R(A)^{\perp} \equiv x \perp\) na řádky \(A\)</p> </div> <h4 class="no_toc" id="důsledek-1">Důsledek</h4> <p>Buď \(A \in \R^{m \times n}\). Pak \(R(A) \oplus Ker(A) = \R^{n}\)</p> <div class="theorem-block"><p class="theorem-label"><b>Věta</b></p> <h3 id="větička-o-vlastnostech-matice-a-versus-ata">Větička o vlastnostech matice \(A\) versus \(A^{T}A\)</h3> <p>Buď \(A \in \R^{m \times n}\). Pak</p> <ol> <li>\(Ker(A^{T}A) = Ker(A)\)\(\)</li> <li>\(R(A^{T}A) = R(A)\)\(\)</li> <li>\(rank(A^{T}A) = rank(A)\)\(\)</li> </ol> <p class="proof-label"><b>Důkaz</b></p> <p><strong>1.</strong> Je-li \(x \in Ker(A)\), pak \(Ax = 0\) a tedy</p> \[A^{T}Ax = A^{T}0 = 0 \implies x \in Ker(A^{T}A)\] <p>obráceně</p> \[x \in Ker(A^{T}A) \rightarrow x^{T}A^{T}Ax = 0 \rightarrow (Ax)^{T}Ax = 0 \rightarrow (Ax)^{2} = 0\] <p><strong>2.</strong> vyřešíme \(R(A) = ker(A)^{\perp}\)<br /> <strong>3.</strong> Když jsou stejné řádky, potom mají stejnou dimenzi a i hodnost</p> </div> <div class="lemma-block"><p class="lemma-label"><b>Tvrzení</b></p> <h3 id="maticové-prostory-a-lineární-zobrazení">Maticové prostory a lineární zobrazení</h3> <p>Uvažujme lineární zobrazení \(f(x)=Ax\), kde \(A \in \R^{m \times n}\). Pokud definiční obor \(f(x)\) omezíme pouze na prostor \(R(A)\), dostaneme isomorfismus mezi \(R(A)\) a \(f(\R^{n})\).</p> <p class="proof-label"><b>Důkaz</b></p> <p>Buď \(x \in \R^{n}, R(A) \oplus Ker(A) = \R^{n}\), rozložíme na \(x=x_{r}+x_{k}\), kde \(x_{r} \in R(A)\) a \(x_{k} \in Ker(A)\). Pak</p> \[f(x) = Ax = A(x_{r} + x_{k}) = Ax_r + \overbrace{Ax_{k}}^{0} = Ax_{r}\] </div> <div class="theorem-block"><p class="theorem-label"><b>Věta</b></p> <p>Buď \(A \in \R^{m \times n}\) hodností \(n\). Pak je projekce vektoru \(x \in \R^{m}\) do sloupcového prostoru \(S(A)\)</p> \[x' = A(A^{T}A)^{-1}A^{T}x\] <p class="proof-label"><b>Důkaz</b></p> <p>Nejdříve dokážeme, že je dobře definován, pak \(x' \in S(A)\) a \(x - x' \in S(A)^{\perp}\)<br /> \(x' \in S(A)\), \(x' = Az\) pro \(z = \left(A^{T}A\right)^{-1}A^{T}x\)<br /> \(x-x' \in S(A)^{\perp} = R(A^{T})^{\perp} = Ker(A^{T}) \rightarrow\) vynásobíme s \(A^{T}(x - x') = 0\) (po úpravě)</p> </div> <div class="definition-block"><p class="definition-label"><b>Definice</b></p> <h3 id="matice-projekce-do-sa">Matice projekce do \(S(A)\)</h3> \[P := A(A^{T}A)^{-1}A^{T} ( = AA^{T} \text{ pro ortonormální bázi})\] <ul> <li>\(P\) je symetrická</li> <li>platí \(P^2 = P\)</li> <li>\(S(P) = S(A) \rightarrow rank(P) = rank(A)\)\(\)</li> </ul> </div> <div class="lemma-block"><p class="lemma-label">Tvrzení</p> <p>Matice \(P \in \R^{n \times n}\) je maticí projekce právě tehdy když je symetrická a \(P = P^2\).</p> <p>Příklad:<br /> Matice projekce \(P = a(a^{T}a)^{-1}a^{T}\)</p> \[Px = a(a^{T}a)^{-1}a^{T}x = \frac{a^{T}x}{a^{T}a}a\] <p>pokud \(a\) znormujeme, tak \(P = aa^{T}\).</p> </div> <div class="theorem-block"><p class="theorem-label"><b>Věta</b></p> <h3 id="ortogonální-projekce-do-doplňku">Ortogonální projekce do doplňku</h3> <p>Buď \(P \in \R^{n \times n}\) matice projekce do podprostoru \(V \Subset \R^{n}\). Pak \(I - P\) je maticí projekce do \(V^{\perp}\)</p> <p class="proof-label"><b>Důkaz</b></p> <p>\(\forall x \in \R^{n}\) platí \(x = y + z\) kde \(y \in V\) a \(z \in V^{\perp}\).<br /> Zde \(y\) je projekce \(x\) do \(V\) a \(z\) projekce \(x\) do \(V^{\perp}\)</p> </div> <h3 id="metoda-nejmenších-čtverců">Metoda nejmenších čtverců</h3> \[\min_{x \in \R^{n}} \left\| Ax - b \right\|^{2}_{2} = \min_{x \in \R^{n}} \sum^{n}_{i=1} \left( A_{i~*}x - b_{i} \right)^{2}\] <p>přenásobíme \(A^{T}\)</p> \[A^{T}Ax = A^{T}b\] <div class="theorem-block"><p class="theorem-label"><b>Věta</b></p> <p>Množina přibližných řešení soustavy \(Ax=b\) metodou nejmenších čtverců je neprázdná a rovna množině řešení normálních rovnic.</p> <p class="proof-label"><b>Důkaz</b></p> <p>Hledáme projekci \(b\) do podprostoru \(S(A)\).<br /> Projekce je tvaru \(Ax\), kde \(x \in \R^{n}\).<br /> Víme, že \(Ax\) je projekcí \(\equiv Ax-b \in S(A)^{T} - Ker(A)^{T}\)<br /> \(\implies A^{T}(Ax - b) = 0 \implies A^{T}Ax = A^{T}b\).</p> </div> <h4 class="no_toc" id="důsledek-2">Důsledek</h4> <p>Buď \(A \in R^{m \times n}\) hodnosti \(n\). Pak přibližné řešení soustavy \(Ax=b\) metodou nejmenších čtverců je jednoznačné a tvaru</p> \[x^{*} = (A^{T}A)^{-1}A^{T}b\] <div class="definition-block"><p class="definition-label"><b>Definice</b></p> <p>Matice \(Q \in \R^{n}\) je <strong>ortogonální</strong> pokud \(Q^{T}Q = I_{n}\) (\(Q^{-1} = Q^{T})\)<br /> Matice \(Q \in \R^{n}\) je <strong>unitární</strong>, pokud \(\overline{Q^{T}}Q = I_{n}\)</p> </div> <div class="lemma-block"><p class="lemma-label"><b>Tvrzení</b></p> <h3 id="charakterizace-ortogonálních-matic">Charakterizace ortogonálních matic</h3> <p>Matice \(Q \in \R^{n \times n}\) je ortogonální právě tehdy když sloupce \(Q\) tvoří ortonormální bázi \(\R^{n}\).</p> <p class="proof-label"><b>Důkaz</b></p> \[(Q^{T}Q)_{ij} = \langle Q_{*i}, Q_{*j} \rangle = \begin{cases} 1 &amp; i = j\\ 0 &amp; i \neq j \end{cases}\] </div> <div class="lemma-block"><p class="lemma-label">Tvrzení</p> <p>Buď \(Q \in \R^{n \times n}\) ortogonální. Pak</p> <ol> <li>\(Q^{T}\) je ortogonální</li> <li>\(Q^{-1}\) existuje a je ortogonální</li> </ol> </div> <div class="lemma-block"><p class="lemma-label"><b>Tvrzení</b></p> <h3 id="součin-ortogonálních-matic">Součin ortogonálních matic</h3> <p>Jsou-li \(Q_{1},Q_{2} \in \R^{n \times n}\) ortogonální, pak \(Q_{1}Q_{2}\) je taky ortogonální.</p> <p class="proof-label"><b>Důkaz</b></p> \[(Q_{1}Q_{2})^{T}(Q_{1}Q_{2}) = Q^{T}_{2}Q^{T}_{1}Q_{1}Q_{2} = Q^{T}_{2}Q_{2} = I_{n}\] </div> <h4 id="příklady-ortogonálních-matic">Příklady ortogonálních matic</h4> <ul> <li>\(I_{n}\) a k ní opačná \(-I_{n}\)</li> <li><strong>Housenholderova matice</strong>: \(H(a) := I_{n} - \frac{2}{a^{T}a}\), kde \(0 \neq a \in \R^{n}\) (zrcadlení dle nadroviny)</li> <li><strong>Givensova matice</strong>: matice otáčení v rovině dvou os</li> <li>Matice otáčení kolem osy \(2\frac{aa^{T}}{a^{T}a} - I_{n}\)</li> </ul> <h4 class="no_toc" id="poznámka-1">Poznámka</h4> <p>každou ortogonální matici řádu \(n\) lze vyjádřit jako součin maximálně \(n\) Hesenholderových matic</p> <h4 id="givensova-matice">Givensova matice</h4> <p>pro \(n=2\)</p> \[\begin{pmatrix} \cos \phi &amp; -\sin \phi \\ \sin \phi &amp; cos \phi \end{pmatrix}\] <p>otočí \(\phi\) protisměru hodinových ručiček, kde \(\cos^{2} \phi + \sin^{2} \phi = 1\). Pro větší \(n\) doplňujeme jednotkovými maticemi.</p> <h4 class="no_toc" id="poznámka-2">Poznámka</h4> <p>Každou ortogonální matici řádu \(n\) lze vyjádřit jako součin max \(\binom{n}{2}\) Givensových matic.</p> <div class="theorem-block"><p class="theorem-label"><b>Věta</b></p> <p>Buď \(Q \in \R^{n \times n}\) ortogonální. Pak</p> <ol> <li>\(\langle Qx,Qy \rangle = \langle x,y \rangle\) pro každé \(x,y \in \R^{n}\)</li> <li>\(\| Qx \| = \| x \|\) pro každé \(x \in \R^{n}\) (kdy i rozšířená matice o 1 řád je ortogonální)</li> </ol> <p class="proof-label"><b>Důkaz</b></p> <ol> <li>\(\langle Qx Qy \rangle = \left( Qx \right)^{T} Qy - x^{T}Q^{T}Qy = x^{T}I_{n}y = x^{T} = \langle x,y \rangle\)\(\)</li> <li>\(\| Q_{x} \| = \sqrt{\left\langle Qx, Qx \right\rangle} - \sqrt{\left\langle x,x \right\rangle} = \|x\|\)\(\)</li> </ol> <p>\(\implies\) zobrazení \(x \rightarrow Qx\) zachová úhly a délky jen pro ortogonální matice</p> </div> <div class="theorem-block"><p class="theorem-label"><b>Věta</b></p> <p>Buď \(Q \in \R^{n \times n}\) ortogonální. Pak</p> <ol> <li>\(\lvert Q_{ij} \rvert \leq 1\) a \(\lvert Q^{-1}_{ij} \rvert \leq 1\) pro každé \(i,j=1,\ldots,n\)</li> <li>\(\begin{pmatrix} 1 &amp; 0 \\ 0 &amp; Q \end{pmatrix}^{T}\) je ortogonální amtice</li> </ol> <p class="proof-label"><b>Důkaz</b></p> <p>Buď \(z_{1},\ldots,z_{n}\) báze \(\R^{n}\), buď \(v \in \R^{n}\) a chceme \(v=\sum^{n}_{i=1} x_{i}z_{i}\)</p> </div> <h2 id="determinant">Determinant</h2> <div class="definition-block"><p class="definition-label"><b>Definice</b></p> <p><strong>Determinant</strong> zobrazení \(\lvert A \rvert\)</p> \[\det(A) = \sum_{\Pi \in S_{n}} sgn(\Pi) \prod^{n}_{i=1} a_{i~\Pi_{\left( i \right)}}\] <p>Celkový počet permutací je \(n!\)</p> </div> <h3 id="determinant-horní-trojúhelníkové-matice">Determinant horní trojúhelníkové matice</h3> <p>\(A \in \Pi^{n \times n}\) je horní trojúhelníková matice. Pak</p> \[\det(A) = a_{1~1} \cdot a_{2~2} \cdot \ldots \cdot a_{n~n}\] <h3 id="determinant-transpozice">Determinant transpozice</h3> \[\det(A^T) = \sum_{\Pi \in S_{n}} sgn(\Pi) \prod^{n}_{i=1} a_{i~\Pi_{\left( i \right)}} = \det(A)\] <h3 id="vlastnosti-determinantů">Vlastnosti determinantů</h3> <ul> <li>\(\det(A \cdot B) = \det(A) \cdot \det(B)\)\(\)</li> <li>\(\det(A^{-1}) = det(A)^{-1}\)\(\)</li> </ul> <h3 id="determinantská-složitost">Determinantská složitost</h3> <div class="theorem-block"><p class="theorem-label"><b>Věta</b></p> <p>Řádková linearita determinantu \(A \in \Pi^{n \times n}, b \in \Pi^{n}\). Potom pro každé \(i \leq n\) platí, že</p> \[\det(A + eb^{T}) = \det(A) + \det(A + e \cdot (b^{T} - A_{i~*}))\] </div> <div class="theorem-block"><p class="theorem-label"><b>Věta</b></p> <h3 id="výpočet-determinantu-pomocí-gaussovy-eliminace">Výpočet determinantu pomocí Gaussovy eliminace</h3> <ul> <li>Vynásobení \(i\)-tého řádku \(\alpha \in \Pi\)</li> </ul> \[\det(A') = \alpha\det(A)\] <ul> <li>Výměna \(i\)-tého a \(j\)-tého řádku</li> </ul> \[\det(A') = -\det(A)\] <ul> <li>Přičtení \(\alpha\) násobku \(j\)-tého řádku</li> </ul> \[\det(A') = \det(A)\] <p><strong>Důsledek:</strong><br /> Matice \(A\) je regulární právě tehdy když \(\det(A) \neq 0\)</p> </div> <div class="theorem-block"><p class="theorem-label"><b>Věta</b></p> <p>Laplacův rozvoj podle \(i\)-tého řádku \(A \in \Pi^{n \times n}\) \(n \geq 2\), pro každé \(i=1,\ldots,n\)</p> \[\det(A) = \sum^{n}_{j=1} (-1)^{i+j}a_{i~j} \det(A^{ij})\] </div> <div class="theorem-block"><p class="theorem-label"><b>Věta</b></p> <p>\(A \in \Pi^{n \times n}\) regulární, \(b \in \Pi^{n}\)</p> \[x_{i} = \frac{\det(A + ( b - A_{*~i})e_{i}}{\det(A)}~;~i=1,\ldots,n\] </div> <h4 class="no_toc" id="důsledek-3">Důsledek</h4> <p>Zobrazení \((A,b) \rightarrow A^{-1}b\) je spojité na definičním oboru regulárních matic.</p> <div class="theorem-block"><p class="theorem-label"><b>Věta</b></p> <p>Gaussovu eliminaci lze provádět tak, že k zápisu každé matice během výpočtu stačí pouze polynomiální počet bitů (v \(k\)).</p> </div> <div class="definition-block"><p class="definition-label"><b>Definice</b></p> <h3 id="adjungovaná-matice">Adjungovaná matice</h3> <p>Nechť \(A \in \Pi^{n \times n}, n \geq 2\).</p> \[adj(A)_{i~j} = (-1)^{i = j}\det(A^{j~i})~;~i,j = 1,\ldots,n\] <p>kde \(A^{ji}\) vznikne z \(A\) vynecháním \(j\)-tého řádku a \(i\)-tého sloupce.</p> </div> <div class="theorem-block"><p class="theorem-label"><b>Věta</b></p> \[A \Subset \Pi^{n \times n} \implies A adj(A) = \det(AI_{n})\] <h4 class="no_toc" id="důsledek">Důsledek</h4> <p>\(A \in \Pi^{n \times n}\) je regulární. Potom \(A^{-1} = \frac{1}{\det(A)}adj(A)\)</p> </div> <h2 id="vlastní-čísla">Vlastní čísla</h2> <div class="definition-block"><p class="definition-label"><b>Definice</b></p> <h3 id="vlastní-čísla-a-vlastní-vektory">Vlastní čísla a vlastní vektory</h3> <p>Buď \(A \in \C^{n \times n}\). Pak \(\lambda \in \C\) je <strong>vlastní číslo</strong> matice \(A\) a \(x \in \C^{n}\) jemu příslušný <strong>vlastní vektor</strong> pokud</p> \[Ax = \lambda x \land x \neq 0\] </div> <div class="theorem-block"><p class="theorem-label"><b>Věta</b></p> <p>Buď \(A \in \C^{n \times n}\). Pak</p> <p><strong>1.</strong> \(\lambda \in \C\) je vlastním číslem \(A\) právě tehdy když</p> \[\det(A - \lambda I_{n}) = 0\] <p><strong>2.</strong> \(x \in \C^{n}\) je příslušným vlastním vektorem právě tehdy, když</p> \[0 \neq x \in Ker(A -\lambda I_{n})\] </div> <div class="lemma-block"><p class="lemma-label">Tvrzení</p> <h4 id="vlastní-čísla-trojúhelníkové-matice">Vlastní čísla trojúhelníkové matice</h4> <p>Nechť \(A \in \C^{n \times n}\) je trojúhelníková matice. Pak její vlastní čísla jsou prvky na diagonále.</p> </div> <div class="definition-block"><p class="definition-label"><b>Definice</b></p> <p>Charakteristický polynom matice \(A \in \C^{n \times n}\) proměnné \(\lambda\) je</p> \[P_{A} = \det(A -\lambda I)\] </div> <div class="theorem-block"><p class="theorem-label"><b>Věta</b></p> <p>Vlastní čísla matice \(A \in \C^{n \times n}\) jsou právě kořeny jejího charakteristického polynomu \(P_{A}(\lambda)\) a je jich \(n\) včetně násobností.</p> </div> <div class="definition-block"><p class="definition-label"><b>Definice</b></p> <p>Buď \(\lambda \in \C\) vlastní číslo matice \(A \in \C^{n \times n}\).</p> <ol> <li><strong>Algebraická násobnost</strong> \(\lambda\) je rovna</li> <li><strong>Geometrická násobnost</strong> \(\lambda\) je rovna \(n - rank(A-\lambda I_{n})\), to je počtu lineárně nezávislých vlastních vektorů, které odpovídají \(\lambda\).</li> </ol> </div> <div class="lemma-block"><p class="lemma-label">Tvrzení</p> <h4 id="součin-a-součet-vlastních-čísel">Součin a součet vlastních čísel:</h4> <ol> <li>\(\det(A) = \lambda_{1} \cdot \ldots \cdot \lambda_{n}\)\(\)</li> <li>\(trace(A) = \lambda_{1} + \ldots + \lambda_{n}\)\(\)</li> </ol> </div> <p>A je regulární právě tehdy když \(0\) není její vlastní číslo.</p> <div class="lemma-block"><p class="lemma-label">Tvrzení</p> <p>Nechť \(A \in \C^{n \times n}\) má vlastní čísla \(\lambda_{1}, \ldots, \lambda\) a jim odpovídající vlastní vektory \(x_{1}, \ldots, x_{n}\). Pak</p> <ol> <li>je-li \(A\) regulární, pak A^{-1} má vlastní čísla \(\lambda^{-1}_{1}, \ldots \lambda^{-1}_{n}\) a vlastní vektory \(x_{1}, \ldots, x_{n}\)</li> <li>\(A^{2}\) má vlastní čísla \(\lambda^{2}_{1}, \ldots, \lambda^{2}_{n}\) a vlastní vektory \(x_{1}, \ldots, x_{n}\)</li> <li>\(\alpha A\) má vlastní čísla \(\alpha \lambda, \ldots, \alpha \lambda_{n}\) a vlastní vektory \(x_{1}, \ldots, x_{n}\)</li> <li>\(A + \alpha I_{n}\) má vlastní čísla \(\lambda_{1} + \alpha, \ldots, \lambda_{n}+ \alpha\) a \(x_{1}, \ldots, x_{n}\)</li> <li>\(A^{T}\) má vlastní čísla \(\lambda_{1}, \ldots, \ldots_{n}\), ale vlastní vektory obecně jiné.</li> </ol> </div> <p>Je-li \(\lambda \in \C\) vlastní číslo matice \(A \in \R^{n \times n}\) pak i komplexně sdružené \(\overline{\lambda}\) je vlastním číslem \(A\)</p> <div class="lemma-block"><p class="lemma-label"><b>Tvrzení</b></p> <p>Buď \(A \in \C^{n \times n}\). Je-li \(A\) regulární, pak</p> \[A^{-1} \in span\{I_{n}, A, \ldots, A^{n-1}\}\] <p>Tedy \(A^{-1}\) je lineární kombinací matic \(I_{n}, A, \ldots, A^{n-1}\).</p> <p class="proof-label"><b>Důkaz</b></p> <p>Víme, že \(A^{-1} = (-1)^{n}A^{n} + \alpha_{n-1}A^{n-1} + \ldots + \alpha_{1}A + \alpha_{0} I_{n} = 0\)<br /> Také víme, že \(\alpha_{0} = \det(A) \neq 0\).</p> \[I = -\frac{(-1)^{n}}{\alpha_{0}}A^{n} - \frac{\alpha_{n}-1}{\alpha_{0}}A^{n-1} + \ldots + -\frac{\alpha_{1}}{\alpha_{0}}A =\\ A\left(-\frac{(-1)^{n}}{\alpha_{0}}A^{n-1} - \frac{\alpha_{n}-1}{\alpha_{0}}A^{n-2} + \ldots + -\frac{\alpha_{1}}{\alpha_{0}}I_{n}\right)\] <p>Vynásobíme \(A^{-1}\)</p> \[A^{-1} = -\frac{(-1)^{n}}{\alpha_{0}}A^{n-1} - \frac{\alpha_{n-1}}{\alpha_{0}}A^{n-2}-\ldots - \frac{\alpha_{1}}{\alpha_{0}}I_{n}\] <p>Dá se díky tomu částečně dobře spočítat výsledek s nízkým počtem matic.</p> </div> <div class="definition-block"><p class="definition-label"><b>Definice</b></p> <p>Matice \(A,B \in \C^{n \times n}\) jsou podobné, pokud existují regulární \(S \in \C^{n \times n}\) tak, že</p> \[A = SBS^{-1} \equiv AS=SB\] </div> <div class="theorem-block"><p class="theorem-label"><b>Věta</b></p> <p>Podobné matice mají stejná vlastní čísla</p> <p class="proof-label"><b>Důkaz</b></p> <p>\(A = SBS^{-1}\\ \\ P_{A}(\lambda) = \\ \det(A - \lambda I_{n}) = \\ \det(SBS^{-1} - \lambda SIS^{-1}) = \\ \det\left( S \left( B - \lambda I_{n} \right) S^{-1} \right) = \\ \det(S) \cdot \det(B - \lambda I_{n}) \cdot \det(S^{-1}) = \\ \det(B - \lambda I_{n}) = P_{B}(\lambda)\)\(\)</p> </div> <div class="lemma-block"><p class="lemma-label"><b>Tvrzení</b></p> <p>Nechť \(A,B,C \in \C^{n \times n}\) jsou podobné a \(\lambda\) je jejich vlastní číslo. Pak počet vlastních vektorů pro \(\lambda\) je stejný u obou matic.</p> <p class="proof-label"><b>Důkaz</b></p> <p>\(A = SBS^{-1}\)<br /> \(dim(Ker(A-\lambda I_{n})) = n - rank(A- \lambda I_{n})\)<br /> \(rank(A - \lambda I_{n}) = rank(SBS^{-1} - \lambda I_{n}) = rank(S(B-\lambda I_{n})S^{-1}) = rank(B - \lambda I_{n})\)</p> </div> <div class="definition-block"><p class="definition-label"><b>Definice</b></p> <h3 id="spektrum-a-spektrální-poloměr">Spektrum a spektrální poloměr</h3> <p>Nechť \(A \in \C^{n \times n}\) má vlastní čísla \(\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{n}\). Pak</p> <ul> <li><strong>Spektrum matice</strong> a je množina vlastních čísel \(\{\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{n}\}\)</li> <li><strong>Spektrální poloměr</strong> je \(p(A) = \max_{i= 1, \dots, n} \lvert \lambda_{i} \rvert\)</li> </ul> </div> <div class="definition-block"><p class="definition-label"><b>Definice</b></p> <h3 id="matice-společnice">Matice společnice</h3> <p>Buď \(p(x) = x^{n} + a_{n-1}x{n-1}+ \ldots + a_{1}x + a_{0}\). Pak <strong>matice společnice</strong> polynomu \(p(x)\) je čtvercová matice řádu \(n\) definovaná</p> \[C(p) := \left( {\begin{array}{ccccc} 0 &amp; 0 &amp; \cdots &amp; 0 &amp; -a_{0} \\ 1 &amp; 0 &amp; \cdots &amp; 0 &amp; -a_{1} \\ 0 &amp; 1 &amp; \cdots &amp; 0 &amp; -a_{2} \\ \vdots &amp; \vdots &amp; \ddots &amp; \vdots &amp; \vdots \\ 0 &amp; 0 &amp; \cdots &amp; 1 &amp; -a_{n-1} \end{array} } \right)\] </div> <div class="theorem-block"><p class="theorem-label"><b>Věta</b></p> <h4 id="věta-o-matici-společnici">Věta o matici společnici</h4> <p>Platí \(P_{c_{(p)}}(\lambda) = (-1)^{n}p(\lambda)\).<br /> Tedy vlastní čísla matice \(C(p)\) odpovídají kořenům polynomu \(P(\lambda)\).</p> </div> <h2 id="diagonalizovatelnost">Diagonalizovatelnost</h2> <div class="definition-block"><p class="definition-label"><b>Definice</b></p> <p>Matice \(A \in \C^{n \times n}\) je diagonalizovatelná, pokud její podobná nějaká diagonální matici.</p> </div> <div class="theorem-block"><p class="theorem-label"><b>Věta</b></p> <h3 id="charakterizace-diagonalizovatelnosti">Charakterizace diagonalizovatelnosti</h3> <p>Matice \(\in \C^{n \times n}\) je diagonalizovatelná právě tehdy, když má \(n\) lineárně nezávislých vlastních vektorů.</p> <p class="proof-label"><b>Důkaz</b></p> <p>\(A = S\Lambda S^{-1} \implies AS = S\Alpha\)\(\)</p> \[AS_{*~j} = (AS)_{*~j} = SA_{*~j}=SA_{j~j}e_{j} = \Lambda_{j~j}S_{*~j}\] </div> <h3 id="vlastnosti-diagonalizovatelných-matic">Vlastnosti diagonalizovatelných matic</h3> <ul> <li>Algebraická a geometrická násobnost vlastních čísel je stejná</li> <li>Hodnost matice \(A\) je rovna počtu nenulových vlastních čísel \(A\)</li> </ul> <div class="lemma-block"><p class="lemma-label">Tvrzení</p> <p>Je-li \(A-S\Lambda S^{-1}\) spektrální rozklad matice \(A\), pak</p> \[A^{T} = S{-T}\Lambda S^{T}\] </div> <div class="lemma-block"><p class="lemma-label"><b>Tvrzení</b></p> <p>Buďte \(\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{n}\) navzájem různá čísla matice \(A \in \C^{n \times n}\). Pak odpovídající vlastní vektory \(x_{1},\ldots,x_{n}\) jsou lineárně nezávislé.</p> <p class="proof-label"><b>Důkaz</b></p> <p>Matematickou indukcí.</p> </div> <h4 class="no_toc" id="důsledek-4">Důsledek</h4> <p>Pokud matice \(A \in \C^{n \times n}\) má \(n\) navzájem různých vlastních čísel, pak je diagonalizovatelná.</p> <div class="definition-block"><p class="definition-label"><b>Definice</b></p> <h3 id="jordanova-buňka">Jordanova buňka</h3> <p>Buď \(\lambda \in \C, k \in \N\). Jordánova buňka \(J_{k}(\lambda)\) je čtvercová matice řádu \(k\) definovaná jako</p> \[J_{k}(\lambda) := \left( {\begin{array}{ccccc} \lambda &amp; 1 &amp; 0 &amp; \cdots &amp; 0 \\ 0 &amp; \lambda &amp; 1 &amp; \cdots &amp; 0 \\ \vdots &amp; \vdots &amp; \ddots &amp; \ddots &amp; \vdots \\ 0 &amp; 0 &amp; 0 &amp; \lambda &amp; 1 \\ 0 &amp; 0 &amp; 0 &amp; 0 &amp; \lambda \end{array} } \right)\] <p>Jordánova buňka má vlastní číslo \(\lambda\), které je \(k\)-násobné a přísluší mu pouze jednotkový vektor \(e=(1,0,\ldots,0)^{T}\)</p> </div> <div class="definition-block"><p class="definition-label"><b>Definice</b></p> <h3 id="jordánova-normální-forma">Jordánova normální forma</h3> <p>Matice \(J \in \C^{n \times n}\) je v Jordánově normální formě, pokud je v blokově diagonálním tvaru.</p> \[J = \left( {\begin{array}{ccccc} J_{k_{1}}(\lambda_{1}) &amp; 0 &amp; 0 &amp; \cdots &amp; 0 \\ 0 &amp; J_{k_{2}}(\lambda_{2}) &amp; \ddots &amp; \ddots &amp; \vdots \\ \vdots &amp; 0 &amp; \ddots &amp; \ddots &amp; 0 \\ \vdots &amp; \vdots &amp; \ddots &amp; \ddots &amp; 0 \\ 0 &amp; 0 &amp; \cdots &amp; 0 &amp; J_{k_{n}}(\lambda_{n}) \end{array} } \right)\] <p>a na diagonále jsou Jordánovy buňky \(J_{k_{1}}(\lambda_{1}),J_{k_{2}}(\lambda_{2}), \ldots, J_{k_{n}}(\lambda_{n})\). Pokud všechny Jordanovy buňky mají velikost 1, matice je diagonální.</p> </div> <div class="theorem-block"><p class="theorem-label"><b>Věta</b></p> <p>Každá matice \(A \in \C^{n \times n}\) je podobná matici v Jordánově normální formě. Tato matice je až na pořadí buněk určena přesně.</p> </div> <h4 class="no_toc" id="důsledek-5">Důsledek</h4> <p>Počet všech Jordánových buněk odpovídajících \(\lambda\) je roven počtu vlastních vektorů pro \(\lambda\).</p> <p>Násobnost vlastního čísla je větší nebo rovna počtu vlastních vektorů, které mu přísluší.</p> <h4 class="no_toc" id="poznámka-3">Poznámka</h4> <p>Počet buněk \(J_{k}(\lambda)\) matice \(A \in \C^{n \times n}\) ve výsledné Jordánově normální formě je roven \(rank(\widetilde{A}^{k-1}) -2rank(\widetilde{A}^{k}) + rank(\widetilde{A}^{k+1})\) kde \(\widetilde{A} = A - \lambda I_{n}\)</p> <h4 id="příklad-matice-v-jordanově-normální-formě">Příklad matice v Jordanově normální formě</h4> <p>Buď \(A \in \R{5 \times 5}\) a nechť \(rank(A-BI_{5}) = 3\)<br /> Jordanova buňka pro vlastní číslo \(8\) je \(5-3=2\)<br /> \(rank((A -BI_{5})^{2}) = rank((A-BI_{5})^{3})=2\) \(\implies\) jedna buňka velikosti \(1\) a jedna velikost \(2\)</p> <div class="definition-block"><p class="definition-label"><b>Definice</b></p> <p>Polynomiální matice a maticový polynom</p> \[\begin{pmatrix} \lambda^{2}-\lambda &amp; 2\lambda-3 \\ 7 &amp; 5\lambda^{2}-4 \end{pmatrix} = \lambda^{2} \begin{pmatrix} 1 &amp; 0 \\ 0 &amp; 5 \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} -1 &amp; 2 \\ 0 &amp; 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 &amp; -3 \\ 7 &amp; -4 \end{pmatrix}\] </div> <h4 id="příklad-mocninné-matice">Příklad mocninné matice</h4> <p>Buď \(A=SJS^{-1}\) Jordánůva normální forma matice \(A \in \C^{n \times n}\). Pak</p> \[A^{k} = SJ^{k}S^{-1}\] <p>\(J\) je blokově diagonální \(\implies\) stačí mocnit Jordanovy buňky.</p> \[\lim_{k \rightarrow \infty} A^{k} = \begin{cases} 0 &amp; p(A) &lt; 1 \\ \text{diverguje} &amp; p(A) &gt; 1 \\ \text{konverguje} &amp; p(A) = 1 \end{cases}\] <div class="definition-block"><p class="definition-label"><b>Definice</b></p> <h3 id="hermitovská-matice-a-transpozice">Hermitovská matice a transpozice</h3> <p>Hermitovská transpozice matice \(A \in \C^{n \times n}\) je matice \(A^{*} := A^{-T}\). Matice \(A \in \C^{n \times n}\) se nazývá hermitovská, pokud \(A^{*} = A\)</p> <p>Pokud je \(A\) reálná \(\implies A^{*}=A^{T}\).(Chová se stejně jako normální transpozice)</p> </div> <div class="theorem-block"><p class="theorem-label"><b>Věta</b></p> <p>Vlastní čísla reálných symetrických matic jsou reálná.</p> <p class="proof-label"><b>Důkaz</b></p> <p>Buď \(A \in \C^{n \times n}\) hermitovské, \(\lambda \in \C\) její vlastní čísla a \(x \in \C^{n}\) přísluší vlastnosti vektor.</p> \[\begin{align*} Ax &amp;= \lambda x / x^{*} \\ x^{*} &amp;= \lambda x^{*}x = \lambda \\ \lambda^{2} = x^{*}Ax &amp;= x^{*}A^{*}x = \lambda^{*} \\ \lambda &amp;= \overline{\lambda} \end{align*}\] <p>A to platí jen pro \(\lambda \in \R\)</p> </div> <div class="theorem-block"><p class="theorem-label"><b>Věta</b></p> <p>Buď \(A \in \C^{n \times n}\) a</p> \[P_{A}(\lambda) = \det(A -\lambda I_{n}) = (-1)^{n}\lambda^{n} + \alpha_{n-1}\lambda^{n-1}+\ldots+\alpha_{1}\lambda + \alpha_{0}\] <p>Pak</p> \[(-1)^{n}A^{n} + \alpha_{n-1}A^{n-1}+\ldots+\alpha_{1}A + \alpha_{0}I_{n} \implies P_{A}(A) = 0\] <p class="proof-label"><b>Důkaz</b></p> <p>Víme, že \((A -\lambda I_{n}) adj(A-\lambda I_{n}) = \det(A-\lambda I_{n})I_{n}\) a \(adj(A - \lambda I_{n}) = \lambda^{n-1}B_{n-1} + \ldots + \lambda B_{1} + B_{0}\) pro určité \(B_{i}\).</p> <p>Dosazením</p> \[(A - \lambda I_{n})(\lambda^{n-1}B_{n-1} + \ldots + \lambda B_{1} + B_{0}) =\\ (-1)^{n}\lambda^{n} + \alpha_{n-1}\lambda^{n-1} + \ldots + \alpha_{1}\lambda + \alpha_{0})I_{n}\] <p>vznikne</p> \[-B_{n-1}\lambda^{n} + (AB_{n-1} - B_{n-2})\lambda^{n-1} + \ldots + (AB_{1} - B_{0})\lambda + AB_{0} = \\ (-1)^{n}\lambda^{n}I_{n}+a_{n-1}\lambda^{n}I_{n} + \alpha_{n-1}\lambda{n-1} + \ldots + \alpha_{1}\lambda I_{n} + \alpha_{0}I_{n}\] <p>Porovnáme koeficient</p> \[\begin{align*} -B_{n-1} &amp;= (-1)^{n}I_{n} \\ AB_{j}-B &amp;= \alpha_{j}I_{n} \text{ pro } j=1,\ldots,n \\ AB_{0} &amp;= \alpha_{0}I_{n} \end{align*}\] <p>Vynásobíme postupně rovnice prvním \(A^{n}\) poslední \(A^{0}\). Sečteme a vyjde nám</p> \[0 = (-1)^{n}A^{n} + \alpha_{n-1}A^{n-1}+\ldots+\alpha_{1}A+\alpha_{0}I_{n}\] </div> <div class="lemma-block"><p class="lemma-label"><b>Tvrzení</b></p> <h4 class="no_toc" id="důsledek">Důsledek</h4> <p>Buď \(A \in \C^{n \times n}\). Pak pro každé \(k \in \N\) je</p> \[A^{k} \in span\{I_{n}, A, \ldots, A^{n+1}\}\] <p>tedy je jejich lineární kombinací.</p> <p class="proof-label"><b>Důkaz</b></p> <p>Stačí uvažovat \(k \geq n\)<br /> Vydělíme \(\lambda^{k}\) polynomem \(P_{A}(\lambda)\)<br /> \(\lambda^{k} = r(\lambda) P_{A}(\lambda)+S(\lambda)\)<br /> kde \(S(\lambda)\) je zbytek \(b_{n-1}\lambda^{n-1}+\ldots+b_{1}\lambda+b_{0}\) s dosazením matic</p> \[A^{k} = \underbrace{r(A)P_{A}(A)}_{=0}+ S(A) = S(A)\] </div> <h2 id="positivně-semi-definitní-matice">Positivně (semi-)definitní matice</h2> <div class="definition-block"><p class="definition-label"><b>Definice</b></p> <p>Buď \(A \in \R^{n \times n}\) symetrická/ Pak \(A\) je positivně semi-definitní, pokud \(x^{T}Ax \geq 0\) pro všechna \(x \in \R^{n}\) a je positivně defitní pokud \(x^{T}A &gt; 0\) pro všechna \(x \neq 0\)</p> <p>Definice se dá zobecnit i pro nesymetrické matice.</p> \[x^{T}\frac{1}{2}\left(A + A^{T}\right)x= \frac{1}{2}x^{t}\left(A+A^{T}\right)x = \frac{1}{2}x^{T}Ax + \left(\frac{1}{2}x^{T}Ax\right)^{T} = x^{T}Ax\] </div> <h3 class="no_toc" id="pozorování">Pozorování</h3> <p>Pozitivně semidefinitní matice má nezápornou diagonálu, pozitivně definitní matice má kladnou diagonálu.</p> <div class="lemma-block"><p class="lemma-label">Tvrzení</p> <ol> <li>Jsou-li \(A,B \in \R^{n \times n}\) positivně definitní, pak i \(A+B\) je positivně definitní.</li> <li>Je-li \(A \in \R^{n \times n}\) positivně definitní a \(\alpha &gt; 0\), pak i \(\alpha A\) je positivně definitní</li> <li>Je-li \(A \in \R^{n \times n}\) positivně definitní, pak je regulární a \(A^{-1}\) je positivně definitní.</li> </ol> </div> <h4 class="no_toc" id="poznámka-4">Poznámka</h4> <p>Semi-definitivní matice nemusí být regulární</p> <div class="theorem-block"><p class="theorem-label"><b>Věta</b></p> <p>Buď \(A \in \R^{n \times n}\) symetrická. Pak následující podmínky jsou ekvivalentní.</p> <ol> <li>\(A\) je positivně definitivní</li> <li>vlastní čísla \(A\) jsou kladná</li> <li>existuje matice \(U \in \R^{m \times n}\) hodnosti \(n\) taková, že \(A=U^{T}U\)</li> </ol> </div> <div class="theorem-block"><p class="theorem-label"><b>Věta</b></p> <h4 id="charakterizace-semi-definitní">Charakterizace semi-definitní</h4> <ol> <li>\(A\) je semidefitní</li> <li>vlastní čísla \(A\) jsou nezáporná</li> <li>existuje matice \(U \in \R^{m \times n}\) taková, že \(A = U^{T}U\)</li> </ol> </div> <div class="theorem-block"><p class="theorem-label"><b>Věta</b></p> <p>Nechť \(A \in \R^{n \times n}\) je symetrická. Řekněme, že \(A'\) je hlavní podmatice \(A\) jestliže \(A'\) vznikne z \(A\) odstraněním podmnožiny řádků a sloupců se stejnými indexy.</p> </div> <div class="lemma-block"><p class="lemma-label">Lemma</p> <p>\(A\) je positivně definitní právě tehdy když každá hlavní podmatice \(A\) je positivně definitní.</p> </div> <div class="theorem-block"><p class="theorem-label"><b>Věta</b></p> <h3 id="cholevského-rozklad">Cholevského rozklad</h3> <p>Pro každou positivně definitní matici \(A \in \R^{n \times n}\) existuje jediná dolní trojúhelníková matice \(L \in \R^{n \times n}\) s kladnou diagonálou taková, že \(A=LL^{T}\).</p> </div> https://blackblog.cz/anglicko-cesky-slovnik-matematicke-terminologie/ 2021-02-18T00:00:00+01:00 2021-02-18T00:00:00+01:00 Jan Černý <ul id="markdown-toc"> <li><a href="#fráze" id="markdown-toc-fráze">Fráze</a></li> <li><a href="#důkaz" id="markdown-toc-důkaz">Důkaz</a></li> <li><a href="#symbolický-zápis" id="markdown-toc-symbolický-zápis">Symbolický zápis</a></li> <li><a href="#vlastnost" id="markdown-toc-vlastnost">Vlastnost</a></li> <li><a href="#předpoklad-a-podmínka" id="markdown-toc-předpoklad-a-podmínka">Předpoklad a podmínka</a></li> <li><a href="#spojky-a-předložková-spojení" id="markdown-toc-spojky-a-předložková-spojení">Spojky a předložková spojení</a></li> <li><a href="#fundamentální-symboly" id="markdown-toc-fundamentální-symboly">Fundamentální symboly</a></li> <li><a href="#geometrie" id="markdown-toc-geometrie">Geometrie</a> <ul> <li><a href="#fundamentální-značení" id="markdown-toc-fundamentální-značení">Fundamentální značení</a></li> </ul> </li> </ul> <hr /> <h3 id="fráze">Fráze</h3> <table> <tbody> <tr> <td>Let us compute</td> <td>Vypočítejme</td> </tr> <tr> <td>Adding \(a\) to the right-hand side yields<br />Adding \(a\) to the right-hand side gives</td> <td>Přičtením \(a\) k pravé straně dostáváme</td> </tr> <tr> <td>Subtraction \(a\) from \(b\) we obtain<br />Subtraction \(a\) from \(b\) we get<br />Subtraction \(a\) from \(b\) we have</td> <td>Odečtením \(a\) od \(b\) získáváme</td> </tr> <tr> <td>It suffices to show that…<br />It is sufficient to show that</td> <td>Postačí dokázat, že…</td> </tr> <tr> <td>We need only consider two cases</td> <td>Musíme zvážit dva případy</td> </tr> <tr> <td>We only need to show that…</td> <td>Musíme ukázat, že</td> </tr> <tr> <td>The proof is completed by showing that…</td> <td>Důkaz je proveden poukázáním, že…</td> </tr> <tr> <td>It is clear that…<br />It is evident that…</td> <td>Je zřejmé, že…</td> </tr> <tr> <td>It is easily seen that..</td> <td>Lze snad vidět, že…</td> </tr> <tr> <td>A trivial verification shows that…<br />A trivial verification makes it obvious that…</td> <td>Jednoduché ověření ukáže, že…</td> </tr> <tr> <td>…, which completes the proof<br />…, which proves the theorem</td> <td>…, a tím je důkaz proveden</td> </tr> <tr> <td>…, which is our claim</td> <td>… což jsme požadovali</td> </tr> <tr> <td>…, which is our assertion</td> <td>… což je naše tvrzení</td> </tr> <tr> <td>…, which is the desired conclusion</td> <td>… což je požadovaný závěr</td> </tr> <tr> <td>…, and the proof is complete</td> <td>… a tím je důkaz proveden</td> </tr> <tr> <td>This contradicts our assumption</td> <td>To je rozporu s našim předpokladem</td> </tr> <tr> <td>…, contrary to \(a\)</td> <td>… což je v rozporu s \(a\)</td> </tr> <tr> <td>…, Which is impossible</td> <td>… což je nemožné</td> </tr> <tr> <td>The theorem states that …<br />The theorem asserts that …</td> <td>Věta říká, že …</td> </tr> <tr> <td>The theorem shows that …</td> <td>Věta ukazuje, že …</td> </tr> <tr> <td>The theorem is an extension of …</td> <td>Věta je rozšířením …</td> </tr> <tr> <td>The theorem is a generalization of …</td> <td>Věta je zobecněním …</td> </tr> <tr> <td>The theorem is a refinement of …</td> <td>Věta je upřesněním …</td> </tr> <tr> <td>The theorem is a reformulation of …</td> <td>Věta je jiným vyjádřením …</td> </tr> <tr> <td>An equivalent of \(a\) is …</td> <td>Ekvivalentní formulací \(a\) je …</td> </tr> <tr> <td>If \(a\), then \(b\)</td> <td>Pokud \(a\), potom \(b\)</td> </tr> <tr> <td>Let \(k\) be … Then …, provided …</td> <td>Nechť \(k\) je … Potom …, za předpokladu …</td> </tr> <tr> <td>Let \(k\) satisfy … Then …</td> <td>Nechť \(k\) splňuje … Potom …</td> </tr> <tr> <td>Suppose that … Then … unless</td> <td>Předpokládejme, že … Potom … pokud …</td> </tr> <tr> <td>Assume that … That … if and only if …</td> <td>Předpokládejme, že … právě tehdy, když …</td> </tr> <tr> <td>None of the sets \(a_i\) is countable</td> <td>Žádný z množin \(a_i\) není počitatelný</td> </tr> <tr> <td>Under above assumptions, …</td> <td>Na základě výše uvedených předpokladů …</td> </tr> <tr> <td>Under conditions stated above, …</td> <td>Na základě podmínek uvedených výše</td> </tr> <tr> <td>Under assumptions of Theorem 5</td> <td>Na základě předpokladů věty 5</td> </tr> <tr> <td>Under hypothesis of Theorem 5</td> <td>Na základě hypotézy věty 5</td> </tr> <tr> <td>By definition</td> <td>Z definice</td> </tr> <tr> <td>By the above …</td> <td>Na základě výše uvedeného …</td> </tr> <tr> <td>By Cauchy’s theorem</td> <td>Podle Couchiho věty</td> </tr> <tr> <td>By assumption, …</td> <td>Dle předpokladů</td> </tr> <tr> <td>It is immaterial which \(k\) we choose</td> <td>Lze zvolit libovolné \(k\)</td> </tr> <tr> <td>We now turn to …</td> <td>Nyní se budeme zabývat …</td> </tr> <tr> <td>We continue in this fashion to obtain …</td> <td>Abychom získali …, budeme pokračovat stejným způsobem</td> </tr> <tr> <td>Roughly speaking</td> <td>Zhruba řečeno</td> </tr> <tr> <td>Loosely speaking</td> <td>Zjednodušeně řečeno</td> </tr> </tbody> </table> <hr /> <h3 id="důkaz">Důkaz</h3> <p>Proof</p> <table> <tbody> <tr> <td>Direct proof</td> <td>Důkaz přímý</td> </tr> <tr> <td>Indirect proof</td> <td>Důkaz nepřímý</td> </tr> <tr> <td>Proof by induction</td> <td>Důkaz indukcí</td> </tr> <tr> <td>Proof by contradiction</td> <td>Důkaz sporem</td> </tr> <tr> <td>We first prove that …</td> <td>Nejprve dokážeme, že</td> </tr> <tr> <td>We prove this as follows</td> <td>To dokážeme následujícím způsobem</td> </tr> <tr> <td>Suppose the assertion is false</td> <td>Předpokládejme, že toto tvrzení je chybné</td> </tr> <tr> <td>Assume the formula holds for \(k\) we will prove it for \(k+1\)</td> <td>Předpokládejme, že vzorec platí pro \(k\)a jeho platnost dokážeme pro \(k+1\)</td> </tr> <tr> <td>It follows that \(a=b\)</td> <td>Z toho vyplývá, že \(a=b\)</td> </tr> <tr> <td>It gives \(a=b\)</td> <td>To nám dává \(a=b\)</td> </tr> <tr> <td>The result is \(a=b\)</td> <td>Výsledek je \(a=b\)</td> </tr> <tr> <td>We thus get \(a=b\)</td> <td>Tímto dostáváme rovnost \(a=b\)</td> </tr> <tr> <td>… and so \(a=b\)</td> <td>… a tedy \(a=b\)</td> </tr> <tr> <td>… and consequently \(a=b\)</td> <td>… a v důsledku čehož platí \(a=b\)</td> </tr> <tr> <td>… which gives \(a=b\)<br />… which yields \(a=b\)</td> <td>… což nám dává \(a=b\)</td> </tr> <tr> <td>… which implies \(a=b\)</td> <td>… což implikuje \(a=b\)</td> </tr> <tr> <td>The equality implies that …</td> <td>Rovnost implikuje, že …</td> </tr> <tr> <td>As \(x\) is positive, we have \(ax &gt; 0\)</td> <td>Protože \(x\) je kladné, dostáváme \(ax &gt; 0\)</td> </tr> <tr> <td>But \(ax &gt; 0\) since \(x\) is positive</td> <td>Ale \(ax &gt; 0\) protože \(x\) je kladné</td> </tr> <tr> <td>We conclude from \(a\) that …, and finally that …</td> <td>Z \(a\) vyplývá, že … a nakonec také …</td> </tr> <tr> <td>The same conclusion can be drawn for …</td> <td>Stejný závěr lze učinit pro …</td> </tr> <tr> <td>In the same manner we can see that …</td> <td>Stejným způsobem lze ukázat, že …</td> </tr> <tr> <td>Consider</td> <td>Uvažujme</td> </tr> <tr> <td>Choose</td> <td>Vyberme</td> </tr> <tr> <td>Define</td> <td>Definujme</td> </tr> <tr> <td>Let</td> <td>Nechť<br />Budiž</td> </tr> <tr> <td>Set</td> <td>Stanovme</td> </tr> <tr> <td>Let us suppose …<br />Let us assume …</td> <td>Předpokládejme …</td> </tr> <tr> <td>Let us regard \(k\) as …</td> <td>Uvažujme \(k\) takové, že</td> </tr> <tr> <td>We obtain what will be referred to as …</td> <td>Získáváme …, což budeme označovat …</td> </tr> <tr> <td>We obtain what we shall call …</td> <td>Získáváme …, což budeme dále nazývat …</td> </tr> <tr> <td>We obtain what is known as …</td> <td>Získáváme …, známe jako …</td> </tr> <tr> <td>An augmented matrix is a matrix obtained by …</td> <td>Rozšířená matice soustavy je matice, kterou dostáváme …</td> </tr> </tbody> </table> <hr /> <h3 id="symbolický-zápis">Symbolický zápis</h3> <p>Notation</p> <table> <tbody> <tr> <td>Let us denote by \(f\) the map …</td> <td>Označme \(f\) zobrazení</td> </tr> <tr> <td>Let \(f\) denote the map …</td> <td>Nechť \(f\) označuje zobrazení</td> </tr> <tr> <td>The augmented matrix will be denoted by \(A\)</td> <td>Rozšířenou matici soustavy budeme značit \(A\)</td> </tr> <tr> <td>Here \(A\), denotes the matrix …<br />Here \(A\) stands for matrix …</td> <td>\(A\), zde označuje matici …</td> </tr> <tr> <td>We abbreviate \(\text{exp}\) to \(e\)</td> <td>\(\text{exp}\) budeme zkráceně značit \(e\)</td> </tr> <tr> <td>We denote it briefly by \(e\)</td> <td>Zjednodušeně budeme označovat písmenem \(e\)</td> </tr> <tr> <td>We write it \(e\) for brevity<br />We write it \(e\) for short</td> <td>Krátce označujeme písmenem \(e\)</td> </tr> </tbody> </table> <hr /> <h3 id="vlastnost">Vlastnost</h3> <p>Property</p> <table> <tbody> <tr> <td>The element \(k\) such that …</td> <td>Prvek \(k\) takový, že …</td> </tr> <tr> <td>The element \(k\) with property that …</td> <td>Prvek \(k\) jehož vlastností je …</td> </tr> <tr> <td>The element \(k\) satisfying …</td> <td>Prvek \(k\) splňující …</td> </tr> <tr> <td>The element \(k\) so small that …</td> <td>Prvek \(k\) tak malý, že …</td> </tr> <tr> <td>The constant \(k\) being independent of …</td> <td>Konstanta \(k\), která je nezávislá na …</td> </tr> </tbody> </table> <hr /> <h3 id="předpoklad-a-podmínka">Předpoklad a podmínka</h3> <p>Assumption and condition</p> <table> <tbody> <tr> <td>Our basic assumption is the following …</td> <td>Naším základním předpokladem je následující …</td> </tr> <tr> <td>We will make the following assumptions …</td> <td>Nyní uvedeme následující předpoklady …</td> </tr> <tr> <td>We assume \(k\) to be …</td> <td>Předpokládáme, že \(k\) je …</td> </tr> <tr> <td>It is necessary to put some restrictions on \(k\)</td> <td>Vlastnosti \(k\) je nutno omezit</td> </tr> <tr> <td>It is assumed that …</td> <td>Za předpokladu, že …</td> </tr> <tr> <td>It is required that …</td> <td>Je nutné, aby …</td> </tr> <tr> <td>\(x\) satisfies the condition that \(F(x) = 0\)</td> <td>\(x\) splňuje podmínku \(F(x) = 0\)</td> </tr> <tr> <td>This involves no loss on generality</td> <td>To lze použít bez újmy na obecnosti</td> </tr> <tr> <td>There exists unique …<br />One and only one …</td> <td>Existuje právě jedno</td> </tr> <tr> <td>Given a positive \(x\)</td> <td>Předpokládejme kladné \(x\)</td> </tr> </tbody> </table> <hr /> <h3 id="spojky-a-předložková-spojení">Spojky a předložková spojení</h3> <p>Conjuctions and prepositional phrases</p> <table> <tbody> <tr> <td>Therefore</td> <td>Proto<br />tedy<br />z tohoto důvodu</td> </tr> <tr> <td>Thus</td> <td>A tak<br />tak takto<br />tedy</td> </tr> <tr> <td>Hence</td> <td>Proto<br />z tohoto důvodu<br />tudíž</td> </tr> <tr> <td>Here and subsequently</td> <td>Níže<br />dále</td> </tr> <tr> <td>Throughout the proof</td> <td>Během důkazu</td> </tr> <tr> <td>In what follows,</td> <td>V následující části</td> </tr> <tr> <td>From now on,</td> <td>Od nynějška<br />níže<br />dále</td> </tr> <tr> <td>In this way</td> <td>Takto<br />tímto způsobem</td> </tr> <tr> <td>For simplicity of notation</td> <td>Pro jednoduchost zápisu</td> </tr> <tr> <td>For abbreviation<br />For brevity<br />For short</td> <td>Pro zkratku<br />pro jednoduchost</td> </tr> <tr> <td>Both \(X\) and \(Y\) are countable</td> <td>Jak množina \(X\) tak množina \(Y\) jsou spočitatelné</td> </tr> <tr> <td>Neither \(X\) nor \(Y\) is countable</td> <td>Ani množina \(X\) ani množina \(Y\) nejsou spočitatelné</td> </tr> </tbody> </table> <hr /> <h2 id="fundamentální-symboly">Fundamentální symboly</h2> <p>Fundamental symbols</p> <table> <tbody> <tr> <td>\(=\)</td> <td>equals</td> <td>rovná se</td> </tr> <tr> <td>\(\neq\)</td> <td>is not equal<br />does not equal</td> <td>nerovná se</td> </tr> <tr> <td>\(\equiv\)</td> <td>is identical with<br />is always equal to</td> <td>je identické<br />je ekvivalentní</td> </tr> <tr> <td>\(\approx\)</td> <td>is approximately equal<br />approximately equals to</td> <td>se zhruba rovná</td> </tr> <tr> <td>\(\le\)</td> <td>is less that</td> <td>menší než</td> </tr> <tr> <td>\(\ge\)</td> <td>is greater than</td> <td>větší než</td> </tr> <tr> <td>\(\leq\)</td> <td>is less than or equal to</td> <td>je menší nebo rovno</td> </tr> <tr> <td>\(\geq\)</td> <td>is greater than or equal to</td> <td>je větší nebo rovno</td> </tr> <tr> <td>\(!\)</td> <td>factorial</td> <td>faktoriál</td> </tr> <tr> <td>\(\propto\)</td> <td>is directly proportional<br />varies as</td> <td>je přímo úměrné</td> </tr> <tr> <td>\(m_a\)</td> <td>\(m\) subscript \(a\)</td> <td> </td> </tr> <tr> <td>\(x_{ij}\)</td> <td>\(x\) with indices \(ij\)</td> <td>\(x\) s indexy \(ij\)</td> </tr> <tr> <td>\(x'\)</td> <td>\(x\) dashed<br />\(x\) prime</td> <td>\(x\) s čárkou</td> </tr> <tr> <td>\(x''\)</td> <td>\(x\) double-prime<br />\(x\) double-dashed</td> <td>\(x\) s dvěma čárkami</td> </tr> <tr> <td>\(x^*\)</td> <td>\(x\) star<br />\(x\) asterisk</td> <td>\(x\) s hvězdičkou</td> </tr> <tr> <td>\(\bar{a}\)</td> <td>\(a\) bar</td> <td> </td> </tr> <tr> <td>\(\tilde{a}\)</td> <td>\(a\) tide</td> <td> </td> </tr> <tr> <td>\(\hat{a}\)</td> <td>\(a\) hat<br />\(a\) roof</td> <td> </td> </tr> <tr> <td>\(ä\)</td> <td>\(a\) double dot</td> <td>\(a\) s dvěma tečkami</td> </tr> <tr> <td>\(\lvert a \rvert\)</td> <td>absolute value of \(a\)</td> <td>absolutní hodnota \(a\)</td> </tr> <tr> <td>\(\%\)</td> <td>per cent</td> <td>procento</td> </tr> <tr> <td>\(\infty\)</td> <td>infinity</td> <td>nekonečno</td> </tr> <tr> <td>\(()\)</td> <td>parenthesis<br />brackets</td> <td>kulaté závorky</td> </tr> <tr> <td>\([]\)</td> <td>square brackets</td> <td>hranaté závorky</td> </tr> <tr> <td>\(\{\}\)</td> <td>braces</td> <td>složené závorky<br />“chlupatý závorky”</td> </tr> <tr> <td>\(\langle \rangle\)</td> <td>angle brackets</td> <td> </td> </tr> <tr> <td>\((]\)</td> <td>hybrid brackets</td> <td>kombinované závorky</td> </tr> </tbody> </table> <hr /> <h2 id="geometrie">Geometrie</h2> <h3 id="fundamentální-značení">Fundamentální značení</h3> <table> <tbody> <tr> <td>\(|\)</td> <td>is parallel to</td> <td>je paralelní s</td> </tr> <tr> <td>\(\perp\)</td> <td>is perpendicular to</td> <td>je kolmá na</td> </tr> <tr> <td>\(\triangle\)</td> <td>a triangle</td> <td>trojúhelník</td> </tr> <tr> <td>\(\angle\)</td> <td>an angle</td> <td>úhel</td> </tr> <tr> <td>\(\measuredangle\)</td> <td>a measured angle</td> <td>měřený úhel</td> </tr> <tr> <td>\(\sphericalangle\)</td> <td>a spherical angle</td> <td>sférický úhel (?)</td> </tr> <tr> <td>\(\llcorner\)</td> <td>a right angle</td> <td>pravý úhel</td> </tr> <tr> <td>\(\circ\)</td> <td>a circle</td> <td>kruh<br />kružnice</td> </tr> <tr> <td>\((,)\)</td> <td>coordinates</td> <td>souřadnice</td> </tr> </tbody> </table> https://blackblog.cz/relace-a-usporadani/ 2021-01-05T00:00:00+01:00 2021-01-05T00:00:00+01:00 Jan Černý <ul id="markdown-toc"> <li><a href="#relace" id="markdown-toc-relace">Relace</a> <ul> <li><a href="#relace-mezi-množinami" id="markdown-toc-relace-mezi-množinami">Relace mezi množinami</a></li> <li><a href="#relace-na-množině" id="markdown-toc-relace-na-množině">Relace na množině</a></li> <li><a href="#příklady-relací" id="markdown-toc-příklady-relací">Příklady relací</a></li> <li><a href="#operace-s-relacemi" id="markdown-toc-operace-s-relacemi">Operace s relacemi</a></li> <li><a href="#vlastnosti-relací" id="markdown-toc-vlastnosti-relací">Vlastnosti relací</a></li> </ul> </li> <li><a href="#funkce-zobrazení" id="markdown-toc-funkce-zobrazení">Funkce (zobrazení)</a></li> </ul> <hr /> <h2 id="relace">Relace</h2> <blockquote> <p><strong>Definice:</strong> Binární relace \(R\) je množina uspořádaných dvojic. To, že je prvek \(x\) v relaci s prvkem \(y\) často zkráceně zapisujeme \(xRy\).</p> <h5 id="relace-mezi-množinami">Relace mezi množinami</h5> <p>Jsou-li \(X\) a \(Y\) množiny, nazývá se libovolná podmnožina kartézského součinu \(X \times Y\) relací mezi \(X\) a \(Y\).</p> <h5 id="relace-na-množině">Relace na množině</h5> <p>Relace na množině \(X\) je libovolná podmnožina \(R \subseteq X \times X = X^2\).</p> </blockquote> <h3 id="příklady-relací">Příklady relací</h3> <ul> <li><strong>prázdná</strong> - \(R = \emptyset\) <ul> <li>Nic není v relaci s ničím ani samo se sebou</li> </ul> </li> <li><strong>univerzální</strong> - \(R = X \times X\) <ul> <li>Vše je v relaci se vším</li> </ul> </li> <li><strong>diagonální</strong> - \(R = \{ (x,x) \in X \times X \land x \in X \}\) <ul> <li>Všechny prvky jsou v relaci sami se sebou</li> </ul> </li> </ul> <h3 id="operace-s-relacemi">Operace s relacemi</h3> <ul> <li><strong>inverze</strong> - Relace \(R^{-1} \subseteq X \times Y\) je inverzní k relaci \(R \subseteq Y \times X\), pokud \(xR^{-1}y\) právě tehdy když \(yRx\).</li> <li><strong>skládání</strong> - \([a, c] \in (R \circ S) \Leftrightarrow \exists b \: [a, b] \in R \land [b, c] \in S\)</li> </ul> <h3 id="vlastnosti-relací">Vlastnosti relací</h3> <ul> <li><strong>reflexivita</strong> - Relace \(R\) na množině \(X\) je <strong>reflexivní</strong> právě tehdy, když \(\forall x \in X : xRx\)</li> <li><strong>symetrie</strong> - Relace \(R\) na množině \(X\) je <strong>symetrická</strong> právě tehdy, když \(\forall x, y \in X:xRy \implies yRx\)</li> <li><strong>antisymetrie</strong> - Relace \(R\) na množině \(X\) je <strong>antisymetrická</strong> právě tehdy, když \(\forall x, y \in X: (xRy \land yRx) \implies x=y\)</li> <li><strong>transitivita</strong> - Relace \(R\) na množině \(X\) je <strong>tranzitivní</strong> právě tehdy, když \(\forall x, y, z \in X: (xRy \land yRz) \implies xRz\)</li> <li><strong>Ekvivalence</strong> - Relace \(R\) na množině \(X\) je <strong>ekvivalence</strong>, jestliže je reflexivní, symetrická a tranzitivní <ul> <li>ekvivalenční třída je maximální (co do inkluze) množina prvků takových, že jsou spolu všechny po dvou navzájem v relaci. Třídami ekvivalence je relace ekvivalence jednoznačně určena.</li> </ul> </li> <li>Rozklad množiny</li> </ul> <p>Vztah mezi ekvivalencemi a rozklady</p> <hr /> <h2 id="funkce-zobrazení">Funkce (zobrazení)</h2> <blockquote> <p><strong>Definice:</strong><br /> Zobrazení z množiny \(X\) do množiny \(Y\) je relace \(f \subseteq X \times Y\), kde platí, že pro každý prvek \(x \in X\) existuje právě jeden prvek \(y \in Y\) tak že \((x, y) \in f\). Zobrazení \(f\) z množiny \(X\) do množiny \(Y\) obvykle značíme \(f:X \rightarrow Y\). Symbolem \(f(x)\) značíme právě to jedině \(y∈Y\) s nímž je prvek \(x \in X\) v relaci.</p> </blockquote> <ul> <li><strong>Prosté (injektivní)</strong> - Zobrazení \(f:X \rightarrow Y\) je prosté, jestliže pro \(x \neq y\) je \(f(x) \neq f(y)\).</li> <li><strong>Na (surjektivní)</strong> - Zobrazení \(f:X \rightarrow Y\) je <em>na</em>, jestli že \(\forall y \in Y\) existuje \(x \in X\) tak že \(f(x) = y\).</li> <li><strong>Vzájemně jednoznačné (bijektivní)</strong> - Zobrazení \(f:X \rightarrow Y\) je bijekce, jestliže je <strong>prosté</strong> a <strong>na</strong>.</li> </ul> <hr /> <p><strong>Zdroj:</strong> <a href="https://kam.mff.cuni.cz/~stinovlas/dm1617/tahak-relace.pdf">Tahák na relace</a></p> https://blackblog.cz/teorie-grafu/ 2020-11-09T00:00:00+01:00 2020-11-09T00:00:00+01:00 Jan Černý <ul id="markdown-toc"> <li><a href="#definice-grafu" id="markdown-toc-definice-grafu">Definice Grafu</a> <ul> <li><a href="#značení" id="markdown-toc-značení">Značení</a></li> <li><a href="#rozšíření" id="markdown-toc-rozšíření">Rozšíření</a></li> </ul> </li> <li><a href="#zoo-grafů" id="markdown-toc-zoo-grafů">Zoo grafů</a> <ul> <li><a href="#bipartitní-graf" id="markdown-toc-bipartitní-graf">Bipartitní graf</a></li> </ul> </li> <li><a href="#izomorfismus" id="markdown-toc-izomorfismus">Izomorfismus</a></li> <li><a href="#stupeň-vrcholu" id="markdown-toc-stupeň-vrcholu">Stupeň vrcholu</a></li> <li><a href="#skóre-grafu" id="markdown-toc-skóre-grafu">Skóre grafu</a></li> <li><a href="#věta-o-principu-sudosti" id="markdown-toc-věta-o-principu-sudosti">Věta o principu sudosti</a></li> <li><a href="#věta-o-skóre" id="markdown-toc-věta-o-skóre">Věta o skóre</a></li> <li><a href="#grafy-na-množině" id="markdown-toc-grafy-na-množině">Grafy na množině</a> <ul> <li><a href="#počet-grafů-na-množině" id="markdown-toc-počet-grafů-na-množině">Počet grafů na množině</a></li> <li><a href="#počet-tříd-izomorfismu" id="markdown-toc-počet-tříd-izomorfismu">Počet tříd izomorfismu</a></li> </ul> </li> <li><a href="#podgrafy" id="markdown-toc-podgrafy">Podgrafy</a> <ul> <li><a href="#indukovaný-podgraf" id="markdown-toc-indukovaný-podgraf">Indukovaný podgraf</a></li> <li><a href="#cesta-v-grafu" id="markdown-toc-cesta-v-grafu">Cesta v grafu</a></li> <li><a href="#kružnice-cyklus-v-grafu" id="markdown-toc-kružnice-cyklus-v-grafu">Kružnice (cyklus) v grafu</a></li> </ul> </li> <li><a href="#souvislý-graf" id="markdown-toc-souvislý-graf">Souvislý graf</a> <ul> <li><a href="#dosažitelnost" id="markdown-toc-dosažitelnost">Dosažitelnost</a></li> <li><a href="#komponenty-souvislosti" id="markdown-toc-komponenty-souvislosti">Komponenty souvislosti</a></li> </ul> </li> <li><a href="#procházení-grafů" id="markdown-toc-procházení-grafů">Procházení grafů</a> <ul> <li><a href="#sled" id="markdown-toc-sled">Sled</a></li> <li><a href="#tah" id="markdown-toc-tah">Tah</a></li> <li><a href="#cesta" id="markdown-toc-cesta">Cesta</a></li> </ul> </li> <li><a href="#matice-sousednosti" id="markdown-toc-matice-sousednosti">Matice sousednosti</a> <ul> <li><a href="#umocňování-matice-sousednosti" id="markdown-toc-umocňování-matice-sousednosti">Umocňování matice sousednosti</a></li> <li><a href="#počet-trojúhelníků-v-grafu" id="markdown-toc-počet-trojúhelníků-v-grafu">Počet trojúhelníků v grafu</a></li> </ul> </li> <li><a href="#grafová-metrika" id="markdown-toc-grafová-metrika">Grafová metrika</a></li> <li><a href="#grafové-operace" id="markdown-toc-grafové-operace">Grafové operace</a></li> <li><a href="#eulerovské-grafy" id="markdown-toc-eulerovské-grafy">Eulerovské grafy</a></li> <li><a href="#orientované-grafy" id="markdown-toc-orientované-grafy">Orientované grafy</a> <ul> <li><a href="#vyvážený-orientovaný-graf" id="markdown-toc-vyvážený-orientovaný-graf">Vyvážený orientovaný graf</a></li> <li><a href="#podkladový-graf" id="markdown-toc-podkladový-graf">Podkladový graf</a></li> <li><a href="#souvislost" id="markdown-toc-souvislost">Souvislost</a></li> <li><a href="#polosouvislost" id="markdown-toc-polosouvislost">Polosouvislost</a></li> <li><a href="#věta-o-orientovaných-grafech" id="markdown-toc-věta-o-orientovaných-grafech">Věta o orientovaných grafech</a></li> </ul> </li> <li><a href="#stromy" id="markdown-toc-stromy">Stromy</a> <ul> <li><a href="#les" id="markdown-toc-les">Les</a></li> <li><a href="#kostra-grafu" id="markdown-toc-kostra-grafu">Kostra grafu</a></li> </ul> </li> <li><a href="#nakreslení-grafu" id="markdown-toc-nakreslení-grafu">Nakreslení grafu</a> <ul> <li><a href="#nakreslení-do-roviny" id="markdown-toc-nakreslení-do-roviny">Nakreslení do roviny</a></li> <li><a href="#kuratovského-věta" id="markdown-toc-kuratovského-věta">Kuratovského věta</a></li> <li><a href="#jordanova-věta-o-kružnici" id="markdown-toc-jordanova-věta-o-kružnici">Jordanova věta o kružnici</a></li> <li><a href="#nakreslení-na-sféru" id="markdown-toc-nakreslení-na-sféru">Nakreslení na sféru</a></li> <li><a href="#válcová-plocha-plášť-válce" id="markdown-toc-válcová-plocha-plášť-válce">Válcová plocha (plášť válce)</a></li> <li><a href="#nakreslení-na-torus" id="markdown-toc-nakreslení-na-torus">Nakreslení na torus</a></li> <li><a href="#eulerova-formule" id="markdown-toc-eulerova-formule">Eulerova formule</a></li> <li><a href="#maximální-rovinný-graf" id="markdown-toc-maximální-rovinný-graf">Maximální rovinný graf</a></li> </ul> </li> <li><a href="#eulerova-formule-1" id="markdown-toc-eulerova-formule-1">Eulerova formule</a></li> <li><a href="#barvení-map" id="markdown-toc-barvení-map">Barvení map</a> <ul> <li><a href="#duální-graf" id="markdown-toc-duální-graf">Duální graf</a></li> </ul> </li> </ul> <hr /> <h2 id="definice-grafu">Definice Grafu</h2> <p><strong>Graf</strong> je uspořádaná dvojice \((V,E)\), kde:</p> <ul> <li>\(V\) je konečná neprázdná množina <strong>vrcholů</strong> (vertices)</li> <li>\(E \subseteq \binom{V}{2}\) je množina <strong>hran</strong> (edges)</li> </ul> <p><img src="/assets/img/matfyz/teorie-grafu/priklady-grafu.png" alt="Příklady grafů" /></p> <h3 id="značení">Značení</h3> <ul> <li>\(G\) - graf</li> <li>\(V(G)\) - vrcholy grafu \(G\)</li> <li>\(E(G)\) - hrany grafu \(G\)</li> </ul> <h3 id="rozšíření">Rozšíření</h3> <ul> <li>Hrany mohou být: <ul> <li>Orientované - (propojují vrcholy grafu, jenom jedním směrem)</li> <li>Smyčky - propojují vrchol se sebou samým</li> <li>Paralelní - více hran mezi dvojicí vrcholů (Multigraf)</li> <li>Nekonečné</li> </ul> </li> </ul> <hr /> <h2 id="zoo-grafů">Zoo grafů</h2> <ul> <li><strong>Úplný graf \(K_n\)</strong> <ul> <li>každé dva vrcholy mají mezi sebou hranu</li> <li>\(V(K_n) := \{1...n\}\)</li> <li>\(E(K_n) := \binom{V(K_n)}{2}\)</li> </ul> <p><img src="/assets/img/matfyz/teorie-grafu/priklad-uplny-graf.png" alt="Příklad úplného grafu" /></p> </li> <li><strong>Prázdný graf \(E_n\)</strong> <ul> <li>žádné vrcholy nemají hranu</li> <li>\(V(E_n) := \{1...n\}\)</li> <li>\(E(E_n) := \emptyset\)</li> </ul> <p><img src="/assets/img/matfyz/teorie-grafu/priklad-prazdny-graf.png" alt="Příklad prázdného grafu" /></p> </li> <li><strong>Cesta \(P_n\)</strong> <ul> <li>vrcholy jsou spojené do “čáry”</li> <li>\(V(P_n) := \{0...n\}\)</li> <li>\(E(P_n) := \{\{i,i+1\} \mid 0 \leq i &lt; n \}\)</li> </ul> <p><img src="/assets/img/matfyz/teorie-grafu/priklad-cesta.png" alt="Příklad cesty" /></p> </li> <li><strong>Kružnice \(C_i\)</strong> <ul> <li>\(V(C_i):= \{0...n-1\}\)</li> <li>\(E(C_n):=\{\{i, (i+1) \mod n \} \mid o \leq i &lt; n \}\)</li> </ul> <p><img src="/assets/img/matfyz/teorie-grafu/priklad-kruznice.png" alt="Příklad kružnice" /></p> </li> <li><strong>Úplný bipartitní graf \(K_{m,n}\)</strong> <ul> <li>\(V(K_{m,n}) := \{a_1 ... a_m\} \cup \{b_1 ... b_n \}\)</li> <li>\(E(K_{m,n}) := \{\{a_i,b_j\} \mid 1 \leq i \leq m, 1 \leq j \leq n \}\)</li> </ul> <p><img src="/assets/img/matfyz/teorie-grafu/priklad-bipartitni-graf.png" alt="Příklad bipartitního grafu" /></p> </li> </ul> <h3 id="bipartitní-graf">Bipartitní graf</h3> <div class="definition-block"><p class="definition-label"><b>Definice</b></p> <p>Graf \(G\) je bipartitní, právě tehdy když \(\exists\) rozklad \(V(G) X,Y\), tak že \(E(G) \leq \{\{x,y\} x \in X, y \in Y \}\)</p> <p>nebo</p> \[\forall e \in E(G): \lvert e \cap X \lvert = 1 \land \lvert e \cap Y \lvert = 1\] </div> <p><strong>Příklady:</strong></p> <ul> <li>Cesty (rozdělíme na sudé a liché vrcholy)</li> <li>Kružnice se sudým počtem vrcholů</li> <li>prázdné grafy (můžeme rozdělit jakkoliv)</li> <li>první dva úplné grafy \(K_1\) a \(K_2\) (ve zbylých je vždy trojúhelník \(\implies\) lichá kružnice)</li> </ul> <hr /> <h2 id="izomorfismus">Izomorfismus</h2> <div class="definition-block"><p class="definition-label"><b>Definice</b></p> <p>Grafy \(G\) a \(H\) jsou <strong>izomorfní</strong> (značíme \(G \cong H\)) \(\equiv \exists f: V(G) \rightarrow V(H)\) bijekce tak, že \(\forall u,v \in V(G): (\{u,v\} \in E(G) \iff \{ f(n), f(v) \} \in E(H))\)</p> \[\Downarrow\] \[\text{Až na jména vrcholů se jedná o stejný graf}\] <table> <tbody> <tr> <td><img src="/assets/img/matfyz/teorie-grafu/izomorfismus1.png" alt="izo1" /></td> <td><img src="/assets/img/matfyz/teorie-grafu/izomorfismus2.png" alt="izo2" /></td> </tr> </tbody> </table> </div> <p><strong>Pozorování:</strong><br /> Na libovolné množině grafů je izomorfismus ( \(\cong\)) ekvivalence.</p> <p><img src="/assets/img/matfyz/teorie-grafu/izomorfismus3.png" alt="izo3" /></p> <hr /> <h2 id="stupeň-vrcholu">Stupeň vrcholu</h2> <p><strong>Definice:</strong><br /> <strong>Stupeň vrcholu</strong> \(v\) v grafy \(G\) je</p> \[\deg_G(v) := |\{u \in v(G) | \{u,v\} \in E(G)\} |\] \[\Downarrow\] \[\#\text{hran vedoucích z vrcholu } v\] <p>Graf je <strong>\(k\)-regulární</strong> (pro \(k \in \N\)) \(\equiv \forall u \in V(G): deg_g(u) = k\)<br /> Graf je <strong>regulární</strong> \(\equiv \exists k:G\) je \(k\)-regulární</p> <hr /> <h2 id="skóre-grafu">Skóre grafu</h2> <p><strong>Definice:</strong><br /> <strong>Skóre</strong> grafu \(G\) je posloupnost stupňů všech vrcholů (až na uspořádání)</p> <hr /> <h2 id="věta-o-principu-sudosti">Věta o principu sudosti</h2> \[\sum_{v \in V} deg(v) = 2.|E|\] <p>Důsledky: \(\sum_v deg(v)\) je sudé \(\implies \#v \in V\) lichého stupně je sudý</p> <hr /> <h2 id="věta-o-skóre">Věta o skóre</h2> <p>Posloupnost \(D = d_1 \leq ... \leq d_n\) pro \(n \geq 2\) je skóre grafu \(\iff D' = d'_1 ... d'_{n -1}\) je skóre grafu:</p> <ul> <li>\(d'_i = d_i\) pro \(i &lt; n - d_n\)</li> <li>\(d'_i = d_i -1\) pro \(i \geq n - d_n\)</li> </ul> <blockquote> <p><strong>Důkaz:</strong><br /> \(\Leftarrow\) nechť \(G'\) je graf se skóre \(D'\) a vrcholy \(v_1 ... v_{n-1}\), tak že \(\forall \deg_G(v_i) = d_i\) vytvoří \(G\) se skórem \(D\) doplněním vrcholu \(V_n\) a hran \(\{v_i,v_n\}\) pro \(i \in \{n-d_n,..., n-1\}\)</p> <blockquote> <p><strong>Lemma</strong>: Nechť \(\mathbb{G}\) je množina všech grafů se skóre \(D\) vrcholech \(\{1...n\}\) se skóre \(D,\mathbb{G} \neq \emptyset \Rightarrow \exists G \in \mathbb{G}: \{v_1,v_i\} \in E(G)\) pro všechna \(i \in \{n-d_n, n-1 \}\)</p> </blockquote> <p><strong>Důkaz lemma:</strong><br /> Pro \(G \in \mathbb{G}\) definujeme \(j(G):= \max\{j \mid \{ V_j, V_n\} \notin E(G) \}\)</p> </blockquote> <hr /> <h2 id="grafy-na-množině">Grafy na množině</h2> <h3 id="počet-grafů-na-množině">Počet grafů na množině</h3> <p>Pro množinu vrcholů \(V := \{1...n\}\) existuje:</p> \[\# \text{grafů} (V,E) = \lvert 2^{\binom{n}{2}} \lvert = 2^{\binom{n}{2}}\] <p>kdy \(E \subseteq \binom{V}{2}\).</p> <h3 id="počet-tříd-izomorfismu">Počet tříd izomorfismu</h3> <p>Pro \(n = 3\) existují 4 grafy (\(\kern-1em\mod{}\) izomorfismus)</p> <p><img src="/assets/img/matfyz/teorie-grafu/trida-izomorfismus-n3.png" alt="obrázek" /></p> <p>Určit přesné množství tříd izomorfismu je obtížné, ale můžeme udělat spodní odhad. Protože třída isomorfismu může obsahovat maximálně \(n!\) grafů \(\implies\) \(\#\)Tříd izomorfismu je</p> \[\geq \frac{2^{n \choose 2}}{n!}\] <p>Takže platí</p> \[2^{n \choose 2} \geq \#\text{Tříd izomorfismu} \geq \frac{2^{n \choose 2}}{n!}\] <p>Což v logaritmickém měřítku je:</p> \[\log_2 \left(\frac{2^{n \choose 2}}{n!}\right) \leq \log_2 \left(\#\text{Tříd izomorfismu}\right) \leq \log_2 \left(2^{n \choose 2}\right)\] \[\Downarrow\] \[\frac{\log_2 \left(2^{n \choose 2}\right)}{\log_2 (n!)} \leq \log_2({\#\text{Tříd izomorfismu}}) \leq {n \choose 2}\] \[\Downarrow\] \[\sim{n^2} - n\log n \leq \log({\#\text{Tříd isomorfismu}}) \leq \sim{n^2}\] <h2 id="podgrafy">Podgrafy</h2> <blockquote> <p><strong>Definice:</strong><br /> Graf \(G' = (V',E')\) je podgrafem grafu \(G=(V,E)\) (značíme jako \(G' \subseteq G\)) \(\equiv V' \subseteq V \land E' \subseteq E\).</p> </blockquote> <h3 id="indukovaný-podgraf">Indukovaný podgraf</h3> <blockquote> <p><strong>Definice:</strong><br /> Graf \(G' = (V',E')\) je indukovaným podgrafem \(G=(V,E)\) (značíme jako \(G[V']\)) \(\equiv V' \subseteq V \land E' = E \cap {V' \choose 2}\)</p> <p>Čteme jako: <em>Podgraf indukovaný množinou</em> \(V' \subseteq V\)</p> </blockquote> <h3 id="cesta-v-grafu">Cesta v grafu</h3> <p>Cesta v grafu \(G = (V,E)\) je:</p> <ol> <li>\(G' \subseteq G : G' \cong P_n\) pro nějaké \(n\)</li> <li>\((v_0,e_1,v_1,e_2,v_2,...,e_n,v_n)\), kde: <ul> <li>\(v_0 ... v_n\), jsou navzájem různé</li> <li>\(e_1 ... e_n\) jsou hrany</li> <li>\(\forall i : e_i=\{v_{i-1},v_i\}\)</li> </ul> </li> <li>Posloupnost vrcholů spojených postupně hranami</li> </ol> <p><strong>NENÍ</strong> posloupnost hran, kdy každá má s následující hranou společný vrchol.<br /> Protipříklad:</p> <p><img src="/assets/img/matfyz/teorie-grafu/neni-cesta-v-grafu.png" alt="Není cesta v grafu" /></p> <h3 id="kružnice-cyklus-v-grafu">Kružnice (cyklus) v grafu</h3> <ol> <li>\(G' \subseteq G : G' \cong C_n\) pro nějaké \(n\)</li> <li>\((v_0, e_0, v_1, e_0, ...,v_{n-1} e_{n-1}, v_0)\) <ul> <li>\(v_0 ... v_{n-1}\) jsou navzájem různé</li> <li>\(e_0 ... e_{n-1}\) hran</li> <li>\(\forall e_i = \{v_i, v_{(i+1)\mod n}\}\)</li> </ul> </li> </ol> <h2 id="souvislý-graf">Souvislý graf</h2> <blockquote> <p><strong>Definice:</strong><br /> Graf \(G\) je souvislý \(\equiv \forall u,v \in V(G) \exists\) cesta v \(G\) s krajními bodu \(u,v\)</p> </blockquote> <h3 id="dosažitelnost">Dosažitelnost</h3> <blockquote> <p><strong>Definice:</strong><br /> Dosažitelnost v \(G\) je relace na \(V(G)\), taková že \(u \sim v \equiv\) cesta v \(G\) s krajními vrcholy \(u,v\).</p> <blockquote> <p><strong>Lema:</strong><br /> Relace \(\sim\) je ekvivalence</p> <blockquote> <p><strong>Důkaz lematu:</strong><br /> Reflexivní: \(u \sim v\): existuje triviální cesta<br /> Symetrie: \(u \sim v\): mezi \(u\) a \(v\) existuje cesta \(\equiv\) mezi \(v\) a \(u\) existuje cesta<br /> Transitivita: \(u \sim v \land v \sim w \implies u \sim w\)</p> </blockquote> </blockquote> </blockquote> <h3 id="komponenty-souvislosti">Komponenty souvislosti</h3> <blockquote> <p><strong>Definice:</strong><br /> Komponenty souvislosti jsou podgrafy indukované třídami ekvivalence \(\sim\)</p> </blockquote> <p>Pozorování:</p> <ul> <li>komponenty jsou souvislé</li> <li>graf je souvislý \(\equiv\) má 1 komponentu souvislosti</li> </ul> <hr /> <h2 id="procházení-grafů">Procházení grafů</h2> <h3 id="sled">Sled</h3> <p>Sled (walk) - posloupnost \((v_0,e_1,v_1,e_2,...,e_n,v_n) \forall i\) \(e_i=\{v_{i-1},v_i \}\)<br /> Libovolná posloupnost na sebe navazujících vrcholů a hran, ve které se může cokoli opakovat.</p> <h3 id="tah">Tah</h3> <p>Tah je sled, kde se neopakují hrany</p> <h3 id="cesta">Cesta</h3> <p>Cesta je sled, kde se neopakují hrany ani vrcholy</p> <blockquote> <p><strong>Lemátko:</strong><br /> \(\exists\) cesta mezi \(u,v \iff \exists\) sled mezi \(u,v\)</p> <blockquote> <p><strong>Důkaz:</strong><br /> \(\Rightarrow\) triviální<br /> \(\Leftarrow\) uvažujme sled \(S\)</p> <ul> <li>kdyby se v \(S\) neopakovaly vrcholy, je to cesta</li> <li>pokud \(v_{k} = v_{l}\) a \(k &lt; l\) tak:</li> </ul> \[v_{0}, e_{1}, v_{1}, \dots, e_{k}, v_{k}, e_{k+1}, \dots,e_{l}, v_{l}, e_{l+1}, \dots, e_{n},v_{n}\] \[\downarrow\] \[v_{0}, e_{1}, v_{1}, \dots, e_{k}, v_{k} = v_{l}, e_{l+1}, \dots, e_{n},v_{n}\] <p>Postupným vystříháváním cyklů vznikne cesta</p> </blockquote> </blockquote> <hr /> <h2 id="matice-sousednosti">Matice sousednosti</h2> <blockquote> <p><strong>Definice:</strong></p> \[A_{ij} := \left\{ \begin{array}{ll} 0 &amp; \text{jinak} \\ 1 &amp; \text{pokud } \{v_i,v_j\} \in E(G) \end{array} \right.\] <p>nebo</p> \[A_{ij} := \left[\{v_i,v_j\} \in E \right]\] </blockquote> <table> <tbody> <tr> <td><img src="/assets/img/matfyz/teorie-grafu/graf-k-matici.png" alt="obrázek grafu k matici" /></td> <td>\(\implies\)</td> <td>\(\begin{array}{c c} &amp; \begin{array}{c} v_1 \kern0.6em v_2 \kern0.6em v_3 \kern0.6emv_4 \\ \end{array} \\ \begin{array}{c c c} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \\ v_4 \end{array} \kern-1.7em &amp; \left[ \begin{array}{c c c c} 0 &amp; 1 &amp; 1 &amp; 0 \\ 1 &amp; 0 &amp; 1 &amp; 0 \\ 1 &amp; 1 &amp; 0 &amp; 1 \\ 0 &amp; 0 &amp; 1 &amp; 0 \end{array} \right] \end{array}\)</td> </tr> </tbody> </table> <p>Pozorování:</p> <ul> <li>\(A\) je symetrická</li> <li>součty řádků/sloupců jsou stupně vrcholů</li> </ul> <h3 id="umocňování-matice-sousednosti">Umocňování matice sousednosti</h3> \[A^2_{ij} = (A.A)_{ij} = \sum_k A_{ik} . A_{A_kj} = \sum_k [\{v_i,v_k\} \in E].[\{ v_k,v_j \} \in E]\] <ul> <li>\(\{v_i,v_k\}\) a \(\{v_k,v_j \}\) jsou hrany</li> <li>\(\exists\) sled délky 2 z \(v_i\) do \(v_j\) přes \(v_k\)</li> </ul> \[= \#\text{sledů délky } 2 \text{ z } v_i \text{ do } v_j\] <blockquote> <p><strong>Lema:</strong></p> \[A^t_{ij} = \#\text{sledů délky } t \text{ z } v_i \text{ do } v_j\] <blockquote> <p><strong>Důkaz:</strong></p> <ol> <li>\(t = 1\) -matice sousednosti - triviální</li> <li>\(t \rightarrow t+1: A^{t+1}_ij = (A^t.A)_{ij} = \sum_k A^t_{ik}A_{kj} = \sum_k \#\)sledů délky \(t\) z \(v_i\) do \(v_k\)</li> </ol> </blockquote> </blockquote> <h3 id="počet-trojúhelníků-v-grafu">Počet trojúhelníků v grafu</h3> <p>\(\#\text{podgrafů izomorfních s } k_3 = \#\text{uzavřených sledů délky } 3 \text{ z } v_i \text{ do } v_i = {\sum_i A^3_{ii} \over 6}\)</p> <hr /> <h2 id="grafová-metrika">Grafová metrika</h2> <blockquote> <p><strong>Definice:</strong><br /> Grafová metrika (vzdálenost) v souvislém grafu \(G\):</p> <p>\(d_G: V^2 \rightarrow \N\)<br /> \(d_G(u,v) :=\) minimum z délek (počet hran) cest mezi \(u\) a \(v\)</p> <blockquote> <p><strong>Lemma:</strong></p> <ol> <li>\(d_G(u,v) \geq 0\)</li> <li>\(d_G(u,v) = \iff u = v\)</li> <li>\(d_G(u,v) = d_G(v,u)\)</li> <li>\(\bigtriangleup\text{nerovnost: }d_G(u,v) \leq d_G(u,w) + d_G(w,v)\)</li> </ol> </blockquote> </blockquote> <hr /> <h2 id="grafové-operace">Grafové operace</h2> <p>Nechť \(G=(V,E)\)</p> <ul> <li>Přidání vrcholu či hrany: \(G-v\), \(G-e\)</li> <li>Smazání vrcholu či hrany: \(G-v=G[V(G) \setminus \{v\}]\), \(G-e\)</li> <li>Dělení hrany: \(G \% e = G + x - e + \{u,x\} + \{v,x\}\) <ul> <li>\(V' := V \cup\{x\}\) pro \(x \notin V\)</li> <li>\(E' := E \setminus \{\{u,v\}\} \cup \{\{u,x\},\{v,x\}\}\)</li> </ul> </li> <li>Kontrakce hrany: \(G.e = G - u - v + x + (e \setminus \{u,v\} \cup \{x\})\)</li> </ul> <p>Pozorování:</p> <ul> <li>cesty lze vyrábět postupným dělením \(P_1\)</li> <li>kružnice lze vyrábět postupným dělením \(C_3\)</li> </ul> <hr /> <h2 id="eulerovské-grafy">Eulerovské grafy</h2> <p><strong>Definice:</strong><br /> Eulerovský tah je takový, který obsahuje všechny vrcholy a hrany grafu.</p> <p><strong>Definice:</strong><br /> Graf je eulerovský \(\cong\) existuje v něm uzavřený eulerovský tah.</p> <blockquote> <p><strong>Věta o Eulerových grafech:</strong><br /> Graf \(G\) je eulerovský \(\iff G\) je souvislý \(\land \forall v \in V(G): \deg_G(v)\) je sudý.</p> <blockquote> <p><strong>Důkaz:</strong><br /> \(\implies\) souvislostí \(\forall u,v \in V(G) \exists\) tah mezi u,v \(\implies \forall\) cesta mezi \(u,v\)</p> <p><strong>\(T\) je uzavřený:</strong> Sporem:</p> <ul> <li>nechť \(u\) je jeden z konců tahu, který je nejdelší a otevřený</li> <li>tah obsahuje lichý \(\#\)hran incidetních s \(u\)</li> <li>\(u\) má sudý \(\deg(u) \implies \exists\) nepoužitá hrana což je ve sporu s předpokladem, že je nejdelši možný \(\rightarrow\) Každý nejdelší tah je uzavřený.</li> </ul> <p><strong>\(T\) je eulerovský:</strong><br /> a. pokud \(\{u,v\} \in e(G), u,v \in T\), pak \(\{u,v\} \in T\)<br /> - kdyby to pro nějaké \(\{u,v\}\) nebyla pravda (předpoklad a.), tak \(T\) “rozpojíme” při některém z průchodů z \(u\): \(u,...u\) a nakonec přidáme \(\{u,u\},v \rightarrow\) delší tah a to je spor</p> <p>b. \(T\) obsahuje všechny vrcholy</p> <ul> <li>když \(\exists u \in V(b) \land u \notin T\): <ol> <li>tak zvolíme v \(v \in T\) libovolně</li> <li>pak díky souvislosti \(G \implies \exists\) cesta \(C\) mezi \(u\),\(v\)</li> <li>\(\exists r\) a \(s \in C: r \in T, s \notin T, \{r,s\} \in E(G)\),</li> <li>\(T\) rozpojíme v \(r\) a prodloužíme \(\{r,s\},s \implies\) delší tah a to je spor</li> </ol> </li> </ul> </blockquote> </blockquote> <hr /> <h2 id="orientované-grafy">Orientované grafy</h2> <p>Je normální graf akorát hrany jsou orientované dvojice vrcholů. Těmto orientovaným hranám se může říkat “šipky”. Matice sousednosti už nemusí být symetrická.</p> <p><strong>Definice:</strong></p> \[E \subseteq V^2 \ \{(x,x) \mid x \in V \}\] <p>Stupně vrcholu rozlišujeme na vstupní stupeň a výstupní stupeň.</p> <p><strong>Definice:</strong><br /> \(\begin{aligned} \deg^{\text{in}}(v) &amp;:= \#u: (u,v) \in E \\ \deg^{\text{out}}(v) &amp;:= \#w: (v, W) \in E \end{aligned}\)</p> <p><img src="/assets/img/matfyz/teorie-grafu/stupen-vrcholu-orientovaneho-grafu.png" alt="stupeň vrcholu orientovaneho grafu" /></p> <h3 id="vyvážený-orientovaný-graf">Vyvážený orientovaný graf</h3> <p><strong>Definice:</strong><br /> Graf je <em>vyvážený</em> \(\equiv \forall v \in V \deg^{\text{in}}(v) = \deg^{\text{out}}(v)\)</p> <h3 id="podkladový-graf">Podkladový graf</h3> <p><strong>Definice:</strong><br /> Pro orientovaný graf \(G = (V,E)\): <em>podkladový graf</em> \(G^0 = (V,E^0)\), kde \(\{u,v\} \in E^0 \equiv (u,v) \in E \lor (v,u) \in E\).</p> <p>(Prostě u hran grafu \(G\) zapomeneme orientaci.)</p> <h3 id="souvislost">Souvislost</h3> <p>Má dva pohledy:</p> <ol> <li><strong>Slabá souvislost</strong> - Graf drží pohromadě <ul> <li><strong>Definice:</strong> podkladový graf je souvislý</li> <li>není možné množinu vrcholů rozdělit na dvě, aby mezi nimi neexistovala hrana.</li> </ul> </li> </ol> <p><img src="/assets/img/matfyz/teorie-grafu/graf-drzi-pohromade.png" alt="graf drží pohromadě" /></p> <ol> <li><strong>Silná souvislost</strong> - Dosažitelnost všude <ul> <li><strong>Definice:</strong> \(\forall u,v \in V \exists\) orientovaná cesta z \(u\) do \(v\)</li> <li>z každého vrcholu se dá po hranách přejít do jiného.</li> <li>implikuje slabou souvislost</li> </ul> </li> </ol> <p>Pro neorientovaný graf platí obě, pro orientovaný už ne.</p> <h3 id="polosouvislost">Polosouvislost</h3> <p><strong>Definice:</strong><br /> \(\forall u,v \in V(G) \exists\) cesta z \(u\) do \(v\) nebo z \(v\) do \(u\).</p> <p><img src="/assets/img/matfyz/teorie-grafu/polosouvislost.png" alt="polosouvislost" /></p> <h3 id="věta-o-orientovaných-grafech">Věta o orientovaných grafech</h3> <blockquote> <p><strong>Věta:</strong><br /> Následující vlastnosti orientovaného grafu \(G\) jsou ekvivalentní:</p> <ol> <li>\(G\) je vyvážený a slabě souvislý</li> <li>\(G\) je euklidovský</li> <li>\(G\) je vyvážený a silně souvislý</li> </ol> <blockquote> <p><strong>Důkaz:</strong></p> <ol> <li>\(\implies\) 1.</li> <li>\(\implies\) 3. <ul> <li>vyváženost - triviální</li> <li>silná souvislost - \(\forall u,v \exists\) orientovaný tah \(u \rightarrow v \implies \exists\) orientovaná cesta \(v \rightarrow u\)</li> </ul> </li> <li>\(\implies\) 2. <ul> <li>lehce upravíme důkaz pro neorientovaný graf.</li> </ul> </li> </ol> </blockquote> </blockquote> <hr /> <h2 id="stromy">Stromy</h2> <p><strong>Definice:</strong><br /> Graf je \(G\) je <em>strom</em> \(\equiv G\) je souvislý \(\land\) acyklický. Ve \(V(G)\) je <em>list</em> \(\equiv \deg_G(v) = 1\)</p> <table> <thead> <tr> <th style="text-align: center">Strom výrazu</th> <th style="text-align: center">Strom hierarchie království</th> </tr> </thead> <tbody> <tr> <td style="text-align: center"><img src="/assets/img/matfyz/teorie-grafu/strom-vyraz.png" alt="strom výrazu" /></td> <td style="text-align: center"><img src="/assets/img/matfyz/teorie-grafu/strom-hierarchie.png" alt="strom hierarchie" /></td> </tr> </tbody> </table> <blockquote> <p><strong>Věta o charakterizaci stromů</strong></p> <p>Pro graf \(G\) jsou následující tvrzení ekvivalentní:</p> <ol> <li>\(G\) je souvislí a acyklický</li> <li>\(\forall u,v\in V(G) \exists!\) cesta mezi \(u\),\(v\) v \(G\) (jednoznačně souvislý)</li> <li>\(G\) je souvislý a \(\forall e \in E(G): G-e\) není souvislý (minimálně souvislý)</li> <li>\(G\) je acyklický a \(\forall e \in \binom{V(G)}{2} \setminus E(G + e)\) obsahuje cyklus (maximálně acyklický)</li> <li>\(G\) je souvislý a \(\mid E(G) \mid = \mid V(G) \mid -1\)</li> </ol> <blockquote> <p><strong>Důkaz:</strong><br /> Pro \(n\): Každý graf s \(\mid n \mid = n\) splňuje <strong>1.</strong> \(\implies\) <strong>2.</strong><br /> Krok \(n-1 \rightarrow n\): Buď \(G\) graf s \(n\) vrcholy. Platí-li <strong>1</strong>, \(G\) je strom \(\implies \exists l\) (list) a \(s\) (jediný soused) \(l\). \(G-l\) je také strom, má \(n-1\) vrcholů \(\implies G - l\) je jednoznačně souvislý.</p> <p>Jednoznačná souvislost \(G\): nechť \(u,v \in V \rightarrow\)</p> <ul> <li>\(u,v \neq l\) <ul> <li>Přidáním listu nevzniká nová cesta</li> </ul> </li> <li>bez újmy na obecnosti \(u = l, v \neq l\) <ul> <li>cesta \(v..l\) jde přes \(s\) mezi \(v,s \exists!\) cesta (z indukčního předpokladu) a tujde rozšířit jedním způsobem a to přidáním hrany \(s,l\)</li> </ul> </li> <li>\(u,v = l\) <ul> <li>existuje jen jedna cesta</li> </ul> </li> <li>1. \(\implies\) 3. (indukce)</li> <li>1. \(\implies\) 4. (indukce)</li> <li>1. \(\implies\) 5. (indukce pro \(n=1: \lvert v \lvert = 1, \lvert E \lvert = 0\))</li> <li>2. \(\implies\) 1. (\(\neg\)1. \(\implies \neg\)2.)</li> <li>3. \(\implies\) 1. (\(\neg\)1. \(\implies \neg\)3.)</li> <li>4. \(\implies\) 1.</li> <li>5. \(\implies\) 1.</li> </ul> </blockquote> </blockquote> <blockquote> <p><strong>Lemma:</strong><br /> Je-li \(G\) strom na alespoň 2 vrcholech, \(G\) má alespoň 2 listy.</p> <blockquote> <p><strong>Důkaz:</strong><br /> Uvažme nejdelší cestu ve stromu:</p> <p><img src="/assets/img/matfyz/teorie-grafu/nejdelsi-cesta-stromu.png" alt="nejdelší cesta stromu" /></p> <p>\(u\), \(v\) jsou listy, protože kdyby \(u\) nebyl list: \(\exists t: \{y,u\}\) je hrana, která neleží na cestě:</p> <ol> <li>\(t, \{u,t\}, P\) nejdelší cesta</li> <li>část cesty \(u...t + \{t,u\}\) tvoří cyklus</li> </ol> </blockquote> </blockquote> <blockquote> <p><strong>Lemma:</strong><br /> Nechť \(v\) je list grafu \(G\). Pak \(G\) je strom \(\iff\) \(G - v\) je strom.</p> <blockquote> <p><strong>Důkaz:</strong><br /> \(\implies\)</p> <ul> <li>\(G-v\) je souvislý (pokud mezi \(x\), \(y \neq v \exists\) cesta v \(G\), pak leží i v \(G-v\))</li> </ul> </blockquote> </blockquote> <h3 id="les">Les</h3> <p>Graf \(G\) je les \(\equiv G\) je acyklický \(\iff G\) je les, když všechny jeho komponenty souvislosti jsou stromy.</p> <h3 id="kostra-grafu">Kostra grafu</h3> <p><strong>Definice:</strong><br /> \(T \subseteq G\) je <em>kostra</em> grafu \(G \equiv T\) je strom \(\land \lvert V(T) \lvert = \lvert V(G) \lvert\)</p> <p><strong>Větička:</strong><br /> Graf má kostru \(\iff\) je souvislý</p> <p><strong>Důkaz:</strong><br /> \(\Rightarrow\) trivka<br /> \(\Leftarrow\) Mažeme hrany na cyklech, dokud nevznikne strom.</p> <hr /> <h2 id="nakreslení-grafu">Nakreslení grafu</h2> <h3 id="nakreslení-do-roviny">Nakreslení do roviny</h3> <blockquote> <p><strong>Věta:</strong> Hranice stěny souvislého topologického grafu je nakresnením uzavřeného sledu.</p> <blockquote> <p><strong>Důkaz:</strong></p> <ol> <li>\(\lvert E \lvert = \lvert V \lvert -1\), graf je strom - Platí</li> <li>indukční krok: Graf není strom. Nechť \(e\) je hrana na kružnici \(\implies e\) odděluje 2 stěny.</li> </ol> <p><img src="/assets/img/matfyz/teorie-grafu/indukce-steny.png" alt="indukce stěny" /></p> <p>Pro \(G' := G - e\) věta platí, \(o(e) \cup s_1 \cup s_2\) je stěna \(\rightarrow\) je uzavřena na dvě části, kažkou uzavřeme hranou \(e\).</p> <p><img src="/assets/img/matfyz/teorie-grafu/indukce-steny2.png" alt="indukce steny" /> <img src="/assets/img/matfyz/teorie-grafu/indukce-steny3.png" alt="indukce steny" /></p> </blockquote> </blockquote> <p>Graf \(G\) má rovinné nakreslení \(\iff\) má nakreslení lomenými čarami.</p> <p>Dělení hran zachová rovinnost, kontrakce také: jeli \(G\) rovinný, pak \(G \setminus e\) také. Graf je rovinný, když jeho libovolné dělení je rovinné. Rovinný bude i po kontrakci hran také rovinný.</p> <table> <tbody> <tr> <td><img src="/assets/img/matfyz/teorie-grafu/deleni-hran.png" alt="dělení hran" /></td> <td><img src="/assets/img/matfyz/teorie-grafu/kontrakce-hran.png" alt="kontrakce hran" /></td> </tr> </tbody> </table> <p>\(K_5\) a \(K_{3,3}\) nejsou rovinné a jejich dělení také ne. Pokud graf obsahuje \(K_5\) nebo \(K_{3,3}\) jako podgraf, také není rovinný.</p> <h3 id="kuratovského-věta">Kuratovského věta</h3> <blockquote> <p>Graf není rovinný \(\iff\) obsahuje podgraf izomorfní nějakéku dělení \(K_5\) nebo \(K_{3,3}\).</p> </blockquote> <h3 id="jordanova-věta-o-kružnici">Jordanova věta o kružnici</h3> <blockquote> <p>Jeli \(c\) topologická kružnice v \(\R^2\), pak \(\R^2 \setminus c\) má právě dvě komponenty obloukové souvislosti: omezenou a neomezenou a \(c\) je jejich společnou hranicí.</p> </blockquote> <p><strong>Důsledek:</strong><br /> \(K_5\) není rovinný.</p> <p><img src="/assets/img/matfyz/teorie-grafu/nerovinnost-k5.png" alt="K5 není rovinný" /></p> <p>\(K_{3,3}\) je také nerovinný</p> <h3 id="nakreslení-na-sféru">Nakreslení na sféru</h3> <blockquote> <p><strong>Věta</strong><br /> Graf má nakreslení na sféru \(\iff\) má nakreslení do roviny.</p> <blockquote> <p><strong>Důkaz stereografickou projekcí</strong><br /> spojitá bijekce mezi sférou bez severního pólu a \(\R^2\)</p> <p><img src="/assets/img/matfyz/teorie-grafu/stereografie.png" alt="stereografie" /></p> </blockquote> </blockquote> <h3 id="válcová-plocha-plášť-válce">Válcová plocha (plášť válce)</h3> <p>Totéž jako rovina</p> <h3 id="nakreslení-na-torus">Nakreslení na torus</h3> <p>“Povrch pneumatiky”. Můžeme na něj nakreslit vše co do roviny, ale opačně to neplatí.</p> <h3 id="eulerova-formule">Eulerova formule</h3> <blockquote> <p>Jeli graf \(G\) nakreslený do roviny:</p> <ul> <li>\(v = \lvert v(G) \lvert\)</li> <li>\(e = \lvert E(G) \lvert\)</li> <li>\(f = \#\text{stěn nakreslení}\)</li> </ul> \[v + f = e + 2\] <blockquote> <p><strong>Důkaz:</strong><br /> 1.\(G\) je strom: víme, že \(v-1 = e \rightarrow v = e + 1\), \(f=1 : v + f = v + 1 = e + 2\)</p> <ol> <li>indukční krok:<br /> Nechť \(e\) je hrana na kružnici a \(G' := G - e\) … paramatry: <ul> <li>\(v' = v\)</li> <li>\(e' = e - 1\)</li> <li>\(f' = f -1\)</li> </ul> </li> </ol> \[\Downarrow\] \[\begin{aligned} v' + f' &amp;= e' + 2 \\ v + f - 1 &amp;= e - 1 + 2 \\ v + f &amp;= e + 2 \end{aligned}\] </blockquote> </blockquote> <p><strong>Důsledek:</strong><br /> Stěny jsou vlastnost nakreslení. Všechna nakreslení téhož grafu mají stejný počet stěn.</p> <h3 id="maximální-rovinný-graf">Maximální rovinný graf</h3> <blockquote> <p><strong>Definice:</strong><br /> \(G\) je maximální rovinný \(\equiv G\) je rovinný \(\land \forall e \in {V(G) \choose 2} \setminus E(G): G + e\) není rovinný.</p> </blockquote> <blockquote> <p><strong>Věta:</strong><br /> V nakreslení maximálně rovinného grafu s minimálně 3 vrcholy jsou všechny stěny trojúhelníky.</p> <p><strong>Důkaz:</strong><br /> Nechť \(G\) je maximální rovinný topologický graf s nakreslením.</p> <ol> <li>kdy \(G\) nebyl souvislý (můžeme přidat hrany mezi komponentami)</li> <li>kdyby \(\exists\) stěna ohraničená \(C_n\) pro \(n &gt; 3\) (\(u,v :=\) nesousední vrcholy stěny přidáme hranu \(\{ u, v\}\) nakreslenou vnitřkem.)</li> <li>jinak jsou stěny ohraničené uzavřenými sledy co nejsou kružnice (opakuje se na něm vrchol \(v\)) (\(s-v\) má více komponent, \(u,w :=\) vrcholy různých komponent, lze přidat hranu \(\{ u, w\}\) a to je spor)</li> </ol> </blockquote> <h2 id="eulerova-formule-1">Eulerova formule</h2> <blockquote> <p>Jeli graf \(G\) nakreslený do roviny:</p> <ul> <li>\(v = \lvert v(G) \lvert\)</li> <li>\(e = \lvert E(G) \lvert\)</li> <li>\(f = \#\text{stěn nakreslení}\)</li> </ul> \[v + f = e + 2\] <blockquote> <p><strong>Důkaz:</strong><br /> 1.\(G\) je strom: víme, že \(v-1 = e \rightarrow v = e + 1\), \(f=1 : v + f = v + 1 = e + 2\)</p> <ol> <li>indukční krok:<br /> Nechť \(e\) je hrana na kružnici a \(G' := G - e\) … parametry: <ul> <li>\(v' = v\)</li> <li>\(e' = e - 1\)</li> <li>\(f' = f -1\)</li> </ul> </li> </ol> \[\Downarrow\] \[\begin{aligned} v' + f' &amp;= e' + 2 \\ v + f - 1 &amp;= e - 1 + 2 \\ v + f &amp;= e + 2 \end{aligned}\] </blockquote> </blockquote> <p>Pro triangulace a Eulerovy formule:</p> <ul> <li>\(3f = 2e\)</li> <li>\(f = \frac{2}{3}e\)</li> </ul> \[\begin{aligned} v + f &amp;= e + 2 \\ v + \frac{2}{3}e &amp;= e + 2 \\ v - 2 &amp;= \frac{1}{3}e \\ 3v - 6 &amp;= e \end{aligned}\] <blockquote> <p><strong>Věta:</strong><br /> Nechť \(G\) je rovinný graf s aspoň \(3\) vrcholy, \(v = \lvert V(G) \lvert , e = \lvert E(G) \lvert\).</p> <blockquote> <p><strong>Důkaz:</strong><br /> Nechť \(G'\) (triangula grafu \(G\)) je maximálně rovinný vzniklý z \(G\) přidáváním hran. \(\downarrow\)<br /> \(e' = 3v' - 6\)<br /> \(e' \geq 3v' - 6\)<br /> \(v' = v\)</p> </blockquote> </blockquote> <p><strong>Důsledky:</strong></p> <ul> <li>\(K_5\) není rovinný: \(v=5, e = {5 \choose 2} = 10 &gt; g\)</li> <li>Průměrný stupeň vrcholu &lt; 6 pro všechny rovinné grafy <ul> <li>pro \(v &lt; 3:\) triv</li> <li>jinak \(\frac{\sum_w \deg(w)}{v} = \frac{2e}{v} \leq \frac{6v - 12}{v} &lt; \frac{6v}{v} = 6\)</li> </ul> </li> <li>V každém rovinném grafu \(\exists\) vrchol stupně maximálně 5.</li> </ul> <hr /> <h2 id="barvení-map">Barvení map</h2> <p>Sousední státy (Sousední stěny topologického rovinného grafu) mají mít různé barvy \(\rightarrow\) <em>Problém čtyř barev</em></p> <p>Chceme barvit vrcholy: \(f: V \rightarrow \{1,...,k\}\) tak, aby \(\{u,v\} \in E \implies f(u) \neq f(v)\)</p> <h3 id="duální-graf">Duální graf</h3> <p>\(G = (V,E)\) se stěnami \(F \rightarrow G^*=(F,E^*)\)</p> <p>\(\{f_1, f_2 \} \in E^* \iff f_1, f_2\) sousedí v \(G\), \(e\) se zachová:</p> \[V \leftrightarrow f\] <p><img src="/assets/img/matfyz/teorie-grafu/dualni-graf.png" alt="Duální graf" /></p> <p>Obecně definováno na multigrafech.</p> https://blackblog.cz/nabozenska-mapa-ceske-spolecnosti/ 2020-02-27T00:00:00+01:00 2020-02-27T00:00:00+01:00 Jan Černý <p>Osobní poznámky k semináři na Evangelické teologické fakultě Karlovy univerzity.</p> <p><strong>Doporučená literatura:</strong></p> <ul> <li><strong>Hošek Pavel</strong> - A bohové se vracejí</li> <li><strong>Nešpor Zdeněk R.</strong> - Příliš slabí ve víře</li> <li><strong>Hamplová Dana</strong> - Náboženství v české společnosti na prahu 3. tisíciletí</li> </ul> <hr /> <ul id="markdown-toc"> <li><a href="#postmoderní-společnost" id="markdown-toc-postmoderní-společnost">Postmoderní společnost</a></li> <li><a href="#moderní-hodnoty" id="markdown-toc-moderní-hodnoty">Moderní hodnoty</a></li> <li><a href="#konzumerismus" id="markdown-toc-konzumerismus">Konzumerismus</a></li> <li><a href="#postmaterialismus" id="markdown-toc-postmaterialismus">Postmaterialismus</a></li> <li><a href="#náboženství" id="markdown-toc-náboženství">Náboženství</a> <ul> <li><a href="#porovnání-náboženských-směrů" id="markdown-toc-porovnání-náboženských-směrů">Porovnání náboženských směrů</a></li> <li><a href="#citát" id="markdown-toc-citát">Citát</a></li> <li><a href="#postmoderní-pohled-na-náboženství" id="markdown-toc-postmoderní-pohled-na-náboženství">Postmoderní pohled na náboženství</a></li> </ul> </li> <li><a href="#škála-náboženských-institucí" id="markdown-toc-škála-náboženských-institucí">Škála náboženských institucí</a></li> <li><a href="#křesťanství-v-postmoderní-společnosti" id="markdown-toc-křesťanství-v-postmoderní-společnosti">Křesťanství v postmoderní společnosti</a> <ul> <li><a href="#klíčové-neverbalizované-preference-náboženského-života-v-postmoderní-společnosti" id="markdown-toc-klíčové-neverbalizované-preference-náboženského-života-v-postmoderní-společnosti">Klíčové neverbalizované preference náboženského života v postmoderní společnosti</a></li> </ul> </li> </ul> <hr /> <h2 id="postmoderní-společnost">Postmoderní společnost</h2> <ul> <li>Zhruba od 60. let 20. století</li> <li>Posun k subjektivismu</li> <li>Menší význam vnějších (“objektivních”) rolí a povinností</li> <li>Větší význam subjektivních zážitků a pocitů</li> <li>Méně: <ul> <li>Vnějších řádů</li> <li>Autorit</li> <li>Institucí</li> <li>Přijetí rolí</li> <li>Hodnota pravdy</li> <li>“Objektivních dat” (vážnost pravdivých informací)</li> <li>“Velkých příběhů” (národní dějiny, hrdinové z historie)</li> </ul> </li> <li>Více: <ul> <li>Vnitřní potřeby</li> <li>Touhy</li> <li>Osobní kapacity</li> <li>Vytváření vztahů</li> <li>Jedinečnost hodnoty svobody</li> <li>Komplex z nahraditelnosti: <ul> <li>Autonomie</li> <li>Autentičnost</li> <li>Sebevyjádření</li> </ul> </li> </ul> </li> </ul> <h2 id="moderní-hodnoty">Moderní hodnoty</h2> <ul> <li>Konformita vůči vnějšímu řádu</li> <li>Poslušnost autoritě</li> <li>Instituce jako garant vztahů (oficiální a náboženské sňatky)</li> <li>Společenské role</li> </ul> <h2 id="konzumerismus">Konzumerismus</h2> <ul> <li>Nízká ochota trpět</li> <li>Malá schopnost se nadchnout</li> <li>Ochablost vůle</li> <li>Prokrastinace</li> <li>Neochota připouštět si otázky a problémy</li> </ul> <h2 id="postmaterialismus">Postmaterialismus</h2> <ul> <li>Touha cítit se dobře</li> <li>Zkvalitnit vlastní život</li> <li>Zažít zkušenost vlastním “já”</li> </ul> <h2 id="náboženství">Náboženství</h2> <ul> <li>Významný segment</li> <li>“Kultura dobrého bydla”: <ul> <li>Individuální</li> <li>Praktické</li> <li>Emočně bohaté</li> <li>Zábavné</li> </ul> </li> <li>V postmoderní době je rozděleno na dva proudy: <ul> <li><strong>Zbožnost objektivní pravdy</strong> - reprezentující předmoderní a moderní hodnoty</li> <li><strong>Zbožnost subjektivní zkušenosti</strong> - reprezentující postmodernitu a její hodnoty</li> </ul> </li> <li>Častý názor: <code class="language-plaintext highlighter-rouge">"Zucelený pohled na svět je omezující a dogmatický"</code></li> </ul> <h3 id="porovnání-náboženských-směrů">Porovnání náboženských směrů</h3> <table> <thead> <tr> <th style="text-align: center"><strong>Zbožnost objektivní pravdy</strong></th> <th style="text-align: center"><strong>Zbožnost subjektivní zkušenosti</strong></th> </tr> </thead> <tbody> <tr> <td style="text-align: center">Objektivní</td> <td style="text-align: center">Subjektivní</td> </tr> <tr> <td style="text-align: center">Společenská</td> <td style="text-align: center">Individuální</td> </tr> <tr> <td style="text-align: center">Konformní</td> <td style="text-align: center">Neinstituční</td> </tr> <tr> <td style="text-align: center">Intelektuální</td> <td style="text-align: center">Zkušenosti</td> </tr> <tr> <td style="text-align: center">Principiální</td> <td style="text-align: center">Praktická</td> </tr> <tr> <td style="text-align: center">Tradiční</td> <td style="text-align: center">Inovativní</td> </tr> <tr> <td style="text-align: center">Racionální</td> <td style="text-align: center">Emočně bohatá</td> </tr> <tr> <td style="text-align: center">Odpovědná</td> <td style="text-align: center">Zábavná</td> </tr> <tr> <td style="text-align: center">“Vnější bůh”</td> <td style="text-align: center">“Vnitřní bůh”</td> </tr> </tbody> </table> <h4 class="no_toc" id="považuje-se-za">Považuje se za:</h4> <table> <tbody> <tr> <td>Hluboké</td> <td>Svobodné</td> </tr> <tr> <td>Věrné</td> <td>Tvořivé</td> </tr> <tr> <td>Odpovědné</td> <td>Životní hloubka</td> </tr> <tr> <td>Morální</td> <td>Tolerantní</td> </tr> </tbody> </table> <h4 class="no_toc" id="považují-tu-druhou-za">Považují tu druhou za:</h4> <table> <tbody> <tr> <td>konzumerismus</td> <td>kontrola</td> </tr> <tr> <td>egoistické</td> <td>dogmatičnost</td> </tr> <tr> <td>přelétavost</td> <td>neživotnost</td> </tr> <tr> <td>synkreze</td> <td>povrchnost</td> </tr> <tr> <td>klientelismus</td> <td>výlučnost</td> </tr> <tr> <td> </td> <td>omezující/hierarchie</td> </tr> </tbody> </table> <h3 id="citát">Citát</h3> <blockquote> <h1 class="no_toc" id="češi-nejsou-národ-ateistů-ale-náboženských-ignorantů">„Češi nejsou národ ateistů, ale náboženských ignorantů.‟</h1> <p>- Doc. PhDr. Zdeněk Vojtíšek Th.D. 2020</p> </blockquote> <h3 id="postmoderní-pohled-na-náboženství">Postmoderní pohled na náboženství</h3> <ul> <li>Účel: <ul> <li>osobní rozvoj</li> <li>expanze vlastního já</li> </ul> </li> <li>Zažít sebe samého jako součást náboženství</li> <li>Rozšíření kapacity, obohacení</li> <li>“Ozdobení své osobnosti a života”</li> <li>Božství: vnitřní hlas, prožívání, pocity, naladění se</li> <li>Pragmatický individualismus</li> <li>Shiela Larsová - odpověděla na otázku, co je její náboženství “Sheilaism. Just my little voice”</li> <li>Autorita - uvnitř (prožívání, emoce, svědomí)</li> <li>Správné je to, co cítíš</li> <li><a href="https://moje-pravdy.cz/">moje-pravdy.cz</a> - ukázka “Sheilaismu”</li> <li>Islámská společnost - dříve měli autoritu Imánové, dnes ji ale mají radikální nováčci, kteří umí dobře zacházet se sociálními sítěmi</li> <li>Fragmentární víra - z kousků náboženství, které do sebe ani nemusí zapadat</li> <li>Příležitostní víra - nepravidelná zbožnost v závislosti na příležitostech</li> <li>Nenáboženská spiritualita</li> <li><strong>Bezbolestný altruismus</strong> - posílání dárcovských SMS; typické pro ČR</li> <li>Promítání vlastní hodnoty a představy do symbolů a lidí (charismatizace Dalajlamy na západě)</li> <li>I přesto, že nemá rád instituce, tak je vytváří</li> </ul> <h2 id="škála-náboženských-institucí">Škála náboženských institucí</h2> <ul> <li><strong>Společenství vzdoru</strong> <ul> <li>předkoncilní katolíci, pravoslavní, šítský islám</li> <li>touží po předmoderní společnosti (jedno náboženství, které bude prostupovat celou společnost, církev splývá se společností)</li> </ul> </li> <li><strong>Společenství tradice</strong> <ul> <li>liberální mainstreamové denominace</li> </ul> </li> <li><strong>Společnost vztahu</strong> <ul> <li>evangelikálové, mariánská hnutí (čerpají z evangelismu), nová hnutí</li> <li>Ježíš se stává kamarádem, se kterým mám blízký vztah</li> <li>společné aktivity mezi členy</li> <li>vztah s transcendentními bytostmi i skutečnými lidmi</li> <li>Ježíš je jako starší bratr, Marie je jako matka</li> </ul> </li> <li><strong>Společenství moci</strong> <ul> <li>pentekostalisté, BDC, JDŽ</li> <li>cílem je převzít kontrolu nad svým životem a nenechat se ovládat okolním světem</li> <li>lidé v korporátech hledající klid a motivaci</li> <li>jednoduché bohoslužby zdůrazňující moc a “boj s démony”</li> <li>Boží síla je obměna “energie” z reiki</li> <li>slovenská církev Milosť - neocharismatické hnutí; soudí se se Slovenským státem (neregistrovaní); zázračný léčitel Benny Hinn</li> </ul> </li> <li><strong>Společenství cesty</strong> <ul> <li>mystikové, jogíni a buddhisté</li> <li>…</li> </ul> </li> <li><strong>Společenství sdíleného zážitku</strong> <ul> <li>víkendové akce New Age</li> </ul> </li> <li><strong>Společenství náboženských služeb</strong> <ul> <li>léčitelství, psychoterapie</li> </ul> </li> <li><strong>Společenství bez instituce</strong> <ul> <li>samostatní hledači, čtenáři</li> </ul> </li> </ul> <h2 id="křesťanství-v-postmoderní-společnosti">Křesťanství v postmoderní společnosti</h2> <ul> <li>Atraktivita jiných nových směrů je výzva pro křesťanství</li> <li>Posun dovnitř: role svědomí, “vnitřního hlasu”, prožitek Boží přítomnosti, emoční bohatství</li> <li>Vnitřní sekularizace (v důsledku subjektivismu a menší možnosti institučních sankcí) - vlastní výběr prvků nauky a morálky vlastní kombinace a inovace prvků nauky</li> <li>Křesťané nejsou zvyklí ptát se proč, řešit účel a minulost</li> <li>Zázraky v moderní době vadily - odporují vědě, hlavně USA</li> <li>V postmoderní době - křesťanství nese pravidla a špatný pocit z jejich porušení</li> <li>Hnutí Modrý kříž - radikální, charismatická skupina; extrémně uzavřená a silně patologická; neustálé pokání</li> <li><strong>Křesťanská mystika</strong> - jak být zbožný, ale bez instituce a bez Bible; zkratka k bohu, okolo věcí pro postmodernu nepříjemných <ul> <li><strong>Andělé</strong> - bůh je veliký a vzdálený, anděl je individuální, prožívá všechno s vámi, (před 50 lety mrtvé téma, nyní jsou všude)</li> <li><strong>Démoni</strong> - bytosti, co se nás snaží ovlivnit a strhnout ke špatným věcem; svádění viny (Démon pozdního vstávání), velký zájem o exorcismus (extrémně v Polsku), velmi postmoderní prvek</li> <li><strong>Lorna Byrneová</strong> - úspěšná autorka a mystička (velmi aktivní irská katolička) - klasická autorka Nového věku, spojuje křesťanství a ezoterismus, nyní velmi populární mezi římskými katolíky</li> <li><strong>Neal Donald Wlash</strong> - před deseti lety velmi populární autor, velmi subjektivní bůh, populární v New age -<strong>Opravdový</strong> život v bohu - velmi radikální hnutí, odmítají světce a tradiční manželství - nadřazují ženu (ohrožující vztahy)</li> </ul> </li> <li>Inovativní osobnosti: <ul> <li>Richard Roht - františkán; mužská spiritualita, iniciace, eneagram (typologie osobnosti), bubnování (vychází z šamanství), zážitky vedoucí k sebepoznání - česká instance [chlapy.cz][www.chlapy.cz]</li> </ul> </li> <li>křesťanství rapidně roste - Čína, Indie, Afrika - nebude ale v podobě jako dnes</li> </ul> <h3 id="klíčové-neverbalizované-preference-náboženského-života-v-postmoderní-společnosti">Klíčové neverbalizované preference náboženského života v postmoderní společnosti</h3> <table> <tbody> <tr> <td>majetnictví pravdy</td> <td>hledačství pravdy</td> </tr> <tr> <td>velký příběh</td> <td>malé osobní příběhy</td> </tr> <tr> <td>direktivnost</td> <td>volba</td> </tr> <tr> <td>vědění</td> <td>prožívání</td> </tr> <tr> <td>formální vztahy</td> <td>přirozené vztahy</td> </tr> <tr> <td>paternalismus</td> <td>svoboda</td> </tr> <tr> <td>řád</td> <td>spontaneita a kreativita</td> </tr> <tr> <td>organizace</td> <td>společenství</td> </tr> <tr> <td>členství</td> <td>klientství</td> </tr> <tr> <td>tíha sebereflexe</td> <td>cítit se dobře</td> </tr> <tr> <td>povinnost</td> <td>zábava</td> </tr> </tbody> </table> https://blackblog.cz/hnuti-noveho-veku/ 2020-02-21T00:00:00+01:00 2020-02-21T00:00:00+01:00 Jan Černý <p>Osobní poznámky k semináři na Evangelické teologické fakultě Karlovy univerzity.</p> <p><strong>Doporučená literatura:</strong></p> <ul> <li><strong>Zdeněk Vojtíšek</strong> - Encyklopedie náboženských směrů v České republice - 2004 Portál</li> <li>Časopis Dingir</li> </ul> <hr /> <ul id="markdown-toc"> <li><a href="#úvod" id="markdown-toc-úvod">Úvod</a> <ul> <li><a href="#podobenství-o-hladu-ve-městě" id="markdown-toc-podobenství-o-hladu-ve-městě">Podobenství o hladu ve městě</a> <ul> <li><a href="#distancovaní" id="markdown-toc-distancovaní">Distancovaní</a></li> </ul> </li> </ul> </li> <li><a href="#reiki" id="markdown-toc-reiki">Reiki</a></li> <li><a href="#západní-esoterismus" id="markdown-toc-západní-esoterismus">Západní esoterismus</a> <ul> <li><a href="#vývoj" id="markdown-toc-vývoj">Vývoj</a></li> </ul> </li> <li><a href="#theosofická-společnost" id="markdown-toc-theosofická-společnost">Theosofická společnost</a> <ul> <li><a href="#jelena-petrovna-blavatskaja-1831---1891" id="markdown-toc-jelena-petrovna-blavatskaja-1831---1891">Jelena Petrovna Blavatskaja (1831 - 1891)</a></li> <li><a href="#henry-steel-olcott-1832---1907" id="markdown-toc-henry-steel-olcott-1832---1907">Henry Steel Olcott (1832 - 1907)</a></li> <li><a href="#william-james-1842---1910" id="markdown-toc-william-james-1842---1910">William James (1842 - 1910)</a></li> <li><a href="#annie-wood-besentová-1847---1933" id="markdown-toc-annie-wood-besentová-1847---1933">Annie Wood Besentová (1847 - 1933)</a></li> <li><a href="#charles-websetr-leadbeater-1847---1933" id="markdown-toc-charles-websetr-leadbeater-1847---1933">Charles Websetr Leadbeater (1847 - 1933)</a></li> <li><a href="#rudolf-steiner-1861---1925" id="markdown-toc-rudolf-steiner-1861---1925">Rudolf Steiner (1861 - 1925)</a></li> <li><a href="#alice-beileová-1880---1949" id="markdown-toc-alice-beileová-1880---1949">Alice Beileová (1880 - 1949)</a></li> <li><a href="#carl-gustav-jung-1875---1961" id="markdown-toc-carl-gustav-jung-1875---1961">Carl Gustav Jung (1875 - 1961)</a></li> </ul> </li> </ul> <hr /> <h2 id="úvod">Úvod</h2> <ul> <li>Známé pod názvem <code class="language-plaintext highlighter-rouge">New age</code></li> <li>Dnes představuje: <ul> <li>instituce</li> <li>společenská nálada</li> <li>ideologie</li> <li>byznys</li> </ul> </li> </ul> <h3 id="podobenství-o-hladu-ve-městě">Podobenství o hladu ve městě</h3> <blockquote> <p>Ve městě je hlad, lidé v něm jsou hladoví. Hlad mají v nějaké míře všichni. Někdo má velký, někdo skoro žádný, ale i ten ví, že ve městě hlad je. Jednotliví lidé hledají potravu. Když se podíváte z okna, tak vidíte lidi dobývat se do zavřených obchodů a nebo jiným způsobem si získávat potravu. (Jev - paralelní chování). Objeví se nová zpráva, že na starém předměstí je nový obchod, který je plný chleba. Hromada lidí vtrhne do obchodu a vyrabuje ho (jev - kolektivní chování). Ostatní lidé toto chování považují za neakceptovatelné a snaží se donutit magistrát města, aby s tím něco dělal. Uspořádají demonstraci, všichni budou mít transparenty, stejnou čepici s nápisem “jídlo pro všechny”. S těmito hesly vzniká ideologie. Nakonec lidé donutí magistrát reagovat. Vznikne nový odbor distribuce potravin. Začne mít velké pravomoce, velký politický vliv i vliv na náboženství. Nakonec se odbor distancuje od lidí, politiky i náboženství a stává se samostatnou institucí.</p> <p>To všechno jsou hnutí nového věku.</p> </blockquote> <p><em>Hlad</em> = nápor a touha po subjektivním náboženství. Dnes lidé mají hlad po náboženství, i když tomu náboženství neříkají. I ti, co nemají hlad cítí, že ve společnosti je. <em>Hledači</em> - kupují si knihy, chodí na semináře, účastní se internetových diskuzí.<br /> <em>společenské hnutí</em> - hnutí nesoucí ideologii, touhu po změně</p> <h4 id="distancovaní">Distancovaní</h4> <ul> <li>Stanislav Grov <ul> <li>psychiatr</li> <li>slavný a uznávaný člověk</li> <li>založil vlastní hnutí</li> <li>ideologicky vychází z hnutí nového věku, ale distancuje se od nich</li> </ul> </li> </ul> <hr /> <h2 id="reiki">Reiki</h2> <ul> <li>Předpoklad existence <em>duchovní energie</em> <code class="language-plaintext highlighter-rouge">ki</code> (japonská interpretace čínské energie <code class="language-plaintext highlighter-rouge">chi</code>[či])</li> <li>Odvozuje se od Japonce Usui Mikao (1865 - 1926), který měl v roce 1914 náboženský prožitek</li> <li>Legenda a informace o vzniku jsou velmi chatrné a pofidérní</li> <li><code class="language-plaintext highlighter-rouge">Čakra</code> - energetické místo, které se otáčí a distribuuje kosmickou energii po těle</li> <li>Předpoklady: <ul> <li><em>zasvěcení</em> = otevření tří spodních čaker</li> <li><em>právo zasvěcovat</em> má člověk až po otevření všech 7 čaker</li> </ul> </li> <li>Člověk neuzdravuje, ale dokáže usměrňovat kosmickou energii na nemocná místa, kde energie léčí a harmonizuje</li> <li><strong>Plausibilní teorie</strong> <blockquote> <p>Ve vesmíru je kosmická harmonická energie, pokud něco nefunguje nebo je někdo nemocný, je to důsledek disharmonie nebo nesprávného množství energie. Uzdravovat a opravovat se tedy dá usměrňováním kosmické energie.</p> </blockquote> </li> <li>Cílem je pomoci světu</li> <li><strong>Nevědomé reiki</strong> - reiki působí všude, i když o tom nevíte, takže lidé, co jsou uzdraveni třeba modlitbou, byli uzdraveni reiki nevědomě. Popis podobné energie je i v jiných směrech z <em>New age</em> hnutí (Indie - brány; Čína - chi; Homeopatika - vitális)</li> <li>Reiki je i kultura - velké množství knih, videí, filmů</li> <li>Kurzy reiki - kolektivní chování - velký byznys</li> <li>Reiki je i pohledem na svět a osobní filosofie</li> <li><code class="language-plaintext highlighter-rouge">Aura</code> = jemnohmotná/nehmotná energie kolem člověka. Je možné ji cítit a uzdravovat.</li> <li><code class="language-plaintext highlighter-rouge">Tělo</code> = hrubohmotná část člověka</li> <li>Cílem reiki není uzdravit přímo tělo, ale auru a tím i tělo</li> <li>Reiki jako instituce - REIKI ASSOCIATION INTERNATIONAL (vydává časopis <code class="language-plaintext highlighter-rouge">Srdce rodiny</code>), REIKI ALIANS</li> <li>Silný placebo efekt</li> <li>Je známo nezanedbatelné množství lidí, kteří z reiki učinili jedinou léčbu svých nemocí, kterým nakonec podlehli nebo je dostaly do velmi vážných stavů</li> </ul> <hr /> <h2 id="západní-esoterismus">Západní esoterismus</h2> <p>Pozorování - 13.3. 11:3O</p> <ul> <li>Vychází z předpokladu, že existují dvě podoby náboženství: <ul> <li>exoterní - okolní svět určený pro obyčejné lidi</li> <li>esoterní - vnitřní svět určený pro vybrané jedince</li> </ul> </li> <li>Podoba světa jsou sféry obsahující různé objekty</li> <li>Gnostický obraz světa (starší než křesťanský)</li> <li>Svět prvotní Boží emanace: <ul> <li>svět stvořený - svět praforem, archetypů, idejí</li> <li>svět utvářený - astrál - hutnější, hmotnější forma</li> <li>svět činný - oblast hmotného světa</li> </ul> </li> <li>Astrál <ul> <li>spiritismus, channeling, kontaktérství</li> <li>aura, aurická fotografie, aurický vampirismus, manipulace s astrálními silami</li> <li>automatické psaní, automatická kresba, věštba, parapsychologie (ESP), transpersonální zážitky</li> <li>astrální cestování, zážitky mimo tělo (OBE), životní síla</li> <li>reinkarnace (duchovní evoluce)</li> </ul> </li> <li>Spásné poznání</li> <li>Vyžaduje výcvik</li> <li>Otevřené jen duchovně vyspělým</li> <li>Vyžaduje vedení pokročilým učitelem</li> <li>Náboženství k prazákladu - monoteismus, pantheismus</li> <li>Korespondence mezi hmotným a duchovním světem <ul> <li>astrologie</li> <li>magie</li> <li>alchymie</li> </ul> </li> <li>Porozumění pro symbolickou řeč (užívaní symbolů ke komunikaci)</li> <li>Původ <ul> <li>starověk <ul> <li>Hermetická tradice - počátek v helénizovaném Egyptě, gnóze egyptský bůh Thovt, písař, patron (tajného) vědění řecký bůh Hermés, posel bohů, průvodce podsvětím</li> <li>Hermés Triemegiston (Trojmocný) <ul> <li>Klíče k tajemnství tří věd: Magie, Alchymie, Astrologie</li> <li>Připisovány starověké spisy (ze 2. a 3. století) - Corpus Hermeticum, Asclepius, Smaragdová deska</li> </ul> </li> </ul> </li> </ul> </li> <li>Pojmy: <ul> <li><strong>Esoterismus</strong> = skrytá podoba náboženství (Indická tantra, Západní esoterismus)</li> <li><strong>Hermetismus</strong> = intelektuální podoba západního esoterismu. Propracovanější filosofie, bádání ve spisech a knihách.</li> <li><strong>Esoterika</strong> = hanlivé označení komerční podoby esoterické tradice</li> <li><strong>Okultismus</strong> = byl ekvivalentní esoterismu. Během 20. století slovo nabylo lidovosti a pejorativnosti. Dnes je tím myšlena lidová podoba okultismu</li> </ul> </li> <li>Prvorepublikový esoterismus - rozkvět esoterismu v Česku</li> <li>Esoterismus byl velmi častá odpověď na znepokojující zjištění společnosti, že existuje mnoho náboženství.</li> <li>Znovuobjevení v renesanci</li> <li>Překlad Herméských desek - Marsilio Ficino (1433 - 1499)</li> <li>V renesanci se pohanské motivy dostaly mezi intelektuály (včetně papežů), kteří nebrali esoterismus jako protikřesťanský, ale jako doplnění křesťanství.</li> </ul> <h3 id="vývoj">Vývoj</h3> <ul> <li><strong>16. století</strong> <ul> <li>Paracelsus (1493 - 1541) - alchymista</li> <li>Nostradamus (1503 - 1566) - dílo Centuria - zásadní vliv na hnutí nového věku</li> <li>Edward Kelly (1555 - 1597) - alchymista na dvoře Rudolfa II.</li> </ul> </li> <li><strong>17. století</strong> <ul> <li>Rosikruciánská bratrstva <ul> <li>Filantropické a pansofické bratrstvo</li> <li>1614 - 1616</li> <li>Spisy: <ul> <li>Fama Fraternitatis</li> <li>Confessio Fratnitas</li> <li>Chymická svatba Christiana Rosenkreuze</li> </ul> </li> <li>Údajné počátky: bratrstvo na dvoře faraona Echnatona</li> </ul> </li> </ul> </li> <li><strong>18. století</strong> <ul> <li>Svobodní zednáři <ul> <li>Svobodný intelektuální prostor mimo vliv církve</li> <li>V roce 1666 byl v Londýně požár -&gt; obrovská poptávka po stavitelství</li> <li>Přijetí zednáři - intelektuálové, kteří nejsou zedníci</li> <li>Považovali boha za hodináře, který vytvořil a natáhl stroj a pak do něj nezasahuje</li> <li>Velmi se rozšířili v USA (symboly na bankovkách atd.)</li> </ul> </li> </ul> </li> <li><strong>19. století</strong> <ul> <li>Esoterické léčitelství - Mesmerismus</li> <li>Samual Hahneman - homeopatika</li> <li>Nové myšlení - “pozitivní myšlení se promítá do nového světa”</li> <li>Spiritismus</li> <li>Theosofická společnost (1875) - zanikla, protože je tak úspěšná. Všechny koncepty new age pocházejí z theosofické společnosti., vycházejí z ní i indické směry</li> <li>Hermetické obrození a okultní společnosti (od poslední třetiny 19. stol)</li> </ul> </li> <li><strong>20. století</strong> <ul> <li>parapsychologie (parapsychotronika) - od první třetiny 20. století <ul> <li>v USSR - velmi rozšířené k vojenským účelům (špionáž, ovládání, ovlivňování)</li> <li>film “Muži, kteří zírají na kozy”</li> <li>v Československu - světová špička. Vznik teorie Mentionů</li> <li><a href="http://www.cepes.cz/">ČEPES</a> - Česká psychoenergetická společnost</li> </ul> </li> <li>Ufologie (1947) <ul> <li>Náboženská víra v mimozemšťany</li> </ul> </li> <li>Hnutí lidského potenciálu <ul> <li>hlásání, že člověk má potenciál být bůh</li> <li>např. Scientologové</li> </ul> </li> <li>Hnutí nového věku</li> </ul> </li> </ul> <hr /> <h2 id="theosofická-společnost">Theosofická společnost</h2> <ul> <li>Využívá myšlenku evoluce</li> <li>Seznámení s jinými kulturami</li> <li>Evoluce + reinkarnace = myšlenka theosofie 19. století</li> <li>Reakce na nedostatečnou reflexi nové situace u majoritních církvích</li> <li>“Hermetické obrození”</li> <li>Odpověď na zájem o spiritualismus</li> <li>Nemá dogmatické náboženství</li> <li>Katolická církev se opevnila dogmatismem</li> <li>Kompromis mezi dogmatickým náboženstvím a materialismem</li> <li>Velký zájem o indická náboženství</li> <li>Obnova indických tradic po Britském kolonialismu</li> <li>Moto: <blockquote> <p>„Není náboženství, které by stálo výše než pravda.“</p> </blockquote> </li> <li> <h3 id="jelena-petrovna-blavatskaja-1831---1891">Jelena Petrovna Blavatskaja (1831 - 1891)</h3> <ul> <li>zvala si třikrát staršího muže; utekla od něj a žádala o rozvod</li> <li>spiritismus</li> <li>živila se jako médium</li> <li>údajně byla sedm let v Tibetu (Pravděpodobně není pravda)</li> <li>1875 - zúčastnila s kongresem spiritistů</li> <li>přestal ji spiritismus bavit - založila Theosofickou společnost</li> <li>V třetí čtvrtině 19. století stanovila: <ul> <li>Duchovní evoluce k bratrství lidstva - lidstvo se vyvíjí pozitivně</li> <li>Srovnávací studium náboženství a filosofie - způsob jak proniknou k náboženství prazákladu</li> <li>Studium sil v člověku - člověk má božskou podstatu, která může být rozvíjena. Projevují se v jasnovidectví, kontaktem s nelidskými bytostmi, zázraky (prostě nadpřirozené vnitřní schopnosti)</li> </ul> </li> <li>Dílo: <ul> <li>Odhalení Isis (1877) - nadiktováno vyšší bytostí</li> <li>Tajné učení (1888) - nadiktovali Mistr Moria a Mistr Kutumi (Tibetští esoteričtí učitelé, nehmotní)</li> <li>Klíč k theosofii (1889) - to samé…</li> </ul> </li> <li>Její knihy jsou spíš kompilace o ostatních náboženství než vlastní myšlenky</li> <li>1883 - velká plagiátorská aféra</li> <li>1885 -zkoumání Americkou společností pro výzkum psychiky - odhalení jejich podvodů</li> </ul> </li> </ul> <blockquote> <p>„Naším prvním cílem je vytvořit jádro celosvětového Bratrství a Lidství bez rozlišování rasy, barvy pleti a vyznání; naším druhým cílem je podpořit studium árijských a jiných spisů stejně jako náboženství a věd celého světa a ukázat důležitost starobylé asijské literatury, a zejména bráhmanistické, buddhistické a zoroastrické filosofie; naším třetím cílem je do hloubky a ze všech možných stran prozkoumat skrytá tajemství Přírody, a zvláště pak psychické a spirituální síly skryté v člověku.“</p> <p>- J. P. B., Klíč k theosofii, 1889</p> </blockquote> <ul> <li> <h3 id="henry-steel-olcott-1832---1907">Henry Steel Olcott (1832 - 1907)</h3> <ul> <li>propagoval Budhismus na Ceylonu, Thajsku a dalších</li> <li>napsal knihu Budhistický katechismus - velmi úspěšný v buddhistických zemí</li> </ul> </li> <li> <h3 id="william-james-1842---1910">William James (1842 - 1910)</h3> <ul> <li>Zakladatel psychologie náboženství</li> <li>významný filosof</li> </ul> </li> <li> <h3 id="annie-wood-besentová-1847---1933">Annie Wood Besentová (1847 - 1933)</h3> <ul> <li>přezdívka militantní Anička</li> <li>cíle vědomá</li> <li>velmi vzdělaná</li> <li>organizovala stávky</li> <li>zakládala theosofická centra</li> <li>Po smrti Jeleny nahradila její místo</li> <li>navzájem se exkomunikovali s Henrym Steel Olcottem - oba zneužívali falešné výpovědi nehmotných bytostí k moci</li> </ul> </li> <li> <h3 id="charles-websetr-leadbeater-1847---1933">Charles Websetr Leadbeater (1847 - 1933)</h3> <ul> <li>Uznaný pedofil</li> <li>organizačně schopný</li> </ul> </li> <li>Hledání pranáboženství (šamanismus byl před pohanstvím)</li> <li>zasvěcení do skryté moudrosti</li> <li>velmi málo semických náboženství</li> <li>Avatar - sestoupení božstva - druhý příchod Krista <ul> <li>jako avatar byl určen <strong>Džíddu Krišnamurtí</strong> <ul> <li>velmi vzdělaný</li> <li>Indický původ</li> <li>v mladém věku přednášel</li> <li>rozhádal se s teosofickou společností - odmítal post mesiáše</li> <li>sepsal spoustu knih</li> <li>podle něj instituce a církve duchovnu brání</li> </ul> </li> </ul> </li> <li> <h3 id="rudolf-steiner-1861---1925">Rudolf Steiner (1861 - 1925)</h3> <ul> <li>udělal skandál tím, že se chtěl vrátit k západnímu esoterismu a křesťanství</li> <li>odloučil se s německou církví po určení mesiáše</li> <li>založil Antroposofie</li> <li>FUNFACT: zakladatel drogerie DM je antroposof</li> </ul> </li> <li> <h3 id="alice-beileová-1880---1949">Alice Beileová (1880 - 1949)</h3> <ul> <li>významná theosofka</li> <li>sama začala kontaktovat mahátmy</li> <li>dostala se do konfliktu s Anne Wood Besentovou</li> <li>odloučila se pod jménem Argánská škola</li> <li>v padesátých letech 20. soletí vzniká Nová Akropolis - obnova theosofické společnosti (misijní strategie je nabídka studia a pak nenápadně konvertovat)</li> <li>prosazovala ideu skupin světla: <blockquote> <p>Jsou tady jedinci co jsou duchovně pokročilí, ale tito jedinci zůstávají jednotlivci. Ale tito jednotlivci mohou vytvořit “skupiny světla”. Malé ostrůvky, které se budou zvětšovat až pohltí celý svět.</p> </blockquote> </li> <li>Její myšlenky jsou velmi významné pro hnutí nového věku</li> <li>Dílo: <ul> <li>Invokace: <blockquote> <p>Nechť z bodu Světla v Mysli Boží<br /> proudí Světlo v Mysl lidí. <br /> Kéž Světlo sestoupí na Zem!</p> <p>Nechť z bodu Lásky v Srdci Božím<br /> proudí Láska v srdce lidí.<br /> Kéž se Kristus vrátí na Zem!</p> <p>Ze středu, v němž je Vůle Boží známa,<br /> kéž účel malé lidské vůle vede,<br /> ten účel, který Mistři znají a jemuž slouží.<br /> Ze středu, jejž lidské plémě zveme,<br /> nechť plán Lásky a Světla vzejde<br /> a zapečetí bránu, za níž sídlí zlo.</p> <p>Kéž Světlo, Láska a Síla obnoví tento plán na Zemi!</p> </blockquote> </li> </ul> </li> </ul> </li> <li> <h3 id="carl-gustav-jung-1875---1961">Carl Gustav Jung (1875 - 1961)</h3> <ul> <li>Reagoval na změnu zvěrokruhu: <blockquote> <p>„… je to mé lékařské svědomí, které mne nabádá, jedné velké historické epochy – konci jednoho eónu. Jak víme už ze staroegyptských dějin, jsou to pokaždé na konci jednoho a na začátku následujícího platónského měsíce. Jsou to, jak se zdá, změny v konstelaci psychických dominant, archetypů, ’bohů‘, které způsobují anebo doprovázejí sekulární proměny kolektivní psýché. Tato proměna již v průběhu historické tradice započala a zanechala své stopy nejdříve v přechodu z věku Býka (Taurus) do věku Berana (Aries) a pak při přechodu z věku Berana do věku Ryb (Pisces), jehož začátek koinciduje se vznikem křesťanství. Nyní se blížíme k velké změně, kterou lze očekávat se vstupem jarního bodu do souhvězdí Vodnáře (Aquarius). Současná světová situace je jako dosud nikdy vhodná k tomu, aby vzbuzovala očekávání nějaké rozhodující, nadpozemské a nadpřirozené události.“</p> <p>- C. G. Jung, Tajemno na obzoru</p> </blockquote> </li> </ul> </li> <li>Benjamin Creme <ul> <li>1945 - Maitréja ohlásil příchod svůj a Nového věku</li> <li>1959 - zprávy od Maitréji</li> <li>1977 - proroctví – očekávání 21. června 1982, žije nenápadně dostatek potravin, obydlí, zdravotní péče, vzdělání</li> </ul> </li> </ul> https://blackblog.cz/nova-nabozenska-hnuti/ 2020-02-03T00:00:00+01:00 2020-02-03T00:00:00+01:00 Jan Černý <p><strong>Doporučená literatura:</strong></p> <ul> <li><strong>Douglas E. Cowan, David G. Bromley</strong> - Sekty a nová náboženství</li> <li><strong>Zdeněk Vojtíšek</strong> - Nová náboženství a násilí</li> </ul> <hr /> <ul id="markdown-toc"> <li><a href="#úvod" id="markdown-toc-úvod">Úvod</a> <ul> <li><a href="#ideální-typy-postavení-duchovního-společenství-ve-většinové-společnosti" id="markdown-toc-ideální-typy-postavení-duchovního-společenství-ve-většinové-společnosti">Ideální typy postavení duchovního společenství ve většinové společnosti</a></li> <li><a href="#nové-náboženské-hnutí" id="markdown-toc-nové-náboženské-hnutí">Nové náboženské hnutí</a></li> </ul> </li> <li><a href="#teorie-konverze" id="markdown-toc-teorie-konverze">Teorie konverze</a> <ul> <li><a href="#vymývání-mozků" id="markdown-toc-vymývání-mozků">“Vymývání mozků”</a></li> <li><a href="#deprogramování" id="markdown-toc-deprogramování">Deprogramování</a></li> <li><a href="#tendence-konverze" id="markdown-toc-tendence-konverze">Tendence konverze</a></li> <li><a href="#psychologické-experimenty" id="markdown-toc-psychologické-experimenty">Psychologické experimenty</a> <ul> <li><a href="#test-konformity" id="markdown-toc-test-konformity">Test konformity</a></li> <li><a href="#test-poslušnosti-autoritě" id="markdown-toc-test-poslušnosti-autoritě">Test poslušnosti autoritě</a></li> <li><a href="#standfortský-experiment" id="markdown-toc-standfortský-experiment">Standfortský experiment</a></li> <li><a href="#test-potřeby-kladného-přijetí" id="markdown-toc-test-potřeby-kladného-přijetí">Test potřeby kladného přijetí</a></li> </ul> </li> <li><a href="#zákon-kognitivní-disonance" id="markdown-toc-zákon-kognitivní-disonance">Zákon kognitivní disonance</a></li> <li><a href="#nevědomé-konverze" id="markdown-toc-nevědomé-konverze">Nevědomé konverze</a></li> </ul> </li> <li><a href="#teorie-charismatizace" id="markdown-toc-teorie-charismatizace">Teorie charismatizace</a> <ul> <li><a href="#vznik-charismatického-vztahu" id="markdown-toc-vznik-charismatického-vztahu">Vznik charismatického vztahu</a></li> <li><a href="#legitimizace-autority" id="markdown-toc-legitimizace-autority">Legitimizace autority</a></li> <li><a href="#charismatická-autorita" id="markdown-toc-charismatická-autorita">Charismatická autorita</a></li> </ul> </li> <li><a href="#války-kvůli-sektám" id="markdown-toc-války-kvůli-sektám">Války kvůli sektám</a></li> <li><a href="#bajka-o-chobotnici-která-se-šla-utopit" id="markdown-toc-bajka-o-chobotnici-která-se-šla-utopit">Bajka o chobotnici, která se šla utopit</a></li> <li><a href="#skutečné-případy" id="markdown-toc-skutečné-případy">Skutečné případy</a></li> <li><a href="#mormoni" id="markdown-toc-mormoni">Mormoni</a></li> <li><a href="#munisté" id="markdown-toc-munisté">Munisté</a> <ul> <li><a href="#mun-son-mjong" id="markdown-toc-mun-son-mjong">Mun Son-Mjong</a></li> <li><a href="#nábor" id="markdown-toc-nábor">Nábor</a></li> <li><a href="#filosofické-učení-a-praktiky" id="markdown-toc-filosofické-učení-a-praktiky">Filosofické učení a praktiky</a></li> <li><a href="#reakce" id="markdown-toc-reakce">Reakce</a></li> </ul> </li> <li><a href="#esoterická-škola-poetrie" id="markdown-toc-esoterická-škola-poetrie">Esoterická škola poetrie</a></li> <li><a href="#hare-kršna" id="markdown-toc-hare-kršna">Hare Kršna</a></li> </ul> <hr /> <h2 id="úvod">Úvod</h2> <p>V semináři se zabýváme duchovními společenstvími, tedy skupinami, které existují na základě společně sdíleních přesvědčení, společných ritů, společných mravních norem apod.</p> <h3 id="ideální-typy-postavení-duchovního-společenství-ve-většinové-společnosti">Ideální typy postavení duchovního společenství ve většinové společnosti</h3> <ul> <li><strong>Typ A</strong> - <em>církev</em> <ul> <li>duchovní společenství tvoří společnost a udržuje ji, splývá s ní</li> <li>má ve společnosti “náboženský monopol”</li> </ul> </li> <li><strong>Typ B</strong> - <em>denominace</em> <ul> <li>společnost a duchovní společenství jsou vzájemně nezávislé, společenství akceptuje společnost a společnost akceptuje společenství</li> <li>duchovní společenství je jedním z více společenství ve stejném postavení, „náboženská konkurence“</li> </ul> </li> <li><strong>Typ C</strong> - <em>nové náboženské hnutí</em> <ul> <li>duchovní společenství protestuje proti společnosti a jejímu náboženskému životu, inovuje náboženský život, společnost vnímá tento protest negativně a jako nebezpečí.</li> <li>výlučnost, „proti všem“</li> </ul> </li> <li><strong>Typ D</strong> - <em>kult</em> <ul> <li>duchovní společenství a společnost jsou si v podstatě lhostejné, pro společnost je duchovní společenství jednou z mnoha aktivit (volnočasových, komerčních apod.), duchovní společenství nemá ambice měnit společnost ani nemá touhu ji podporovat</li> <li>konkurence i spolupráce</li> </ul> </li> </ul> <h3 id="nové-náboženské-hnutí">Nové náboženské hnutí</h3> <ul> <li>pojem, který vystihuje postavení duchovního společenství ve většinové společnosti</li> <li>toto postavení je charakterizováno vysokou mírou napětí ve vztahu s většinovou společností</li> <li>napětí je způsobeno protestním naladěním hnutí a odporem většinové společnosti vůči němu</li> <li>navazuje na určitou duchovní tradici, ale zároveň ji zásadním způsobem inovuje</li> <li>zniká v důsledku snahy o inovaci duchovního života. Inovace vlastně znamená protest proti stávajícímu duchovnímu životu společnosti.</li> </ul> <h2 id="teorie-konverze">Teorie konverze</h2> <h3 id="vymývání-mozků">“Vymývání mozků”</h3> <ul> <li>Nevhodná metafora <ul> <li>silně expresivní</li> <li>pejorativní</li> <li>naprosto nevhodný pojem pro vědu a právo</li> </ul> </li> <li>Vytváří dojem technologie a konstruktivnosti</li> <li>Dojem pasivity “obětí”</li> <li>Přisuzování zlého úmyslu “pachatelů”</li> <li>Dojem velké účinnosti a nevratnosti</li> </ul> <h3 id="deprogramování">Deprogramování</h3> <ul> <li>Nevhodná odpověď</li> <li>Nezákonnost</li> <li>Bez vědeckého základu</li> <li>Podstatou není programování</li> <li>Nepodloženo rozumovými argumenty</li> <li>Předpoklad “viny” jen na jedné straně</li> <li>Kontraproduktivnost <ul> <li>zvýšení napětí (pocit pronásledování apod.)</li> <li>vybudování obran</li> <li>zhoršení rodinných situací</li> <li>radikalizace společnosti proti hnutí</li> <li>odklad řešení - “zmrazení situace”</li> </ul> </li> <li><strong>Simpsnovi</strong> - pátá série, 18. díl - <em>Burnsův dědic</em></li> </ul> <h3 id="tendence-konverze">Tendence konverze</h3> <ul> <li>Inteligence - schopnost klást si otázky</li> <li>Jednoduchost, přímočarost, odpovědi</li> <li>Únik ze složitého světa</li> <li>Zbavení nejistoty</li> <li>Už nemusí dál hledat</li> <li>Dualismus - černobílý pohled na svět</li> <li>Vnější faktory: <ul> <li>psychosociální zákonitosti -&gt; psychologická manipulace <br /> <blockquote> <p>já jsem asertivní, ty manipuluješ, on vymývá mozky</p> </blockquote> </li> </ul> </li> <li>Sociální vliv - <em>metafora:</em> <code class="language-plaintext highlighter-rouge">Žárovky - Intenzitu světla ovlivňuje množství, síla a vzdálenost</code></li> </ul> <h3 id="psychologické-experimenty">Psychologické experimenty</h3> <p>Nyní si uvedeme pár psychologických experimentů, které zásadně pomohli pochopit lidské chování ku autoritám a vliv okolí na jednání jedince.</p> <h4 id="test-konformity">Test konformity</h4> <ul> <li>Autor: Salomon Ash</li> <li>1 výzkumník</li> <li>10 účastníků <ul> <li>9 protagonistů</li> <li>1 nezúčastněný</li> </ul> </li> <li><strong>Průběh:</strong> Výzkumník ukazoval čáry a ptal se, která je nejdelší. Účastníci se měli za úkol shodnout na špatné odpovědi. Výzkumník pak pozoroval, jestli nezúčastněný podlehne davovému nátlaku.</li> <li>35% případů se absolutně přizpůsobí</li> </ul> <h4 id="test-poslušnosti-autoritě">Test poslušnosti autoritě</h4> <ul> <li>Autor: Stenley Milgram</li> <li>Nejednoznačná etičnost testu</li> <li><strong>Průběh:</strong> Testovaný subjekt měl za úkol dávat přes telefon otázky studentovi(najatý herec). Subjekt měl za úkol za každou špatnou odpověď studenta trestat elektrickým proudem, který ovládal. Byl přítomen i výzkumník, který na subjekt vyvíjel nátlak aby pokračoval.</li> <li>Stupně nátlaku: <ul> <li> <ol> <li>stupeň <code class="language-plaintext highlighter-rouge">Prosím pokračujte</code> (výzkumníkova osoba)</li> </ol> </li> <li> <ol> <li>stupeň <code class="language-plaintext highlighter-rouge">Experiment vyžaduje abyste pokračoval</code> (nátlak vyšším cílem)</li> </ol> </li> <li> <ol> <li>stupeň <code class="language-plaintext highlighter-rouge">Je absolutně nezbytné aby jste pokračoval</code> (výzkumníkova autorita)</li> </ol> </li> <li> <ol> <li>stupeň <code class="language-plaintext highlighter-rouge">Nemáte na výběr, musíte pokračovat</code> (výzkumníkova agrese)</li> </ol> </li> </ul> </li> <li>Všichni dosáhli <strong>300 V</strong></li> <li><strong>30%</strong> dosáhlo konce stupnice</li> <li>Účinnost ovlivňoval i bílý plášť nebo osobní přítomnost autority</li> <li>Replikováno v roce 2010 - 81% došlo k 460 V</li> </ul> <h4 id="standfortský-experiment">Standfortský experiment</h4> <ul> <li>Je tak slavný, že je zbytečné ho popisovat</li> <li>Náhodní studenti -&gt; neměli mít žádnou predispozici k jakémukoli vzorci chování</li> <li><strong>Poučení:</strong> Všichni jsme schopni všeho.</li> <li>Případ: Kuřimská kauza</li> <li>Stejný princip manipulace používají scientologové</li> </ul> <h4 id="test-potřeby-kladného-přijetí">Test potřeby kladného přijetí</h4> <ul> <li>Provedený výzkumným týmem z Izraele</li> <li>Zkoumaná situace byla penalta při fotbalovém zápase</li> <li>Statisticky zjištěno: <ul> <li>Brankář: <ul> <li>~15% úspěšnost pokud se vrhne do stran</li> <li>~33% úspěšnost pokud zůstane stát</li> <li>pouze 6% brankářů zůstane stát</li> </ul> </li> <li>Útočník: <ul> <li>střela do horní třetiny branky ~90% úspěšnost</li> <li>přesto 43% útočníků střílí po zemi</li> </ul> </li> </ul> </li> <li><strong>Závěr:</strong> I přes to, že je se hráč snaží o co největší úspěšnost, jeho podvědomí prioritizuje eliminaci chyb za které by hráč nebyl pozitivně přijat.</li> </ul> <hr /> <h3 id="zákon-kognitivní-disonance">Zákon kognitivní disonance</h3> <ul> <li>Pokud jsou kognice v rozporu, způsobují stres</li> <li>Příklad: <em>Jsem kuřák</em> vs. <em>Kouření zabíjí</em> <ul> <li>vyřešit konflikt - Přestat kouřit</li> <li>kompromis - začít kouřit cigarety lite</li> <li>přemostit kognice - <code class="language-plaintext highlighter-rouge">Spousta lékařů také kouří</code></li> </ul> </li> <li>Esopovi bajky - Liška a víno</li> <li>Formální znění: <blockquote> <p>Pokud přinutíme člověka, aby změnil své chování, může se i jeho myšlení a cítění změnit tak, aby disonance byla co nejmenší.</p> </blockquote> </li> </ul> <h3 id="nevědomé-konverze">Nevědomé konverze</h3> <ul> <li>Výsledek psycho-sociálních vlivů</li> <li>Vnitřní faktory: <ul> <li>potřeba vyhovět, získat souhlas a schválení</li> <li>potřeba kladného sebehodnocení</li> <li>potřeba intimity</li> <li>potřeba nacházet smysl</li> <li>potřeba jistoty (Nejvýraznější)</li> </ul> </li> <li>Od 60. let je cílová skupina intelektuálové -&gt; inteligence, vzdělání, citlivost, altruismus</li> <li>Velký vliv má momentální a relativní oslabení (příbuzní postižených, sociální pracovníci)</li> <li>Snaha odložit dospělost <ul> <li>utíkání před zodpovědností</li> <li>nechuť k autonomním soudům</li> <li>nechuť činit rozhodnutí</li> <li>“závislost” na charismatické autoritě (Tu často ukotvují charity a protidrogové léčebny)</li> </ul> </li> </ul> <hr /> <h2 id="teorie-charismatizace">Teorie charismatizace</h2> <ul> <li>poprvé definováno ze sociologického hlediska Maxem Webrem</li> </ul> <h3 id="vznik-charismatického-vztahu">Vznik charismatického vztahu</h3> <blockquote> <ol> <li>Budoucí vůdce formuluje plausibilní teorii, která poskytuje řešení toho, co část populace chápe jako problém</li> <li>Budoucí stoupenci přisoudí svému budoucímu vůdci charisma.</li> <li>Budoucí vůdce přijme charismatizaci (především díky narcisismu)</li> </ol> </blockquote> <ul> <li>Charismatizující stoupenci charismatizují vůdce. Na přijetí charismatického vůdce mají větší vliv než charismatizovaný vůdce sám.</li> <li>Charisma není osobní jev ale sociální</li> <li>Charismatizovaný se naučí plnit očekávání jeho následovníků</li> <li>Charisma určuje kvalitu vztahu, né vůdce</li> <li>Neevokuje dobro nebo zlo</li> <li>Příklady z historie: <ul> <li>Hitler</li> <li>Gandi</li> <li>Napoleon</li> </ul> </li> <li>Charismatizace není osobní vlastnost, ale úspěšný způsob legitimizace autority</li> <li>Autorita = pravomoc</li> </ul> <h3 id="legitimizace-autority">Legitimizace autority</h3> <ul> <li><strong>Transcendetní legitimizace</strong> <ul> <li>Výsledkem je <code class="language-plaintext highlighter-rouge">Charismatická autorita</code></li> <li>Příklady: Mojžíš, Mun, Tutanchamon…</li> </ul> </li> <li><strong>Legitimizace tradicí</strong> <ul> <li>Jejím důsledkem je <code class="language-plaintext highlighter-rouge">tradiční autorita</code></li> <li>Příklady: Karel IV, Alžběta II</li> </ul> </li> <li><strong>Legitimizace racionální dohodou</strong> <ul> <li>Ústí v <code class="language-plaintext highlighter-rouge">Byrokratická autorita</code></li> <li>T.G. Masaryk, vůdce skautského oddílu</li> </ul> </li> </ul> <h3 id="charismatická-autorita">Charismatická autorita</h3> <ul> <li>Projev vyjímečných schopností vůdce (ať je má nebo nemá)</li> <li>Božsky/transcendentně daná</li> <li>Doprovází ji intenzivní citový vztah</li> <li>Neobvykle vysoký stupeň koheze v oblasti hodnot a schopnosti plnit úkoly</li> <li>Důsledky charismatické autority: <ul> <li>vůdce je vnímán jako sebejistý, energetický, neochvějně věřící a plnící své poslání</li> <li>vizionářství</li> <li>vyjadřování emocí</li> <li>nepadají rozkazy, ale vůdce je příkladem</li> <li>zájem o pozemské věci vůdce zbožťují</li> <li>dochází k výměně vzájemné hodnoty</li> <li>vůdce se snaží dosáhnout svého obrazu</li> <li>vůdce dělá překvapivá rozhodnutí (například přestěhování)</li> <li>vyšší sociální kontrola a deprivace</li> <li>izolace</li> </ul> </li> <li>Charismatická aristokracie <ul> <li>vzniklá skupina lidí, která je vůdci blíž než ostatní následovníci. To jim dává částečně vůdcovu autoritu.</li> <li>reguluje vůdcovu přítomnost (posilují charisma)</li> <li>regulace přísunu informací (posiluje vůdcovu jistotu)</li> <li>fyzická či mentální izolace vůdce</li> <li>rozvoj psychických poruch ([grandióza][https://en.wikipedia.org/wiki/Grandiose_delusions], paranoia)</li> </ul> </li> </ul> <hr /> <h2 id="války-kvůli-sektám">Války kvůli sektám</h2> <ul> <li><em>1971</em> - FREE COG</li> <li><em>1984</em> - Síť ostražitosti vůči sektám (CAN)</li> <li>“Antikultovní hnutí” vs. “obhájci sekt” <ul> <li>média - neobjektivní informace, démonizování sekt, vytváření napětí a hysterie</li> <li>akademická prostředí - polarizováno</li> <li>boj o společenský vliv zastupitelů obou táborů</li> <li>“nálepkování” - oboustranná stereotypizace a generalizace obou stran</li> </ul> </li> <li><em>1987</em> - Odmítnutí Americké psychologické federace (APA)</li> <li><em>1989</em> - Spojené státy vs. Fishman</li> <li><em>1990</em> - Rozhodnutí federálního soudu: <em>“Vymývání mozků” nemá vědecký základ</em></li> <li><em>1996</em> - Odsouzení deprogramování Ricka Rosse i CAN</li> <li><em>1997</em> - <em>CAN</em> =&gt; Nadace náboženské svobody i nadace Leo Ryana</li> <li><em>2001</em> - Francie: Zákon proti sektám - 173 skupin, kritéria nebezpečí</li> <li><em>2002</em> - Česká republika - 3/2002 Sb.</li> </ul> <h2 id="bajka-o-chobotnici-která-se-šla-utopit">Bajka o chobotnici, která se šla utopit</h2> <blockquote> <p>Kdysi dávno, když chobotnice ještě žily na souši, byla jedna džungle, kde vládl lev. Lev chtěl, aby se ho všichni báli a poslouchali ho. Jenom slon si ze lva nic nedělal. Lev z toho měl komplexy, že se najde někdo, kdo se ho nebojí. Proto se rozhodl, že slona dostane tak, že vyhlásí daň z objemu. Pro slona to byla velká zátěž, ale pracoval o to víc a daň stíhal splácet. To lva rozzuřilo, a proto vyhlásil vysokou daň z chobotu. Pro slona to sice byla už hodně velká zátěž, ale pracoval ještě víc a naučil se s tím žít. Ale chobotnice měla 8 chapadel a daň byla tak vysoká, že neměla šanci ji někdy zaplatit, proto se chobotnice rozhodla jít utopit. Když chobotnice skočila do vody, zjistila, že jí je líp ve vodě mimo lví kompentenci. Od té doby chobotnice žijí pod vodou a ne v džungli.</p> </blockquote> <blockquote> <p><strong>Pučení:</strong> Represivní zákony nedopadají na ty, proti komu jsou určeny, ale odnese to nevinná třetí strana.</p> </blockquote> <hr /> <h2 id="skutečné-případy">Skutečné případy</h2> <ul> <li>Stockholmská loupež (Stockholmský syndrom) - <a href="https://cs.wikipedia.org/wiki/Stockholmsk%C3%BD_syndrom">Wiki link</a></li> <li>Případ Patty Harstové - <a href="https://cs.wikipedia.org/wiki/Patty_Hearstov%C3%A1">Wiki link</a></li> <li>Hromadná sebevražda Svatyně lidu - <a href="https://cs.wikipedia.org/wiki/Chr%C3%A1m_lidu">Wiki link</a></li> </ul> <hr /> <h2 id="mormoni">Mormoni</h2> <ul> <li>Založil <strong>Joseph Smith</strong> <ul> <li>1820 - první zjevení</li> <li>1823 - zjevení anděla Moroniho</li> <li>1827 - nález zlatých desek</li> <li>1829 - překlad dokončen, obnovení kněžství</li> <li>1830 - vydání <strong>Knihy Mormonovy</strong></li> <li>1830 - vznik církve: Církev Ježíše Krista (dnes: Církev Ježíše Krista Svatých posledních dnů)</li> </ul> </li> </ul> <div class="wrapper"> <div class="photogrid"> <div class="photogrid-item"> <figure> <a href="/assets/img/nnh/joseph-smith.png" target="_blank"> <img src="/assets/img/nnh/joseph-smith.png" alt="Portrét Josepha Smithe" /> </a> <figcaption>Portrét Josepha Smithe</figcaption> </figure> </div> <div class="photogrid-item"> <figure> <a href="/assets/img/nnh/mormon-zjeveni1.png" target="_blank"> <img src="/assets/img/nnh/mormon-zjeveni1.png" alt="První zjevení" /> </a> <figcaption>První zjevení</figcaption> </figure> </div> <div class="photogrid-item"> <figure> <a href="/assets/img/nnh/mormon-zjeveni2.png" target="_blank"> <img src="/assets/img/nnh/mormon-zjeveni2.png" alt="Druhé zjevení" /> </a> <figcaption>Druhé zjevení</figcaption> </figure> </div> <div class="photogrid-item"> <figure> <a href="/assets/img/nnh/zlate-desky.jpg" target="_blank"> <img src="/assets/img/nnh/zlate-desky.jpg" alt="Nález zlatých desek" /> </a> <figcaption>Nález zlatých desek</figcaption> </figure> </div> <div class="photogrid-item"> <figure> <a href="/assets/img/nnh/preklad.jpg" target="_blank"> <img src="/assets/img/nnh/preklad.jpg" alt="Překlad zlatých desek" /> </a> <figcaption>Překlad zlatých desek</figcaption> </figure> </div> </div> </div> <ul> <li>Doba Josepha Smithe <ul> <li>Náboženské vzrušení</li> <li>pociťovaná absence kultury a historie</li> <li>hledání pokladů, Egypt jako tajemná země</li> </ul> </li> <li>Kniha Mormonova <ul> <li>formálně podobná Bibli (rozčlenění, jazyk)</li> <li>obsahově do určité míry nahrazuje Bibli</li> <li>historie podle knihy Mormonovy <ul> <li>kolonizace Ameriky: hlavní vlna - po pádu Jeruzaléma Lehi a jeho synové Nefi a Laman</li> <li>Lamanité potrestáni hnědou kůží - Indiáni Ježíš v Americe</li> <li>Nefité vyhubeni Lamanity</li> <li>poslední Nefi: Moroni, syn historika Mormona</li> </ul> </li> </ul> </li> <li>Církev Ježíše Krista <ul> <li>rychlý růst</li> <li>duchovní dary <ul> <li>proroctví</li> <li>uzdravování</li> </ul> </li> <li>svatosti <ul> <li>smíření krví</li> <li>tabák, alkohol, horké nápoje =&gt; káva / čaj (drogy) - Slovo moudrosti (1833, Kniha nauky a smluv 89)</li> </ul> </li> </ul> </li> </ul> <h2 id="munisté">Munisté</h2> <ul> <li>Okrajová skupina</li> <li>Vzniklo v Koreji</li> <li>Nejrozšířenější v Japonsku a Koreji</li> <li>Rozpadlo se na tři směry</li> <li>V Česku aktivní podobné hnutí [Čin žon ši]</li> </ul> <h3 id="mun-son-mjong">Mun Son-Mjong</h3> <ul> <li>✶ 1920 ✝ 2012</li> <li>Zakladatel a vůdce</li> <li>Munisté věří, že měl od malička nadpřirozené schopnosti</li> <li>Byl v koncentračním táboře</li> <li>Dostal od boha za úkol sjednotit všechna náboženství</li> <li>Zakladatel Unification movement</li> <li>Antikomunista</li> </ul> <h3 id="nábor">Nábor</h3> <ul> <li>Envapsulating - Izolace nováčků od sebe</li> <li>Love Bombing - přehnaná a nepřirozená pozitivita</li> <li>Melt together - Utvrzování komunity a nahrazení ostatních vztahů vztahy v rámci církve</li> <li>Pořádají “semináře” pro účastníky <ol> <li>3 dny</li> <li>7 dní</li> <li>21 dní</li> </ol> </li> <li>Cílovou skupinou byli vysokoškoláci</li> </ul> <h3 id="filosofické-učení-a-praktiky">Filosofické učení a praktiky</h3> <ul> <li>Jejich svatá kniha se jmenuje <em>Devine principle</em> (Božský princip)</li> <li>Jediná země, kde se znovu může narodit Mesiáš, je Korea</li> <li>Dualistická teologie - černobílý pohled na svět</li> <li>Eva zhřešila sexuálním stykem s hadem (nemohla mít “pravou rodinu”)</li> <li>Ježíš zemřel dřív než mohl mít děti (nestihl mít pravou rodinu)</li> <li>Bůh si proto vybral Muna</li> <li>Snaha založit novou rasu - mezirasové sňatky</li> <li>Hromadné sňatky <ul> <li>tři roky manželé žijí jako bratr a sestra</li> <li>poté právoplatný sňatek</li> <li>pak 7 let misií nebo začali pracovat v církví vlastněné továrně</li> </ul> </li> <li>Považují se za jedinou církev</li> </ul> <h3 id="reakce">Reakce</h3> <ul> <li>Šokovali společnost</li> <li>Nejvíce reagovali rodiče dětí, kteří se rozhodli konvertovat nebo rovnou se zúčastnit hromadného sňatku</li> <li>Veřejné mínění o nich tvrdí, že dokáží úspěšně “vymýt mozek”</li> </ul> <hr /> <h2 id="esoterická-škola-poetrie">Esoterická škola poetrie</h2> <ul> <li>Společenství založené v roce 1996 Jaroslavem Dobešem (*1971).</li> <li>Jaroslav Dobeš je samozvaný: <ul> <li>zasvěcenec</li> <li>Mistr guru Anahdán</li> <li>Óm Nadsamec</li> <li>Guru Jára</li> </ul> </li> <li>Media: časopis, knihy,CD, DVD</li> <li>Organizace: Studio Dobara, Ateliér ženské duše</li> <li>Cíloví skupina jsou mladé ženy</li> <li>Dělení učenkyň podle “energie”: <ul> <li><strong>A</strong> - mladé, atraktivní, bohaté ženy</li> <li><strong>B</strong> - méně atraktivní ženy</li> <li><strong>C</strong> - starší bohaté ženy</li> </ul> </li> <li>Provozování tantrického rituálu “odháčkování” - rituál končící krátkou souloží s Guru Járou</li> <li>Neotantra <ul> <li>zdeformovaná tantra</li> <li>čistě západní záležitost</li> <li>sex je hlavní téma/obsah</li> <li>Dokument: Tantra - režisér Tušek</li> </ul> </li> <li>Vývoj trestního stíhání Guru Járy: <ul> <li><em>2009</em> - svědectví poškozených</li> <li><em>2010</em> - zahájení trestního stíhání (Guru Járy a jeho společnice Báry)</li> <li><em>2012</em> - mezinárodní zatykač</li> <li><em>2014</em> - rozsudek v nepřítomnosti (10 a 9,5 roku odnětí svobody)</li> <li><em>2015</em> - zadržen na Filipínách, vržen do vazby</li> <li><em>2018</em> - druhý rozsudek (oběma 7,5 roku)</li> <li><em>2018</em> - vrchní soud potvrdil jednu “větev” případu (5,5 a 5 let), druhou vrátil</li> <li><em>2019</em> - první trest je pravomocný: jednání ve druhé větvi zahájeno</li> </ul> </li> <li>Kulturní fenomén - seriál: Život a doba soudce A.K. - věnovaný díl</li> </ul> <hr /> <h2 id="hare-kršna">Hare Kršna</h2> <ul> <li>Kulturní zázemí <ul> <li>Bengálský (Gandíjský) višnuismus čaitanja maháprabhu (1486 - 1533)</li> <li>Bhakti jóga</li> <li>zpěv mahámantry</li> </ul> </li> <li>Hlavní modlidba Džaba (16 kol, 108 kuliček mály): <blockquote> <p>Hare kršna, Hare kršna<br /> kršna, kršna, Hare Hare<br /> Hare rama, Hare rama<br /> rama, rama, Hare, Hare</p> </blockquote> </li> <li>Zakladatel <em>Bhaktivénda Svamí Prabhupáda Abhaj Čaran De</em> (1896 - 1977)</li> <li><em>1965</em> - Spojené státy prostředí kontra kultury</li> <li>čtyři regulativní principy: <ul> <li>vegetariánství</li> <li>žádné omamné látky</li> <li>žádný hazard</li> <li>žádný nepovolený sex</li> </ul> </li> <li>Sádhana - důležitost role jídla</li> <li><em>1966</em> - Mezinárodní společnost pro vědomí Kršny (ISKCON)</li> <li>Posvátná kniha (původem z Indie) - <em>Bhagavaghíta</em></li> <li><em>1977</em> - smrt zakladatele</li> <li>Byrokratická autorita nahradila charismatickou)</li> <li>GBC <ul> <li>stálé dohady o duchovní autoritu</li> <li>otázka zneužití moci</li> <li>odpadlické skupiny</li> <li>vznik hierarchie</li> <li>pevné vztahy a organizace</li> <li>ztráta rovnoprávnosti a bezprostřednosti</li> <li>nefunkčnost organizace</li> <li>zneužívání dětí v gurukulách</li> </ul> </li> <li>Přizpůsobení: <ul> <li>Hnutí: <ul> <li>komunity -&gt; kongregační způsob</li> <li>celibát -&gt; manželství</li> <li>zasvěcený život -&gt; běžný život s regulativními principy</li> </ul> </li> <li>Společnost <ul> <li>přijmula hnutí jako kulturní obohacení</li> <li>autenticita</li> <li>pozitivně přijímáno za vegetariánství a alternativnost</li> </ul> </li> </ul> </li> <li>V České republice <ul> <li><em>1990</em> - legalizováno</li> <li>snížení napětí mezi společností a hnutím</li> </ul> </li> </ul>